Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, урове.pdf
Рис. 3.3. Математический маятник
( )
0
cos .xA t= ω +ϕ
0
,
g
l
ω=
2.
l
Tg= π
Уравнение движения математического маятника:
Циклическая частота математического маятника:
где l – длина нити, на которой висит материальная точка.
Период колебания математического маятника:
Голландский ученый Х. Гюйгенс сформулировал законы колебаний математического маятника:
первый закон: период собственных колебаний математического
маятника не зависит от массы груза;
второй закон: период собственных колебаний математического
маятника не зависит от амплитуды колебаний;
51
третий закон: период собственных колебаний математическо-
( )
0
cos .xA t= ω +ϕ
0
,
k
m
ω=
2.
m
Tk= π
го маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины
нити маятника;
четвертый закон: период собственных колебаний математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из
ускорения свободного падения.
Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсо-
лютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания
под действием упругой силы (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Пружинный маятник
Уравнение движения пружинного маятника:
Циклическая частота пружинного маятника:
где k – жесткость пружины.
Период колебания пружинного маятника:
52
Таким образом, период колебания пружинного маятника прямо
∆ϕ = π
2
T
t =
2
π
4
T
t =
2
T
t =
8cos 4vt=
0,3 cos
23
xt
ππ
= −
0,04 cos 4
3
xt
π
= π+
0, 04 sin
6
xt
π
= π+
0,04 cos
23
xt
ππ
= +
0, 04 sin 4
6
xt
π
= π+
2
0,9 cos
34
xt
ππ
= +
пропорционален корню квадратному из массы маятника и обратно
пропорционален корню квадратному из жесткости пружины, на которой подвешено тело.
Задания для самоконтроля
1. Разность фаз
этом смещение колеблющегося тела равно …
1) А 2) 0 3) –А 4) 1
2. При условии, что фаза колебания
щейся точки и время, прошедшее от начала движения, равны соответственно _____ м, _____ с.
1) x = 0,
2) x = A, t = 0 4) x = 1, t = Т
3. Амплитуда ускорения тела, колеблющегося со скоростью
, равна _____ см/м2.
4. Материальная точка совершает гармонические колебания по
закону
5. Материальная точка совершает гармонические колебания
с амплитудой А = 4 см и периодом колебания Т = 2 с. Если смещение
точки в момент времени, принятый за начальный, равно 2 см, то точка колеблется в соответствии с уравнением (в СИ) …
1)
3) x = –A,
, время от начала колебания
ϕ=
, смещение колеблю-
. Период колебания точки равен ____ с.
3)
, при
2)
6. Материальная точка совершает гармонические колебания по
закону
имеет вид …
4)
. Уравнение изменения ускорения точки
53
1)
2
0, 6 sin
34
at
ππ
=−π +
2
2
0, 4 cos
34
at
ππ
=−π +
2
2
0, 4 cos
34
at
ππ
=π+
2
2
0, 6 cos
34
at
ππ
=π+
2
0,9 cos
34
xt
ππ
= +
2
0, 6 sin
34
at
ππ
=−π +
2
2
0, 4 cos
34
at
ππ
=−π +
2
2
0, 4 cos
34
at
ππ
=π+
2
2
0, 6 cos
34
at
ππ
=π+
∆ϕ = π
0
2A
0
3A
2
2
0
d x b dx k
x
m dt m
dt
+ +=
3)
2)
4)
7. Материальная точка совершает гармонические колебания по
закону
. Уравнение изменения скорости точки
имеет вид …
1)
2)
3)
4)
8. На рисунке представлен график зависимости смещения от
времени. Частота колебаний равна _____ Гц.
9. Складываются два гармонических колебания одного на-
правления, с одинаковыми частотами и равными амплитудами А0.
При разности фаз
амплитуда результирующего колебания
равна …
1)
2) 0 3) 2А0 4)
10. Уравнение движения маятника
ется дифференциальным уравнением ______ колебаний.
1) свободных затухающих 3) вынужденных
2) свободных незатухающих 4) гармонических
явля-
54
11. Уравнение движения маятника
2
2
cos
d x b dx k F
xt
m dt m m
dt
+ += ω
2
2
0
dx k
x
m
dt
+=
является дифференциальным уравнением ___________ колебаний.
1) свободных затухающих 3) вынужденных
2) свободных незатухающих 4) гармонических
12. Уравнение движения маятника
является диф-
ференциальным уравнением ___________ колебаний.
1) свободных затухающих 3) вынужденных
2) свободных незатухающих 4) гармонических
13. При уменьшении в 2 раза массы груза и уменьшении жест-
кости пружины в 2 раза период колебания пружинного маятника …
1) уменьшится в 4 раза 3) не изменится
2) увеличится в 4 раза 4) уменьшится в 2 раза
14. Период колебания математического маятника зависит от …
1) приведенной длины маятника
2) длины нити, на которой висит материальное тело
3) массы груза
4) жесткости пружины
15. Период колебания физического маятника зависит от …
1) приведенной длины маятника
2) длины нити, на которой висит материальной тело
3) массы груза
4) жесткости пружины
Упражнения
1. Крылья пчелы, летящей за нектаром, колеблются с частотой
υ1 = 420 Гц, а при полете обратно (с нектаром) – υ2 = 300 Гц. За нектаром пчела летит со скоростью υ1 = 7 м/с, а обратно со скоростью
υ1 = 6 м/с. При полете в каком направлении пчела сделает больше
взмахов крыльями и на сколько (Δn), если расстояние от улья до цветочного поля S = 500 м?
2. Частота колебаний крыльев комара 600 Гц, а период коле-
баний крыльев шмеля 5 мс. Какое из насекомых сделает при полете
больше взмахов крыльями за 1 мин и на сколько?
55
3. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подве-
сить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза.
Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
4. Колебания каких из приведенных ниже тел будут свобод-
ными: а) поршень в цилиндре двигателя; б) игла швейной машины;
в) ветка дерева после того, как с нее слетела птица; г) струна музыкального инструмента; д) конец стрелки компаса; е) мембрана телефона при разговоре; ж) чаши рычажных весов.
5. Как относятся длины математических маятников, если за
одно и то же время один совершает 10, а второй 30 колебаний?
4. Механические волны
.
v
vTλ= =
ν
Ключевые понятия: волновой процесс (механическая волна),
длина волны, скорость, частота, энергия, интенсивность, уровень интенсивности, громкость, закон Вебера-Фехнера, акустическое давление, акустическое сопротивление, отражение, преломление (рефракция), поглощение, интерференция, продольные и поперечные волны,
плоские и сферические волны, бегущие и стоячие волны, инфразвук,
слышимый звук, шум, тоны, звуковой удар, ультразвук.
4.1. Волновой процесс и его характеристики
Волновой процесс (механическая волна) – процесс распро-
странения в пространстве любых изменений состояния материи, не
связанный с переносом вещества; процесс распространения в пространстве (сплошной среде) колебаний.
Механические волны могут распространяться только в среде,
состоящей из частиц, и не могут – в вакууме.
Источником механических волн является колеблющееся с соответствующей частотой тело.
Таким образом, условиями возникновения механической волны
является наличие упругой среды и тела, являющегося источником
колебаний.
Механические волны можно описать с помощью основных характеристик: длина волны, скорость, частота, энергия, интенсивность.
Длина волны (λ) – кратчайшее расстояние между частицами
среды, лежащими на одном луче и колеблющимися с разностью фаз,
равной 2π.
Единицей измерения длины волны является метр (м).
57
Скорость волны (v) – быстрота распространения волны в про-
.
E
v =
ρ
.
n
t
ν=
.
v
λ=
ν
странстве.
Единицей измерения скорости волны является метр на секунду (м/с).
Скорость зависит от упругости среды и ее плотности. При нормальных условиях скорость звука в воздухе 332 м/с, в воде – 1497 м/с,
в стеклянном теле – 1530 м/с, в мягких тканях – 1500–1600 м/с, в жировых тканях – 1440–1480 м/с и т.д.
Частота волны (ν) – число колебаний волны за единицу времени:
Единицей измерения является герц (Гц).
Между длиной волны, частотой и скоростью распространения
волны существует взаимосвязь, выраженная формулой:
В зависимости от длины волны и частоты различают: инфразвук, слышимый звук, ультразвук.
Если соответствующие волне колебания частиц среды являются гармоническими, то упругие волны называются гармоническими.
На рисунке 4.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси x, то есть приведена зависимость между смещением ξ (кси) частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием x этих частиц (частица B) от источника
колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t.
58
Рис. 4.1. Гармоническая поперечная волна
2
2
WA
При распространении волны частицы среды не движутся
с волной, а колеблются около своего положения равновесия. Вместе
с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством
всех волн является перенос энергии без переноса вещества.
Упругая среда, в которой распространяются механические
волны, обладает и кинетической энергией движения частиц, и потенциальной энергией взаимодействия частиц. Если в некотором
объеме упругой среды, имеющем массу m, распространяется волна
с амплитудой А и циклической частотой ω, то в этом объеме имеется
энергия, определяемая формулой:
m
ω
2
=
.
Для вовлечения в колебательное движение все более и более
удаленных от источника волны областей среды необходимо затрачивать энергию, сообщаемую среде источником, следовательно, распространение упругих волн неразрывно связано с передачей энергии
от одних участков среды другим.
Интенсивность (I) – величина, равная энергии, переносимой
волной через единицу площади за единицу времени:
59
.
W
I
St=⋅
Единицей измерения интенсивности является ватт на метр
0
lg .
I
LI=
0
10 lg .
I
LI= ⋅
0
lg ,
I
Ek
I
= ⋅
в квадрате (Вт/м2).
Интенсивность звука измеряют прибором шумомером.
Для характеристики субъективных ощущений вводят понятия
уровень интенсивности звука и громкость.
Уровень интенсивности звука равен десятичному логарифму
отношения интенсивности исследуемого звука I к интенсивности на
пороге слышимости I0:
Единицей измерения уровня интенсивности является бел (Б).
На практике обычно применяют единицу измерения децибел (дБ).
И тогда уровень интенсивности определяется по формуле:
Громкость характеризует уровень слухового ощущения, учитывая зависимость порога слышимости от частоты. Несмотря на
субъективность, громкость может быть оценена количественно путем сравнения слухового ощущения от двух источников. В основе
создания шкалы уровней громкости лежит закон Вебера-Фехнера:
если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (т.е.
в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает
в арифметической прогрессии (т.е. на одинаковую величину):
60