Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, урове.pdf
Единицей измерения углового ускорения является радиан на се-
21
ω >ω
∆ω
12
ω >ω
∆ω
.
t
∆ω
ε=
∆
кунду в квадрате (рад/с2) или секунда в минус второй степени (с–2).
Вектор углового ускорения всегда сонаправлен с вектором изменения угловой скорости.
При ускоренном движении (рис. 2.3а) конечная угловая скорость больше начальной (
вой скорости (
) направлен вверх и вектор углового ускорения
), поэтому вектор изменения угло-
тоже направлен вверх.
При замедленном движении (рис. 2.3б) начальная угловая скорость больше конечной (
угловой скорости (
) направлен вниз, поэтому вектор углового
), в результате вектор изменения
ускорения также направлен вниз.
а б
Рис. 2.3. Направление вектора углового ускорения
Таким образом, вектор углового ускорения при ускоренном
движении сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном – противоположно направлен вектору угловой скорости.
Среднее угловое ускорение – величина, равная отношению
угловой скорости к промежутку времени:
31
Мгновенное угловое ускорение определяется как первая про-
0
lim ; .
t
d
t dt
∆→
∆ω ω
′
ε= = ε=ω
∆
;aR
τ
= ⋅ε
2
.
n
aR= ⋅ω
изводная угловой скорости по времени:
Между линейным и угловым ускорением существует взаимосвязь, выраженная формулой:
– для тангенциальной составляющей ускорения
– для нормальной составляющей ускорения
В зависимости от характера изменения скорости движение
можно классифицировать (табл. 2.1).
Таблица 2.1 – Классификация движения в зависимости от характера
измерения скорости
по виду траектории по характеру изменения скорости
криволинейное
по окружности
2.2. Динамика вращательного движения
Разные тела под действием одинакового вращающего момента
силы способны приобретать разные угловые ускорения. Чем массивнее тело или чем больше его размеры, тем труднее изменить его
угловую скорость. Для характеристики способности тела влиять
на состояние вращательного движения вводится понятие «момент
инерции тела». Момент инерции является аналогом массы.
движение
равномерное = const = 0
равнопеременное = const = const
неравномерное = const ≠ 0
32
a
n
a
τ
Момент инерции (I) – скалярная физическая величина, харак-
2
I mR=
2
I mR=
2
1
2
I mR=
2
1
12
Im=
2
1
3
Im=
2
2
5
I mR=
2
2
3
I mR=
( )
22
1
12
I ma b= +
( )
22
1
2
I mR r= +
теризующая распределение массы в теле и наряду с массой являющаяся мерой инертных свойств тела, проявляющихся в процессе его
вращения.
Единицей измерения момента инерции является килограмм на
метр в квадрате (кг∙м2).
Таблица 2.2 – Моменты инерции тел различной формы
Тело
Материальная точка массой m
Полый тонкостенный
цилиндр, обруч или кольцо
радиусом R и массой m
Сплошной цилиндр или
однородный диск радиусом R
и массой m
Прямой тонкий стержень
длиной l и массой m
Прямой тонкий стержень
длиной l и массой m
Однородный шар радиусом R
и массой m
Тонкостенная сфера радиусом
R и массой m
Брусок длиной a и шириной b
Положение
оси вращения
ось на расстоянии r
от точки
ось цилиндра
(обруча, кольца)
ось цилиндра (диска)
ось перпендикулярна
к стержню и проходит
через его центр масс
ось перпендикулярна
к стержню и проходит через любой его
конец
ось проходит через
центр шара
ось проходит через
центр сферы
ось проходит через
центр бруска
Формула
момента инерции
Момент инерции кольца,
внешний радиус которого R,
а внутренний r
ось проходит через
центр кольца
33
Момент инерции тела зависит от его массы, распределения мас-
2
0
.I I md= +
M
.M Fd= ⋅
сы в теле, размеров и формы тела, а также положения оси вращения.
Формулы для определения моментов инерции тел различной формы
представлены в таблице 2.2.
Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по
теореме Штейнера: момент инерции тела I относительно произ-
вольной оси равен сумме момента инерции этого тела I0 относительно оси вращения проходящей через центр масс тела параллельно оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между
этими осями:
Момент силы (
) – векторная физическая величина, равная
произведению модуля приложенной к телу силы на ее плечо:
Единицей измерения момента силы является ньютон на метр
(Н∙м).
Направление вектора момента силы совпадает с направлением
вектора углового ускорения, определяемого в зависимости от направления вектора угловой скорости (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Направление вектора момента силы
34
Плечо силы (d) – кратчайшее расстояние от оси вращения
L
.LI= ⋅ω
.L mvR=
до линии действия силы.
Момент импульса (
) – векторная величина, характеризующая меру вращательного движения твердого тела или системы тел.
Момент импульса численно равен произведению момента инерции
твердого тела и его угловой скорости:
Момент импульса материальной точки равен произведению ее
массы, линейкой скорости и радиуса окружности, по которой она
движется вокруг оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости:
Единицей измерения момента импульса является килограмм
на метр в квадрате, деленный на секунду (кг∙м2/с).
Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта и совпадает с направлением вектора угловой скорости (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Направление вектора момента импульса
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени:
35
const;L =
11 2 2
.II⋅ω = ⋅ω
Наглядным примером выполнения этого закона является че-
.
M
I
ε=
; .
dL
M ML
dt
= =
′
( )
F Vr
ловек, вращающийся на скамье Жуковского. Если человек прижмет
гантели к себе, то момент инерции уменьшится, а угловая скорость
увеличится, так как момент импульса системы сохраняется.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально моменту сил, действующему на него со стороны других тел, и обратно
пропорционально моменту инерции этого тела:
Кроме того, момент силы равен отношению момента импульса
ко времени и определяется как первая производная момента импульса по времени:
При вращении на тела, обладающие различной плотностью,
действует центростремительная сила. Процесс разделения неоднородных систем на составные части по плотности путем их вращения называется центрифугированием. Если поместить в пробирку
жидкость со взвешенными в ней частицами и привести пробирку
во вращательное движение, то на каждую частицу, находящуюся
на расстоянии от центра вращения, действует центробежная сила
инерции:
где ρч – плотность частицы;
2
= ρ −ρ ω
ц чж
36
,
ρж – плотность жидкости;
2
.
2
22
22
V – объем частицы;
ω – угловая скорость вращения;
r – расстояние от частицы до оси вращения.
Если ρч > ρж, то Fц > 0, т.е. сила направлена от центра вращения
и более тяжелые, по сравнению с жидкостью, частицы будут перемещаться от оси вращения ко дну пробирки. Если ρч < ρж, то Fц < 0,
т.е. сила направлена к центру вращения и более легкие, по сравнению с жидкостью, частицы будут располагаться на поверхности пробирки. Этот принцип лежит в основе работы центрифуг, используемых для определения массовой доли белка и жира в лабораториях
молочных производств.
2.3. Энергетические характеристики вращательного движения
Так же, как и при описании поступательного движения, основными энергетическими характеристиками вращательного движения
являются энергия, работа, мощность.
Кинетическая энергия равна половине произведения момента
инерции и квадрата угловой скорости:
IE⋅ω
=
к
Часто плоское движение твердого тела можно представить как
сумму двух независимых друг от друга движений: поступательного
и вращательного. Кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в этих двух движениях, равна сумме кинетических энергий каждого движения в отдельности:
I mv
⋅ω ⋅
E
= +
к
37
.
Для тела, которое участвует одновременно в поступательном
22
.
22
mv I
mgh
⋅ ⋅ω
+=
.AM= ⋅∆ϕ
.
A
Nt=
0, const
n
aa
τ
= =
0, const
n
aa
τ
>=
const, const
n
aa
τ
= =
0, const
n
aa
τ
<=
3
2tϕ=
v
v
τ
τ
v
τ
и вращательном движении (тело, скатывающееся с наклонной плоскости), закон сохранения энергии записывается следующим образом:
Работа при вращательном движении определяется как произведение момента силы и угла поворота:
Мощность вращающегося тела определяется так же, как и для
тела, движущегося поступательно – это физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за которое эта работа
совершена:
1. Для равноускоренного движения по окружности справедли-
во соотношение …
1)
2)
2. Кинематический закон вращательного движения тела задан
уравнением
равна _____ с–1.
3. Материальная точка М движется по окружности со скоростью
сти
. На рисунке 1 показан график зависимости проекции скоро-
от времени (
ления,
полного ускорения на рисунке 2 имеет направление ______.
Задания для самоконтроля
3)
4)
. Угловая скорость тела в конце второй секунды
– единичный вектор положительного направ-
– проекция вектора v на это направление). При этом вектор
38
4. Кинематический закон вращательного движения тела задан
3
2ttϕ= +
1 23 4
и FFF F
3
F
уравнением
. Угловое ускорение тела в конце третьей се-
кунды равно _____ с–2.
5. Даны три тела: диск, тонкостенный цилиндр (труба) и шар,
причем массы m и радиусы R оснований диска и трубы и радиус
шара одинаковы. Ось вращения проходит через центр тела. Для моментов инерций рассматриваемых тел верным является утверждение, что …
1) наибольшим моментом инерции обладает диск
2) наибольшим моментом инерции обладает шар
3) моменты инерции всех трех тел одинаковы
4) наибольшим моментом инерции обладает труба
6. Рассматриваются три тела: сплошной цилиндр (I1), однородный диск (I2) и прямой стержень (I3); массы m и радиусы R их
оснований одинаковы. Для моментов инерции рассматриваемых тел
относительно указанных осей верным является соотношение …
1) I1 = I2 = I3 3) I1 > I2 = I
2) I1 = I2 > I3 4) I1 < I2 < I
3
3
7. К точке, лежащей на поверхности диска, приложены четыре
силы
, ,
, лежащие в плоскости диска. Если ось вращения проходит через центр О диска и перпендикулярна плоскости рисунка, то для силы
…
1) плечо равно нулю
2) плечом является отрезок b
3) плечом является отрезок a
4) плечом является отрезок c
39
8. Кольцо радиусом R и массы m вращается вокруг оси, про-
22
0,5mR ω
22
0, 2mR ω
22
mR ω
22
0, 25mR ω
2
At Bt Cϕ= + +
ходящей через центр кольца с угловой скоростью ω. Кинетическая
энергия кольца равна …
1)
2)
3)
4)
9. Обруч скатывается с горки высотой 3,6 м без проскальзывания. Скорость обруча у основания горки, при условии, что трением
можно пренебречь, равна ____ м/с.
10. Полый цилиндр скатывается с горки без проскальзывания.
Скорость цилиндра v = 7 м/с. Высота горки, с которой скатывается
цилиндр, равна _____ м.
Упражнения
1. Измельчитель кормов содержит барабан диаметром 470 мм.
Угол поворота барабана после его включения изменяется согласно уравнению
С = 31. Найти 1) угловую скорость вращения барабана через 25 с после начала вращения и 2) линейную скорость точек на поверхности
барабана.
2. Барабан сепаратора вращается с частотой 7950 об/мин. Под
действием постоянного тормозящего момента, равного 9,6∙104 Н∙м,
он остановился после начала торможения через 75 с. Определить момент инерции барабана.
3. Найти силу, отделяющую сливки (плотность ρ = 0,87 г/см3)
в расчете на единицу объема, если отделение происходит в сепараторе
, где А = 0,16 рад/с2, В = 17 рад/с,
40