Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, урове.pdf
Рис. 1.2. Векторный способ определения положения точки (тела)
r
,r xi yj zk=++
1.i jk= = =
r∆
21
.rr r∆= −
rS∆=
rS∆≠
в пространстве
Если три координаты x, y, z объединить в один направленный
отрезок или радиус-вектор
, то координаты x, y, z будут являться
проекциями радиуса-вектора на координатные оси, а уравнение движения примет вид:
где i, j, k – координатные орты – единичные векторы, направленные
вдоль координатных осей x, y, z соответственно, то есть
Перемещение (
) – это векторная физическая величина, равная разности радиусов-векторов, характеризующих конечное и начальное положение движущейся точки:
Единицей измерения перемещения является метр (м).
Вектор перемещения всегда направлен вдоль хорды, соединяю-
щей начальное и конечное положение точки (рис. 1.2).
Если точка движется по прямой траектории, то перемещение
равно пути, пройденному телом (
). Если точка движется по
криволинейной траектории, то перемещение и путь не совпадают
(
), путь, пройденный телом, больше, чем перемещение.
11
Для характеристики быстроты движения материальной точки
v
.
r
v
t
∆
=
∆
0
lim .
t
r dr
v
t dt
∆→
∆
= =
∆
vr= ∆
′
r
r
v
x
dx
vdt=
y
dy
vdt=
z
dz
vdt=
вводится векторная величина «скорость».
Средняя скорость (
) – векторная физическая величина,
характеризующая быстроту движения и равная отношению перемещения к промежутку времени, затраченному на перемещение:
Мгновенная скорость – это скорость в данной точке траекто-
рии или в данный момент времени:
Мгновенная скорость определяется как первая производная
радиуса-вектора (перемещения) движущейся точки по времени:
.
Единицей измерения скорости является метр на секунду (м/с).
Направление вектора скорости совпадает с направлением движения тела. При равномерном движении числовое значение мгновенной скорости постоянно. При неравномерном движении модуль
скорости с течением времени изменяется.
Для практических вычислений важно знать проекции вектора
на координатные оси выбранной системы отсчета. Положение
точки А (рис. 1.1) задается радиусом-вектором
вать вектор
на оси x, y, z и учесть, что эти координаты зависят
. Если спроециро-
от времени, можно найти скорость точки в каждый момент времени.
Проекции вектора скорости
на оси x, y, z равны соответственно
,
12
,
.
Модуль вектора скорости:
222
.
xyz
v vvv= ++
i
j
k
.
xy z
dx dy dz
v vi v j vk i j k
dt dt dt
=++= + +
( )
00.x
xt x v t= +
( )
x ft=
0tgx
v = α
Так как скорость – величина векторная, то ее можно представить с помощью единичных векторов
,
,
:
Перемещение и скорость тела можно задать не только с помощью расчетных формул, но и графиками.
При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна, а ускорение равно нулю. Поэтому координата тела может
быть рассчитана по закону движения:
На рисунке 1.3 приведен график зависимости перемещения
от времени
. Графиком перемещения является прямая ли-
ния, тангенс угла наклона α которой задается проекцией скорости
. Из рисунка видно, что чем больше скорость движения
тела, тем больше угол наклона прямой к оси x и наоборот.
Рис. 1.3. График зависимости перемещения от времени
13
На рисунке 1.4 приведен график зависимости скорости v от вре-
a
.
v
a
t
∆
=
∆
0
lim .
t
v dv
à
t dt
∆→
∆
= =
∆
мени t. График движения представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Площадь фигуры, ограниченная осями координат
и графиком движения, позволяет определить путь, пройденный
телом за определенный промежуток времени.
Рис. 1.4. График зависимости скорости от времени
В случае неравномерного движения важно знать, как быстро
изменяется скорость с течением времени. Для этого вводят понятие
«ускорение».
Среднее ускорение (
) – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению и равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:
Мгновенное ускорение – это ускорение в данной точке траек-
тории или в данный момент времени:
14
Мгновенное ускорение определяется как первая производная
.av
′
=
a
τ
.
v
a
t
τ
∆
=
∆
n
a
2
.
n
v
ar=
скорости по времени:
Единицей измерения ускорения является метр на секунду в ква-
драте (м/с2).
При прямолинейном ускоренном движении тела вектор ускорения сонаправлен вектору скорости. При прямолинейном замедленном
движении тела вектор ускорения антинаправлен вектору скорости.
Вектор ускорения можно разложить на две составляющие
(рис. 1.5).
1. Тангенциальная составляющая ускорения (
) характеризует быстроту изменения модуля скорости (вектор направлен
по касательной к траектории, зависит от изменения скорости). При
ускоренном движении вектор тангенциального ускорения сонаправлен вектору скорости, при замедленном движении – противоположно направлен вектору скорости:
2. Нормальная составляющая ускорения (
) характеризует
быстроту изменения направления скорости (направлена по главной
нормали к центру кривизны траектории, зависит от вида траектории).
Рис. 1.5. Составляющие ускорения
15
Из рисунка 1.5 видно, что модуль полного ускорения равен:
22
.
n
a aa
τ
= +
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих
ускорения движение можно классифицировать (табл. 1.1).
Таблица 1.1 – Классификация движения в зависимости от вида
траектории и характера изменения скорости
Движение
по виду траектории по характеру измерения скорости
равномерное = 0 = 0
прямолинейное
криволинейное
равнопеременное = 0 = const
неравномерное = 0 ≠ 0
равномерное ≠ 0 = 0
равнопеременное ≠ 0 = const
неравномерное ≠ 0 ≠ 0
a
a
n
τ
1.2. Динамика поступательного движения
В основе классической динамики лежат три закона Ньютона.
Первый закон Ньютона (закон инерции): всякая материаль-
ная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны
других тел не изменит это состояние.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения называется инертностью.
Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных
системах отсчета (ИСО).
При одинаковых воздействиях различные тела неодинаково
изменяют скорость своего движения, т.е. приобретают различные
ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия,
но и от свойств самого тела, то есть от его массы.
Масса тела (m) – скалярная физическая величина, являющаяся
мерой инертности тела при поступательном движении.
16
Единицей измерения массы является килограмм (кг).
.
m
V
ρ=
.
F
am=
Массой обладают оба вида материи – и вещество, и поле.
Плотность вещества – это скалярная физическая величина,
равная массе, содержащейся в единице объема:
Единицей измерения плотности является килограмм на метр
кубический (кг/м3).
Плотность часто измеряют по определяющей формуле, предварительно измерив массу и объем тела. Однако для непосредственного измерения плотности жидких тел удобно использовать ареометры
и весы Вестфаля.
Определение плотности является одним из показателей качества продукции, в том числе и кисломолочных продуктов (молоко,
кефир, ряженка, сметана, сливки и т.п.). Например, плотность коровьего молока находится в пределах 1027–1033 кг/м3. На нее влияют
все составные части, но в первую очередь – белки, соли, жир, вода,
СОМО. Плотность молока сразу после доения на 0,8–1,5 кг/м3 ниже,
чем измеренная через несколько часов. Это связано с тем, что часть
газов улетучивается, а плотность молочного жира и белков повышается (за счет изменения коэффициента температурного расширения).
Следовательно, плотность заготавливаемого молока необходимо
определять не ранее, чем спустя 2 ч после доения.
У мяса плотность – это показатель развития мускулатуры или
ожирения, чем больше плотность, тем больше в мясе содержится
белков и тем меньше жира.
Второй закон Ньютона (или основной закон динамики поступательного движения): ускорение, приобретенное материаль-
ной точкой (телом) в инерциальной системе отсчета, пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе
материальной точки и по направлению совпадает с силой:
17
Из второго закона Ньютона следует, что:
F
12
FFF= +
12
FFF= −
1) причиной ускорения является сила;
2) вектор ускорения всегда сонаправлен с вектором силы;
3) если на тело действует не одна, а несколько сил, то берется
равнодействующая этих сил (сила, которая производит на тело такое
же действие, как несколько действующих одновременно сил);
4) если равнодействующая всех сил равна нулю, то и ускорение
тела равно нулю, следовательно, тело движется равномерно и прямолинейно или покоится (выполняется первый закон Ньютона).
Второй закон Ньютона проявляется в движении животных.
Силой, действующей на тело животного, является сила, создаваемая мышцами его опорно-двигательного аппарата, которая пропорциональна массе этих мышц. Следовательно, способность тела
животного быстро переходить из состояния покоя к движению,
т.е. способность развивать большие ускорения, прямо пропорциональна массе мышц его опорно-двигательного аппарата и обратно
пропорциональна массе всего тела.
Сила (
) – количественная мера взаимодействия тел, в результате которого они изменяют состояние движения или деформируются.
Единицей измерения силы является ньютон (Н).
Сила – это векторная величина. При условии, что на тело
действует несколько сил, пользуются правилами сложения сил
(рис. 1.6).
1. Если слагаемые силы направлены по одной прямой в одну
сторону, то модуль результирующей силы равен сумме модулей сил
(рис. 1.6а).
2. Если слагаемые силы направлены по одной прямой, но в разные стороны, то модуль результирующей силы равен разности модулей сил
(рис. 1.6б).
3. Если силы направлены под углом, то модуль результирующей силы численно равен длине диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на составляющих. Результирующая
выходит из точки приложения слагаемых сил (рис. 1.6в). Нахождение результирующей нескольких сил – это геометрическое сложение
действующих сил. Для их сложения применяется правило сложения
векторов – правило параллелограмма.
18
а б в
p
.p mv= ⋅
; .
dp
F Fp
dt
= =
′
.
c
p mv= ⋅
Рис. 1.6. Правила сложения сил
Импульс тела (количество движения) (
) – векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его
скорость
Единицей измерения импульса является килограмм на метр,
деленный на секунду (кг∙м/с).
Вектор импульса тела сонаправлен с вектором его скорости.
Учитывая формулы импульса и второго закона Ньютона, получим второй закон Ньютона в более общей форме (или уравнение
движения материальной точки): скорость изменения импульса материальной точки (или тела) равна действующей на нее силе:
Значение силы в данный момент времени определяется как первая производная импульса по времени.
Если имеется система, состоящая из многих тел, то импульс
системы тел равен произведению массы системы на скорость ее
центра масс:
чек – это воображаемая точка, положение которой характеризует
Центр масс (или центр инерции) системы материальных то-
19
распределение массы этой системы. Скорость центра масс опреде-
11
.
nn
i
i ii
ci i
c
dr
mm
dt
dr
v
dt m m
v
= =
= = =
∑∑
12 12
;
nn
pp p pp p
′′ ′
+ +…+ = + +…+
11221122
,mv m v m vvm
′
⋅+ ⋅′= +
1
p
2
p
n
p
1
p
′
2
p
′
n
p
′
12
.FF= −
ляется как отношение радиуса-вектора системы ко времени:
Закон сохранения импульса: суммарный импульс изолированной системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе:
где
,
,
– импульс тел, до взаимодействия
,
,
– импульс тех же тел после взаимодействия.
Физический смысл закона состоит в том, что импульс каждого
тела, входящего в эту систему изменяется, сохраняется же векторная
сумма импульса всех составных частей системы.
Нахождение результирующего импульса системы тел – это геометрическое сложение импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Для их сложения применяется правило сложения векторов – правило
параллелограмма.
Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют
друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные
стороны вдоль одной прямой, соединяющей эти тела:
1.3. Энергетические характеристики поступательного движения
Все, что существует в мире, окружающем человека, ученые на-
зывают материей. Считается, что материя существует в двух видах –
20