Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, урове.pdf
при сосуде, вращающемся со скоростью, соответствующей частоте 5800 об/мин. Молоко находится на расстоянии 12 см от оси
вращения.
4. При отстаивании сливок в молоке жировые шарики всплывают со скоростью 1,75∙10–7 м/с. Определить радиус жировых шариков, если плотность жира 0,85 г/см3, плотность обрата 0,9 г/см3,
коэффициент вязкости обрата 13∙10–4 кг/м∙с.
5. Определить градиент давления на концах водопроводной
трубы, служащей для водоснабжения животноводческой фермы,
если диаметр трубы 9 см и за 15 с через нее протекает 1,8∙10–2 м3
воды. Вязкость воды считать равной 1,0∙10–3 Па∙с.
41
3. Элементы колебательного движения
( )
0
cos xA t= ω +ϕ
( )
0
sin xA t= ω +ϕ
2 vω= π
2Tπ
ω=
Ключевые понятия: колебательное движение, смещение, амплитуда, циклическая (круговая) частота, период колебаний, фаза
колебаний, скорость, сила, энергия, периодические, непериодические и гармонические колебания, свободные и вынужденные колебания, затухающие и незатухающие колебания, гармонический
осциллятор, физический маятник, математический маятник, пружинный маятник.
3.1. Характеристики колебательного движения
Колебательное движение (механическое колебание) – движе-
ние, при котором тело (система тел) систематически отклоняется от
положения равновесия то в одну, то в другую сторону многократно.
Колебательное движение, являясь гармоническим процессом,
может быть описано с помощью уравнений:
или
При этом следует учитывать, что если смещение тела в начальный момент времени равно нулю, то для описания движения в уравнении используется функция синуса, а если смещение отлично от
нуля, то функция косинуса.
Смещение (x) – расстояние от положения равновесия до коле-
блющейся точки в любой момент времени.
Единицей измерения смещения является метр (м).
Амплитуда (А) – наибольшее смещение.
Единицей измерения амплитуды является метр (м).
Циклическая или круговая частота (ω) – число колебаний,
совершенных телом за 2π секунды:
или
42
.
.
Частота колебания (υ) – число полных колебаний, совершен-
.
n
t
υ=
.
t
Tn=
1
T =
υ
1
T =
υ
.tϕ=ω
ных телом за единицу времени:
Единицей измерения частоты является герц (Гц).
Период колебания (Т) – промежуток времени, в течение кото-
рого совершается одно полное колебание:
Единицей измерения периода является секунда (с).
Частота и период колебания – величины, взаимно обратные,
то есть чем больше период колебания, тем меньше частота, и наоборот:
или
.
Фаза колебания (φ) – величина, определяющая значение колеблющейся величины в любой момент времени:
Начальная фаза колебания (φ0) – величина, определяющая
значение колеблющейся величины в начальный момент времени.
Зная фазу колебания можно определить, какая доля периода
прошла от момента начала колебания до момента, когда смещение
стало равно x, а также величину самого смещения, если известна амплитуда (рис. 3.1). В таблице 3.1 представлены значения смещения
при различных значениях фазы колебания.
43
Рис. 3.1. Доля периода при различных значениях фазы колебания
0ϕ=
cos 0 1=
cos 0xA A= =
0t =
2
π
cos 0
2
π
=
cos 0
2
xA
π
= =
4
T
t =
ϕ=π
cos 1π=−
cosxA A= π=−
2
T
t =
3
2
ϕ= π
3
cos 02π=3cos 0
2
xA= π=
3
4
tT=
2ϕ= π
cos 2 1π=
cos 2xA A= π=
tT=
( )
cos
sin .
dA t
dx
v At
dt dt
′
ω
= = = −ω ω
sin cos .
2
v A tA t
π
= −ω ω = ω ω +
Таблица 3.1 – Значения смещения в зависимости от фазы колебания
Фаза колебания Значение косинуса Смещение Время
ϕ=
Скорость колебания (v) – первая производная смещения:
Чтобы убрать минус в правой части, уравнение можно записать
в виде:
44
Максимальное значение косинуса любого угла равно единице.
max
.vA= ω
( )
2
sin
cos .
dA t
dv
a At
dt dt
′
−ω ω
= = = −ω ω
( )
22
cos cos .a AtA t= −ω ω = ω ω + π
2
max
.aA= ω
2
.F ma m A= = ω
22
.
2
mA
Поэтому максимальное значение скорости колебаний равно:
Ускорение (а) – первая производная скорости:
Чтобы убрать минус в правой части, уравнение можно записать
в виде:
Если учесть, что при косинусе, равном единице, ускорение
достигает максимальной величины, то
Сила (F), действующая на колеблющуюся материальную точку,
определяется согласно второму закону Ньютона:
Полная энергия колеблющегося тела (Е) – величина, равняя
сумме кинетической и потенциальной энергии и пропорциональная
квадрату амплитуды:
EE E
=+=
3.2. Виды механических колебаний и их уравнения
Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому
выделяют различные виды колебаний.
кп
ω
45
1. По характеру физических процессов:
( )
11 0 1
cos ;xA t= ω +ϕ
( )
22 0 2
cos .xA t= ω +ϕ
1) механические;
2) электромагнитные;
3) электромеханические.
2. По характеру зависимости от времени:
1) периодические – колебания, при которых система возвращается в положение равновесия через равные промежутки времени
(движение часового маятника);
2) непериодические – колебания, при которых система возвращается в положение равновесия через неравные промежутки
времени;
3) гармонические – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).
3. По способу вынуждения:
1) свободные (или собственные) – колебания, совершающиеся
за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колеблющуюся систему;
2) вынужденные – колебания, совершаемые за счет вынуждающей силы.
4. По характеру изменения амплитуды:
1) затухающие – колебания, происходящие за счет однажды
сообщенной механической энергии, но из-за преодоления трения
в точке подвеса и сопротивления окружающей среды энергия расходуется и превращается во внутреннюю энергию, амплитуда постепенно уменьшается, а тело останавливается;
2) незатухающие – колебания происходят под действием периодически действующей вынуждающей силы.
Для описания механических колебаний используются уравне-
ния движения, которые представлены в таблице 3.2.
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, то есть сложить колебания.
Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты:
46
Таблица 3.2 – Уравнения движения некоторых видов колебания
2
2
0
d x b dx k
x
m dt m
dt
+ +=
2
2
0
dx k
x
m
dt
+=
2
2
d x b dx k F
x
m dt m m
dt
+ +=
( )
12 0
cos .xx x A t= + = ω +ϕ
( )
222
1 2 12 2 1
2 cos .A A A AA= + + ϕ −ϕ
0
cos 1ϕ=
120
AA A= =
22 22
1 2 12 0 0 00
22 2 2
00 0 0 0
.
21 2
2 4 2
A AA AA AA AA
AA A A A
= ++ ⋅= ++ =
= ++ = =
№
п/п
Вид колебания Уравнение
1 свободные затухающие колебания
2 свободные незатухающие колебания
3 вынужденные колебания
Уравнение результирующего колебания
Амплитуда результирующего колебания задается соотношением:
Амплитуда результирующего колебания зависит от начальной
фазы (или от разности фаз). Если φ0 = 0,
, а
, то
В таблице 3.3 представлены значения амплитуды результирующего колебания в зависимости от фазы колебания.
Если складываются взаимно перпендикулярные колебания оди-
наковой частоты, то траектория результирующего колебания зависит от разности фаз, возможные формы траекторий и уравнения
движения представлены в таблице 3.4.
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных коле-
баний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложная и представляет собой фигуры Лиссажу.
47
Таблица 3.3 – Значения амплитуды результирующего колебания
0
2A
2
π
0
2A
6
π
3
2
0
4
π
2
2
0
32π
0
2A
3
π
1
2
0
3A
0
2A
22
2
22
2
cos sin
x xy y
AB
AB
− α+ = α
22
22
1
xy
AB
+=
B
yx
A
= ±
22 2
xyA+=
при различных значениях начальной фазы
Фаза
колебания
(φ0)
0° (0) 1
Значение
косинуса
(cos φ0)
Значение
амплитуды
(А)
Фаза
колебания
(φ0)
90°
Значение
косинуса
(cos φ0)
0
Значение
амплитуды
30°
3, 7A
180° (π) –1 0
45°
60°
270°
3, 4A
0
360° (2π) 1
Таблица 3.4 – Форма траектории и уравнение при сложении
взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
№
п/п
эллипс, оси которого ориентированы
1
относительно координатных осей
произвольно
Форма траектории Уравнение
(А)
эллипс, оси которого совпадают с осями
2
координат
3 прямая линия
4 окружность
Все тела колеблются с соответствующей частотой, называемой
собственной частотой колебания (ω). Если на это тело действует вынуждающая сила с частотой ωВ, то происходит наложение частот
собственных колебаний и вынуждающей силы. При условии, что
48
частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных
22
2,
2rm
δ=
22
0
δω
22
.
22
x
( )
00
cos .tα=α ω +ϕ
колебаний, в теле наблюдается явление резонанса.
Резонанс – явление значительного увеличения амплитуды, происходящее при приближении частоты вынуждающей силы к частоте
собственных колебаний системы. Резонансная частота:
ω = ω−δ
рез 0
где δ – коэффициент затухания,
;
r – коэффициент сопротивления;
m – масса тела, совершающего колебания.
При
значение ω
практически совпадает с собствен-
рез
ной частотой ω0 колебательной системы, тогда амплитуда результирующего колебания:
A =
рез
0
δω−δ
0
Таким образом, при малых затуханиях резонансная амплитуда
возрастает, а при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы может достигнуть максимума.
3.3. Гармонический осциллятор
Гармонический осциллятор – система, совершающая свобод-
ные гармонические колебания.
Примерами гармонического осциллятора являются физический, математический и пружинный маятники.
Физический маятник – тело, совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси,
проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела
(рис. 3.2).
Уравнение движения физического маятника:
49
Рис. 3.2. Физический маятник
0
,
mgl
I
ω=
2,
L
Tg= π
Циклическая частота физического маятника:
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;
I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей
через точку подвеса;
g – ускорение свободного падения;
m – масса.
Период колебания физического маятника:
где L – приведенная длина физического маятника.
Таким образом, период колебаний физического маятника прямо
пропорционален корню квадратному из приведенной длины физического маятника и обратно пропорционален корню квадратному из
ускорения свободного падения.
Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы
тяжести (рис. 3.3).
50