Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технология обучения младших школьников решению открытых задач в свете нового образовательного стандарта. Пособие для учителей начальных классов, студе
.pdf
22
б) Открытые задачи, порождающие другие задачи или обобщения.
1 2 3 4 5
6
7 8 9
Многие результаты в математике, физике и других естественных нау-
ках были найдены в результате удачного обобщения. В качестве примера
удачного обобщения можно привести классический пример про маленького
Гаусса, который очень быстро, в уме, решил задачу, предложенную учите-
лем: найти сумму чисел: 1+2+3+4+5+…+98+99+100. Данную задачу можно
предложить учащимся начальных классов, применяя, затем, приѐм составле-
ния других задач из данной и приѐм обобщения. Рассмотрим, как это можно
сделать на аналогичной, более простой, задаче. Найти возможными спосо-
бами сумму ряда чисел: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Рассмотрев все варианты,
остановимся на самом рациональном способе, основанном на равенстве
сумм чисел, равностоящих от концов ряда:
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11*5=55. Если дети будут затрудняться в
выборе этого метода, нужно помочь им наводящими вопросами. Затем нужно спросить детей, нельзя ли найти этим способом сумму чисел у следующего ряда чисел: 1+2+3+4+5+6+7+8+…+30. Дети проверяют выдвинутую гипотезу, находя сумму предложенным способом, и для проверки – другими спо-
собами. Учитель предлагает следующую задачу: Как можно, используя нашу
идею, найти сумму следующего ряда чисел: S=1+2+3+4+5+…+(n-1)+n. Используя аналогию, дети могут самостоятельно дать ответ: S=n*(n+1)/2. Из
этой задачи следуют другие, обратные к ней.
Найденный метод решения позволяет решить следующую практическую
задачу «Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы
во всех клетках было разное число кроликов?». Дети
предварительно находят сумму чисел
1+2+3+4+5+6+7+8+9=10*4+5=45 и, решая обратную, быстро находят ответ.
Рис. 7
Количество кроликов в каждой клетке разное, всего их 45. Можно предло-
жить детям ещѐ 2 задачи, следующие из первой: а) найдите сумму нечѐтных
чисел от одного до 99. б) Найдите сумму чѐтных чисел от 2 до 100 и т.п.
23
Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к
Основные средства видоизменения задачи
- обобщение;
- специализация;
- аналогия;
- разложение и составление новых комбина-
ций.
Открытые задачи, порождающие другие задачи или обобщение
рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве
своего элемента. При подготовке к решению открытых задач, порождающих
другие задачи или обобщения, необходимо познакомиться с основными
средствами видоизменения задач и с этапами составления новых задач, приводящих, нередко, к обобщению.
Таблица 5
24
15 дм
4 дм
2 дм
15 дм
4 дм
2 дм
?
в) Открытые задачи, которые можно интерпретировать по-
15 дм
4 дм
?
2 дм
разному
Рассмотрим пример открытой задачи данного вида. «Подумай, какие
вопросы можно поставить к данному условию? От проволоки длиной 15 дм
отрезали 4 дм, а потом еще 2 дм. Возможно ли промоделировать эту задачу?
Как это сделать?»
1. Дети предлагают следующие вопросы: Сколько всего дециметров в
проволоке? На сколько дециметров стал короче отрезок во второй раз, чем в
первый? На сколько дециметров проволока стала короче, если:
а) 2 дм отрезали от основной проволоки;
б) 2 дм отрезали от проволоки длиной 4 дм.
Сколько дециметров проволоки осталось, если:
а) 2 дм отрезали от основной проволоки;
б) 2 дм отрезали от проволоки длиной 4 дм и т.д.
2. Затем учитель просит подумать над вторым вопросом задач. Дети
предлагают разные варианты интерпретации задачи, показывают их на доске. Далее идет обсуждение и выбор лучшего из них. Возможные варианты:
а) Было - 15 дм
Отрезали 1 раз – 4 дм
Отрезали 2 раз – 2 дм.
Осталось - ?
в) г)
д) и т.д.
б) Было - 15 дм
Отр.- 4дм Отр.- 2дм Осталось - ?
Рис. 8
Учителя начальных классов должны хорошо знать способы варьиро-
25
вания задачи, приемы интерпретации формулировки задач, представленные
Способы варьирования задачи
Приемы интерпретации формулировки задачи
- возвращение к определениям;
-
разложение и составление новых
комбинаций;
- введение вспомогательных элементов;
- обобщение;
- специализация;
- аналогия.
1) Изменение текста задачи:
- замена термина содержательным описанием;
- замена некоторых слов синонимами;
- исключение части текста, не влияющей на результаты решения;
-
замена некоторых слов, терминов словами,
обозначающими более общее или частное понятие;
- изменение порядка слов и (или) предложений.
2) Изменение формы представления текста задачи – построение модели:
- предметной;
- геометрической (использование геометриче-
ских фигур и модели);
- графической;
- условно-предметной (рисунок);
- словесно - графической (краткая схематическая
запись);
- табличной.
3) Введение произвольных единиц и соответствующая переформулировка текста.
Открытые задачи, которые могут быть интерпретированы по-
разному и ответы могут быть разными
ниже.
Таблица 6
Особой разновидностью интерпретации задачи является введение
удобных единиц измерения величин, о которых идет речь в задаче. Рассмотрим задачу: «Ученик заплатил за 2 блокнота и 3 открытки 99 копеек. Сколько стоит блокнот и открытка в отдельности, если блокнот в 4 раза дороже
26
открытки?». Данная задача по традиционной системе обучения не может
быть решена обычными методами. Учащиеся, занимающиеся по учебникам
под ред. Л.Г. Петерсон и Н.Б. Истоминой, могут ее решить, используя метод
схематического моделирования, приняв одну открытку за отрезок.
От.
99 копеек
Б.
Рис. 9
99:11=9 (к.) – цена открытки;
9*4=36 (к.) – цена блокнота.
В традиционных классах решить эту задачу можно путем введения
новой единицы стоимости и переформулировки текста задачи. Учитель ведет рассуждения так. Стоимость и цена – это величины. В задаче названа
только одна единица стоимости цены – копейка. Однако стоимость, как и
любая другая величина, может иметь много других единиц. Мы вправе в ка-
честве меры выбрать любой объект, характеризуемый данной величиной, и
приписать ему значение, равное единице, т.е. принять «количество величины» в этом объекте за единицу. Поскольку в задаче описывается лишь два
рода предметов, характеризуемых стоимостью блокнота и открытки, то в ка-
честве меры удобно выбрать один из них и принять значение его стоимости
за единицу. Так как возможности для выбора существует две, то и возможных путей переформулировки рассматриваемого вида – два. Возьмем в качестве меры более дешевый предмет – открытку, а ее стоимость примем за
единицу. Дадим название этой единицы. Название может быть любым. Что-
бы не придумывать новых терминов, назовем новую единицу стоимости так
же, как и предмет, – «открытка». Итак, мы имеем теперь новую единицу
стоимости – одна откр. Выразим цены описываемых в задаче товаров в новых единицах. Цена открытки – одна откр. Цена блокнота, согласно усло-
27
вию, в 4 раза больше цены открытки. Получаем новую интерпретацию задачи с учетом новой единицы. «Ученик заплатил за 2 блокнота и 3 открытки –
99 копеек». Если стоимость измерять в «открытках», то цена одной открытки равна 1 откр., а блокнот в 4 раза дороже. Найдите цены блокнота и открытки в копейках».
Решение: 1) 1*3=3 (откр.) – стоимость 3-х открыток;
1) 1*4=4 (откр.) – цена блокнота;
2) 4*2=8 (откр.) – стоимость двух блокнотов;
3) 8+3=11 (откр.) – стоимость всей покупки;
4) 99:11=9 (к.) – цена открытки;
5) 9*4=36 (к.) – цена блокнота.
г) Открытые задачи, предполагающие многовариантность ответов
В начальной школе в учебниках математики довольно часто встречаются открытые задачи данного вида. Рассмотрим простейший пример: «Подумайте, как можно прочитать данное равенство: 15-4=11». Возможные ответы: 1) разность чисел 15 и 4 равна 11; 2) 15 – уменьшаемое, 4 – вычитаемое, 11 – разность; 3) из 15 вычесть 4 получится 11; 4) 15 минус 4 равно 11;
5) 15 без 4 равно 11; 6) 15 уменьшить на 4 получиться 11, и т.д.. К открытым
задачам данного вида относятся также следующие задачи:
1. Чем похожи и чем отличаются следующие числа: 267 и 672.
2. Дайте характеристику числу 326 845. и т.д.
Глава 2. Основы методической подготовки учителей начальных клас-
сов к обучению младших школьников решению открытых задач
2.1. Общие требования к формулировке открытых задач.
В учебниках математики для начальной школы, особенно по системе
развивающего обучении, есть открытые задачи, но их явно недостаточно,
чтобы систематически включать в обучение младших школьников. В п. 1.1
мы отметили принципиальное отличие формулировок открытых и закрытых
28
задач. Поэтому учитель начальных классов должен овладеть приемом переформулировки закрытых задач в открытые, используя с этой целью следующие требования:
формулировка открытых задач должна отражать цель исследования, ко-
торую нужно достигнуть или проблему, которую нужно преодолеть;
формулировка открытых задач может предполагать развитие в разных
направлениях проведенные рассуждения, приводя к обобщению;
формулировка может содержать требование что-то обосновать, доказать,
объяснить, исследовать;
формулировка открытых задач позволяет замечать некоторые закономер-
ности, сталкивать с проблемой, выдвигать и проверять гипотезы;
формулировка открытой задачи создает возможность пользоваться раз-
ными математическими методами;
формулировка открытых задач вынуждает вести нестандартные, в отно-
шении к находящимся в школьных учебниках, рассуждения;
она побуждает проводить работу по уточнению данных и т.д.
Открытые задачи, решаемые на уроках математики в начальных клас-
сах, должны не только быть понятны и интересны ученикам, но и доступны
большинству из них. При составлении открытых задач, учитель начальных
классов должен научиться варьировать их сложности. В дальнейшем это бу-
дет очень важно уметь с учетом особенностей подготовки класса. Этого
можно достичь за счет различной постановки требования, благодаря комби-
нации и формы исходных данных, а также за счет использования в процессе
решения подводящего и побуждающего диалога. Подводящий и побуждающий диалоги отражают логику поиска, подводят детей к пониманию про-
блемы и выдвижению, если это необходимо, гипотезы, то есть направляют
на путь открытий. Методика обучения подводящему и побуждающему диалогу представлена в практической части данной главы. Очень важным мо-
ментом в составлении открытой задачи является формулировка вопроса.
При постановке вопроса необходимо исходить из имеющихся знаний об
29
объекте исследования и связях с другими объектами. Многие задачи из кур-
Закрытые задачи
Открытые задачи
1) Найди признак, по которому можно
разбить на 2 части числа: 35, 44, 45, 531,
333, 540, 242;.
1) Подумайте, можно ли разбить на две
части числа: 35, 44, 45, 531, 333, 540, 242;.
Если да, то рассмотрите возможные
случаи.
2) Прочитайте выражение 15∙3;
2) Предложите возможные варианты
чтения выражения: 15∙3;
3) Длина забора вокруг участка треуголь-
ной формы равна 275 м. Одна его сторона
равна 86 м, другая на 5 м больше первой.
Найди длину его третьй стороны.
3) Длина забора вокруг участка треуголь-
ной формы равна 275 м. Одна его сторона
равна 86 м, другая на 5 м больше первой.
Подумайте, какие вопросы можно поставить к данному условию.
4) Дима с Сашей нашли в лесу 25 белых
грибов и 36 подосиновиков. Из них 15 грибов мама пожарила, а остальные засолила. Сколько грибов пошло на засолку?
4) Дима с Сашей нашли в лесу 25 белых
грибов и 36 подосиновиков. Из них 15 грибов мама пожарила, а остальные засолила. Сколько грибов пошло на засолку? Подумайте, какими способами можно решить задачу. Решите и выберите лучший вариант.
5) Найди значение выражения (60:6)∙4.
5) Какие задачи можно придумать к выражению (60:6)∙4. Выберите лучший вариант.
са начальной математики можно легко переделать в открытые, переформулировав вопрос или (и) условие.
Приведем образцы переформулировки закрытых задач в открытые на
примере упражнений, взятых из учебника второго класса по программе
«Школа 2000…».
Таблица 7
2.2 Методика обучения младших школьников решению открытых задач.
При обучении младших школьников решению открытых задач очень
важно следовать следующим этапам:
30
Учитель сам объясняет решение задачи
Анализ решения с целью определения метода
решения данного вида открытых задач.
Этапы обучения решению открытых задач.
Закрытая задача
Ученики пытаются са-
мостоятельно решить
открытую задачу
Открытая задача
Перенос метода на аналогичную
открытую задачу
I этап. Цель - учащимся необходимо приобрести опыт «встречи» с открытыми задачами. Учитель должен показать естественность открытых задач.
1) Решение типовой закрытой задачи.
2) Переформулировка условия и (или) требования, чтобы задача стала
открытой.
II этап. Цель - освоить решение открытых задач соответствующего вида.
III этап. Цель - освоить, по аналогии, решение открытых задач следующих
Схема 1
видов.
IV этап. Решение готовых открытых задач всех видов путем переноса мето-
дов и умений в знакомую ситуацию.
Рассмотрим методику составления и решения открытой задачи на
примере закрытой задачи, взятой из учебника первого класса программы
«Школа 2000…».Задача «Постройте замкнутую ломаную линию, состоящую
из четырех звеньев и проходящую через четыре данные точки…»
В данной задаче требование допускает единственное решение, затем учитель
меняет формулировку задачи и получает открытую задачу: «Можно ли построить замкнутую ломаную линию, не отрывая руки, состоящую из четы-
рех звеньев и проходящую через четыре данные точки, и если да, то сколько
решений вы можете предложить?»
31
Учитель должен предложить учащимся сравнить условия первой и
второй задач, а также требования к ним. Дети, анализируя тексты задач, выясняют, что задачи очень похожи, но отличаются тем, что для решения пер-
вой задачи достаточно показать один образец построения, а для того, чтобы
ответить на поставленный вопрос второй задачи, нужно решить проблему
«Каким методом мы будем искать эти построения?». Выдвигается гипотеза –
«выполняем построение методом проб и ошибок». Дети выполняют по-
строения, показывают их на доске. Затем идет коллективное обсуждение
предложенных вариантов. Можно применить групповой метод с использованием «мозгового штурма». Далее работа над задачей продолжается. Учи-
тель предлагает во второй задаче заменить четыре звена на три и озвучить
новую задачу. Дети предлагают разные варианты текста задачи, идет обсуждение и выбирается лучший текст новой открытой задачи: «Можно ли построить замкнутую ломаную линию, состоящую из трех звеньев и проходя-
щую через четыре данные точки, и если да, то сколько решений вы можете
предложить». Учитель предлагает детям самостоятельно найти варианты
решения задачи, используя метод проб и ошибок. Выполняя работу, дети
быстро замечают, что задачу невозможно решить. Возникла проблемная си-
туация: нужно построить три замкнутых звена так, чтобы все четыре точки
им принадлежали, но у нас ничего не получается. Как быть? Чтобы подвести
детей к решению проблемы, учитель начинает с детьми подводящий диалог.
Рассмотрим его фрагмент: (У – учитель, Д – дети)
У. – Как мы строили звенья в первой и во второй задаче?
Д. – Мы соединяли точки отрезками.
У. – Требование соединять точки отрезками было дано в этой задаче?
Д. – Нет, не было.
У. – Значит, как еще мы можем проводить отрезки? И т. д.
Дети предлагают разные варианты построения. В результате приходят
к выводу, что данные точки могут быть не только концами отрезков, но и
лежать внутри них. Затем идет обсуждение представленных детьми вариан-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]