Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технология обучения младших школьников решению открытых задач в свете нового образовательного стандарта. Пособие для учителей начальных классов, студе
.pdf
12
Почти все ученики использовали при счете более, чем один метод. Ко-
гда ученики почти закончили счет и проверку числа яблок, учитель спросил
их, сосчитали ли они яблоки точно. Это было началом общения учителя и
учеников для обнаружения правильного результата. Затем ученики объясняли свои решения, стоя перед классом.
На практике каждый учитель должен учитывать условия класса и цели
обучения. Проблема определяется так: она возникает, когда ученик встречается с заданием, которое дается обычно учителем, и описанного пути решения проблемы нет. Задание, которое можно сразу решить, обычно не считается проблемой.
Обучение открытым подходом отличается от проблемного обучения.
Открытый подход используется, как правило, раз в месяц. Число таких занятий зависит от намерений учителя относительно целей и содержания:
Эдвард Сильвер (Канада) понятию «открытая» задача дает несколько
разных значений. В предмете математика это понятие используется для обозначения задачи, которая оставалась неразрешенной некоторое время. Например, последняя теорема Ферма была знаменитой открытой задачей в математике. В этом смысле использования, задача открытая, пока кто-нибудь
не найдет решения и не закроет задачу. В контексте математической педагогики, термин «открытая» задача часто используется в несколько других значениях:
1. Задача может считаться открытой потому, что сама задача может
интерпретироваться по-разному, и ответы могут быть разными. Многие прикладные задачи относятся к этому типу.
2. Задачи могут также считаться открытыми, если для их решения ис-
пользуются различные методы. Например, Сильвер, Килпатрик и Шледингер
приводят примерный эпизод обучения в классе, в котором учитель и обу-
чающиеся обсуждают множество решений к хорошо известной задаче: «На
скотном дворе есть цыплята и кролики. Я насчитал 50 голов и 120 ног.
13
Сколько животных каждого вида есть во дворе?» В этом эпизоде ученики
проявили и обсудили обоснованность, возможность обобщения и силу двух
алгебраических подходов, визуальное решение и использование последовательных приближенных значений.
3. Разумно также назвать задачу открытой, если она вызывает другие
задачи или обобщения. Например, следующая задача: «Докажите, что произведение любых четырех последовательных целых чисел делится на 24».
После того, как эта задача будет решена, можно спросить, есть ли такое число, больше 24, которое делит произведение четырех последовательных це-
лых чисел без остатка. После заключения, что 24 действительно является
самым большим числом, делящим произведение четырех последовательных
целых чисел, будет естественным спросить, каким самым большим делителем можно разделить без остатка произведение трех или пяти последовательных целых чисел, и т. д..
Клякля Мачей (Польша) утверждает, что в процессе обучения матема-
тике нужно использовать открытые задачи. В отличие от закрытых, их фор-
мулировка не подсказывает, например, метода их решения (задача открытая
по отношению к методу решения).
1.3. Структурированная сравнительная система открытых и за-
крытых задач
Проанализировав все выше сказанные определения понятия «открытые» задачи и взяв за основу определение, данное Эдвардом Сильвером (Канада), мы составили структурированную систему, представляющую сравнительную характеристику отрытых и закрытых задач.
14
Таблица 1
Закрытые задачи
Открытые задачи
Закрытая задача, если:
Открытая задача, если:
- имеет закрытый характер со стороны
формулировки вопроса (ясно, что искать);
- имеет открытый характер, когда не ясно, что нужно искать (Задачи, предпола-
гающие многовариантный ответ);
- имеет закрытый характер со стороны
данных величин и числовых данных (в
формулировке задачи точно известно,
что дано);
- данные можно интерпретировать поразному. (Задачи, которые можно ин-
терпретировать по-разному). Сюда
можно отнести задачи с избыточными и
недостающими данными.
- имеет закрытый характер по выбору
метода (известен метод решения, который подсказывает либо формулировка
задачи, либо ее место расположения в
конкретной главе учебника); - и т.д.
- предполагает использование различных
методов решения (1. Задачи, предпола-
гающие много-вариантность решения. 2.
Задачи, порождающие другие задачи или
обобщения)
Обычные формулировки:
Возможные формулировки:
- решите пример, задачу, … ;
- исследуйте, какими методами можно
решить задачу;
- найдите значение выражения, …;
-решите задачу возможными способами;
- решите уравнение,…;
- охарактеризуйте число, выражение;
- докажите, что …(и дается то, что надо доказать);
- чем похожи и чем отличаются числа,
выражения, рисунки и т.д. …;
- вычисли … имея данные…;
- разбейте множество предметов, чисел,
выражений на две группы возможными
способами;
- построй отрезок данной длины, и т.д.;
- проследи, чем является …, и т.д.
Применение открытых задач в обучении математике младших школь-
ников дает возможность не только давать знания, но и сталкивать ученика с
проблемами, решение которых лежит за пределами изучаемого курса, которые развивают творческое мышление, готовят их к решению жизненных задач, умению делать выбор. Понятие «открытая» задача имеет несколько значений, как уже было сказано ранее. Рассмотрим подробнее каждый вид открытых задач.
а) Открытые задачи, предполагающие многовариантность решений
При обучении учащихся решению данного типа открытых задач учитель должен учитывать индивидуально-психологические особенности
школьников. К таким особенностям относятся: качественные особенности
восприятия (предметность, осознанность структурность и т.д.); преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.); виды
15
мышления (наглядно-действенные, наглядно-образные, словесно-логические
Топологическая
подструктура
Порядковая
подструктура
Метрическая
подструктура
Алгебраическая
подструктура
Проективная
подструктура
Обеспечивает
замкнутость, компактность, связанность, осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформации, мысленное
выращивание, вылепливание в
представлении
требуемого объекта (его образа).
Дает возможность постоянного сопоставления
человеком объектов и их элементов по таким
характеристикам,
как больше,
меньше, ближе,
дальше, часть –
целое, изменение
направления
движения и его
характера, положение, форма,
конструкция
предмета.
Позволяет вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров,
углов, расстояний).
С ее помощью осуществляются прямые и обратные
операции над математическими объектами, расчленения и
соединения их составляющих, замену
нескольких операций, одной, объединение нескольких
блоков предметов в
один, выполнение
математических
преобразований в
любой последовательности.
Обеспечивает
изучение математического
объекта или его
изображения с
определенного,
самостоятельно
выбранного положения, проецирование с
этой позиции
объекта на изображение ( или
наоборот) и установление соответствий между ними.
и т.д.), его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.). Внимание педагогов,
прежде всего, должно быть направлено на индивидуальные особенности ма-
тематического мышления. Именно поэтому педагогу важно знать структуру
математического мышления.
Согласно психологическим исследованиям, структура математическо-
го мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур.
Этим обоснована необходимость разных подходов к решению задач. Рас-
смотрим зависимость выбора метода решения открытой задачи от структуры
математического мышления (Таблица 2).
Таблица 2.
воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую
информацию. Например, при восприятии математического объекта один
ученик, прежде всего, выделяет метрические соотношения – его интересует
вопрос «сколько?». Другой воспринимает в первую очередь топологические
инварианты и оперирует ими (непрерывность, замкнутость, связность и т.д.).
При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на
качественных отношениях. Третий ученик (с ведущей алгебраической под-
В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по-разному
16
структурой) постоянно стремится к сокращениям, замене нескольких опера-
1 2 3
4
ций одной. Он часто свертывает, а порой и пропускает какие-то шаги в рас-
суждениях (например, одним действием он осуществляет сразу несколько
операций: переносит все члены уравнения в одну сторону, приводит подобные и тут же выносит общий множитель за скобки). Сделать проверку собственного решения для такого ученика – мука.
Проиллюстрируем сказанное примером выполнения школьниками
следующего диагностирующего теста.
Учащимся предлагается исключить из данного на рисунке ряда фигур лишнюю фигуру и обосновать свой ответ.
Дети с ведущей топологической подструктурой исключают фигуру 5
на том основании, что она находится вне замкнутого контура.
5
Рис. 4
«Метристы» (школьники, у которых ведущей является метрическая
подструктура) предлагают исключить фигуру 4, поскольку у нее только пять
граней, в то время как у всех остальных фигур – по шесть.
«Алгебраисты» выбрасывают фигуру 2 как единственную не цельную,
а сложенную из нескольких частей (кубиков).
С ними не согласны «проективисты», которые твердо убеждены, что
логическую закономерность нарушает фигура 3, так как, в отличие от всех
остальных, центр ее проецирования на чертеж находится слева, а не справа
от фигуры.
Наконец, дети с ведущей порядковой подструктурой утверждают, что
лишней является фигура 1, и обосновывают это тем, что она резко отличается от остальных своими размерами (значительно больше).
17
С учетом этих особенностей мышления можно строить процесс обуче-
Этапы повторения
I раз
II раз
III раз
IV раз
V раз
Вопросы подсказки
1. Сколько вместе ножек у одного табурета и у одного стула?
3+4=7
3+4=7
3+4=7
3+4=7
3+4=7
2. Сколько всего ножек у тех вещей, которые еще не вынесены?
50-7=43
43-7=36
36-7=29
29-7=22
22-7=15
3. Сколько осталось вещей (в штуках): табуретов и стульев?
15-2=13
13-2=11
11-2=9
9-2=7
7-2=5
4. Могут ли остаться не вынесенными только табуреты или только стулья?
Нет. Число 43
36:3=12, 36:4=9.
Нет. Число 29
Нет. 22 не де-
15:3=5. да, ос-
ния школьников математике. Суть его заключается в том, что от детей не
требуется общего, одинакового для всех решения. Каждый может выполнять
задание своим способом, тем, который ему понятнее, а этот индивидуальный
способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления
школьника. В зависимости от нее и помощь учителя, его подсказки должны
быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и
приняты. Приведѐм пример решения задачи с учѐтом пяти основных подструктур математического мышления. Рассмотрим описание индивидуаль-
ных подсказок, которые оказывают реальную помощь школьникам в зави-
симости от индивидуально ведущей подструктуры их математического
мышления.
Задача. В комнате стоят 15 стульев и табуретов, у которых вместе 50
ножек. Сколько стульев и сколько табуретов находится в комнате, если у
стульев по 4 ножки, а у табуретов - по 3?
Топологический способ рассуждения. Подсказки учителя: мысленно
выноси из комнаты вместе по одному
7
табурету и одному стулу.
Далее каждый раз отвечай на следующие вопросы подсказки.
Таблица 3
18
не делится ни
на 3, ни на 4.
Нет. Должно
остаться 11
штук, но 12>11,
а 9<11
не делится ни
на 3, ни на 4.
лится ни на 3,
ни на4.
талось 5 табуретов.
5. Если ответ отрицательный, повтори все рассуждения с вопроса 1 для следующего раза.
6. Сколько всего табуретов? Пятый раз вынесли пятый табурет (вместе с пятым стулом), и
осталось 5 табуретов, значит, всего было 5+5=10 (табуретов).
7. Сколько стульев? 15-10=5 (стульев).
Вопросы-подсказки должны задаваться последовательно. Некоторым
учащимся достаточно оказывается только одной подсказки, и затем они ре-
шают задачу самостоятельно. Если первая подсказка школьнику
ла, то ему предлагается следующая подсказка и т.д.
Порядковый способ рассуждения.
Подсказки учителя: Пусть в комнате стоят только стулья.
1. Сколько тогда должно быть ножек? 4 • 15 = 60 (ножек).
2. На сколько ножек оказалось больше, чем было на самом деле? 60-50
10 (ножек).
3. Почему ножек оказалось на 10 больше? Так как вместо табуретов
брали стулья.
4. На сколько больше ножек у стула, чем у табурета? На 4 — 3=1
(ножку).
5. Сколько в комнате табуретов? 10:1 = 10 (табуретов).
7
не помог-
6. Сколько стульев? 15-10=5 (стульев).
Проективный способ рассуждения.
Дети с этой подструктурой математического мышления, прежде всего,
пытаются построить наглядный образ ситуации, описанной в задаче. Думать
над решением они начинают только после того, как этот образ (или его изображение) у них появился, и решение они строят при активном использовании этого образа.
19
Поэтому этим школьникам целесообразно давать подсказки следую-
… … … … … ….
…. …. …. …. …
щего типа:
- Попробуй изобразить ножки от табуретов и стульев, если
они расположены в один ряд (рис.).
Табуреты Стулья
Рис. 5
- Какое минимальное количество ножек есть у табурета и стула? Далее
идут рассуждения, аналогичные порядковому способу, но в отличие от него
они строятся не аналитически, а посредством постоянной опоры на рисунок
или схему.
Метрический способ рассуждения.
- Предположим, что задача уже решена. Какие числа удовлетворяют
условию задачи?
Учащиеся с данной ведущей подструктурой с большим желанием и
удовольствием готовы длительное время без устали совершать различные
операции над числами. При этом особая интуиция позволяет им "почувствовать" те числа, которые следует брать, и к ответу они приходят довольно быстро: 4*7 + 3*8=52 - не удовлетворяет; 4*5 + 3*10=50-удовлетворяет. Ответ:
10 табуретов и 5 стульев.
Не следует сразу отвергать этот способ. Дело в том, что метод подбо-
ра, как искусственный, не так уж редко используется, особенно при решении
нестандартных задач. При этом он довольно быстро приводит к результату.
Развитие у школьников особой интуитивной чувствительности к числовым
величинам, к целесообразному оперированию количеством является одной
из составляющих математических способностей (В.А.Крутецкий,
С.К.Шапиро).
20
Алгебраический способ рассуждения.
Здесь возможны два различных подхода:
а) комбинирование всевозможными вариантами ответов с помощью
прикидки или перебора возможных вариантов;
б) комбинирование (совмещение) различных способов решения.
Например:
1. 3+4=7 (ножек) вместе у одного табурета и одного стула.
2. 7 • 5 == 35 (ножек) вместе у 5 табуретов и 5 стульев.
3. 50 — 35 = 15 (ножек) осталось несосчитанных.
4. 15 — 10=5 (штук) осталось либо табуретов, либо стульев.
5. 15:5 = 3 (ножки).
Значит, осталось 5 табуретов.
6. 5+5=10 (табуретов).
Следующее действие (15 - 10=5 шт.) не выполняется (оно сворачивается, так как кажется детям очевидным), и сразу записывается ответ: 10 табуретов и 5 стульев.
При обучении школьников решению отрытых задач, предполагающих
многовариантность решений, можно использовать практические задачи,
удовлетворяющие требованиям новизны и занимательности, несколько ва-
риантов исполнения, при решении которых каждый ученик реализует свои
интересы и желания. Например:
«Имеются одинаковые паркетные плитки в форме треугольника с пря-
мым углом. Можно ли из них составить покрытие пола? Ваши варианты».
Дети приводят много вариантов решения данной задачи, например:
21
а) б)
Решение с помощью графов
Метод использования схем
Комбинированный метод (схема + арифметическое действие), и т.д.
Решение с помощью арифметических действий
Графическое, геометрическое решение
Способы
(методы)
решения.
Решение на предметных и условно - предметных моделях
Решение с помощью уравнений
Открытые
задачи, пред-
полагающие
многовариантность решений, методов.
Практический метод
Логический метод
Табличный метод
в) г)
и т.п.
Рис.6
Для того, чтобы подготовить учителя к обучению младших школьников решению данного типа открытых задач, его нужно познакомить с различными способами (методами) решения, представленными ниже в таблице.
Таблица 4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]