Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая физика. Тепловые свойства кристаллов. Учебное пособие
.pdf
относительно оси 0x волновые векторы
x
1
2
2
θ
k
2
G
2
G
2
θ
k
θ
K
, в результате перебро-
са может дать фонон с отрицательным волновым вектором (относительно оси 0x). Такие процессы переброса иногда называются
U-процессами. Столкновения, в которых
называются нор-
0,=G
мальными процессами или N-процессами. Такие процессы представлены на рис. 6.1, а; они описываются соотношением (6.6).
При высоких температурах (T > θ
, где θD – температура Дебая,
D
определяемая формулой (2.67)) возбуждаются все фононы, по
скольку kBT > ħω
max
.
Существенную роль в процессах столкновения фононов
играют U-процессы с относительно большими изменениями
импульса при столкновении. Оценим тепловое сопротивление,
не учитывая различие между U- и N-процессами. Исходя из вы
шеизложенного, можно ожидать, что при высоких температурах
тепловое сопротивление окажется пропорциональным темпера
туре T.
Энергии фононов с волновыми векторами
вечают процессам переброса, окажутся порядка
и
k
, которые от-
k
BD
,
потому
что у фононов 1 и 2 значения волновых векторов должны быть
-
-
-
порядка
для того, чтобы оказалось возможным столкновение
(6.8). Если оба фонона имеют малые значения k и, следовательно,
низкие энергии, то не существует никакого способа получить в ре
зультате их столкновения величину волнового вектора порядка
В процессах переброса энергия должна сохраняться, так же как
и в нормальных процессах.
При низких температурах можно ожидать, что число фононов
BD
,
достаточно высокой энергии порядка
требующейся для
осуществления процессов переброса, определяется приближенно
D
фактором Больцмана
exp .
−
Экспоненциальная зависимость
T
2
71
-
.
такого типа находится в хорошем согласии с опытом. В итоге при-
.≈K cvd
ходим к заключению, что средняя длина свободного пробега фононов, фигурирующая в (6.2), относится именно к столкновениям
между фононами типа процессов переброса, а не ко всем столкно
вениям между фононами.
6.4. Дефекты решетки
-
В ограничении среднего свободного пробега важную роль мо
гут играть геометрические эффекты. Из них следует рассмотреть
рассеяние на граничных поверхностях кристалла, распределение в
решетке одинаковых атомов разных масс (изотопов), примеси иной,
чем матрица, химической природы, нарушения идеальной структу
ры реальной кристаллической решетки и аморфные структуры.
Когда при низких температурах средняя длина l свободного
пробега становится соизмеримой с толщиной d изучаемого образ
ца, то значения l зависимы от толщины и теплопроводность есть
функция размеров образца. Этот эффект объясняет прекращение
уменьшения теплопроводности чистых кристаллов при низких
температурах. При низких температурах процессы переброса ста
новятся несущественными с точки зрения их влияния на уменьшение теплопроводности, а размерные эффекты – доминирующими. Тогда следует ожидать, что средняя длина свободного пробега
фононов станет постоянной и по порядку величины сравнимой с
размером образца d; для коэффициента теплопроводности в этом
случае можно записать
(6.9)
В правой части (6.9) лишь один сомножитель зависит от темпе
ратуры – теплоемкость c. При низких температурах зависимость
c ∞ T 3 кубическая. Размерные эффекты проявляются во всех слу-
чаях, когда средняя длина свободного пробега фононов становится соизмеримой с размером образца.
В кристалле во всех отношениях идеальном за исключени
ем того, что составляющие его атомы для каждого химического
-
-
-
-
-
-
72
элемента имеют разброс по массам (изотопное распределение),
V
часто появляется важный механизм фононного рассеяния: слу
чайное распределение изотопов фактически нарушает идеальную
периодичность кристаллической решетки и, очевидно, картину
упругих волн. В некоторых веществах рассеяние фононов, связан
ное с изотопным распределением, сравнимо с рассеянием фононов на фононах при комнатной температуре.
В стеклах при понижении температуры теплопроводность
уменьшается даже при комнатной температуре. Значения коэффи
циента теплопроводности у кристаллов выше, чем у стекол. Средний свободный пробег в кварцевом стекле равен 8 Å, т. е. по порядку величины сравним с размером тетраэдра двуокиси кремния
(7 Å).
Диэлектрические кристаллы могут обладать столь же высо
кой теплопроводностью, что и металлы. Синтетический сапфир
Al
имеет одно из самых больших значений теплопроводности,
2O3
а именно около 200 Вт/(см . град) при 30 K.
У стекол теплопроводность понижается до 5 . 10
–4
Вт/(см . град)
при 2 K. Теплопроводность микрокристаллического графита при
1 K может достигать 10–5 Вт/(см . град). Максимум теплопроводности сапфира (при 40 K) оказывается выше максимума для меди,
равного 50 Вт/(см . град) при 20 K. Однако металлический галлий
при 1,8 K имеет теплопроводность 845 Вт/(см . град).
-
-
-
-
6.5. Уравнение теплопроводности
Теплота представляет собой результат беспорядочного дви
жения частиц вещества. Степень нагретости тела определяется
температурой T. Между энергией теплового движения тела и его
температурой существует зависимость
Q c TdV
∫∫∫
,= ρ
(6.10)
где V – объем твердого тела; Q – тепловая энергия; ρ – плотность
вещества; c – удельная теплоемкость.
-
73
Передача тепла от одного тела к другому или от одного
n
( )
,,
S
( ) ( )
, ,,;, .
St f xyznt
;n
.n
участка среды к другому происходит различными способами.
Не принимая во внимание лучеиспускание, химические про
цессы и т. д., здесь будем рассматривать только перенос тепла
непосредственной передачей кинетической энергии от частицы
к частице.
Мысленно выделим участок гладкой поверхности S, лежащий
внутри тела. Пусть
– единичный вектор, направленный по нормали к S. Тепловая энергия движения частиц, расположенных по
обе стороны этого участка, с течением времени может изменяться
за счет столкновений их между собой или за счет перехода частиц
через поверхность.
Частица, которая находилась по одну сторону от поверхности
и имела некоторую энергию, может передать ее либо при перехо
де на другую сторону поверхности, либо при столкновении с частицей, находящейся с другой стороны поверхности. Обозначим
Δ
Q количество энергии, отнесенное к единице времени, которое
S
передается в момент времени t через поверхность S частицам, на
ходящимся с той стороны поверхности, куда направлена нормаль,
от частиц, находящихся с другой стороны S.
Величину Δ
Q представим в виде
S
-
-
-
где
Формулы (6.11) и (6.12) равносильны предположению, что ко
личество тепловой энергии, проходящей через элементарную площадку, зависит только от положения центра площадки и направления вектора
в направлении вектора
Изучая распространение тепла в некотором теле, предположим, что внутри тела непрерывно распределены источники тепла
74
Q S t dS
S
∫∫
χ=
∆=χ
(6.11)
(6.12)
-
при этом переход тепла считается положительным
( )
,,, .
( )
= ρ= =
=−+
SV
cT
n
( )
,, ,
( )
00
( )
00
( )
00
z
C
x
Рис. 6.2. Тетраэдр АВСD c объемом Ω
с интенсивностью
0
B
Ixyzt
A
Учитывая баланс тепла для объе-
D
y
ма V, получим
∂ρ
∂
(6.13)
где вектор
dQ d
dt dt t
∫∫ ∫∫∫
c TdV dV
∫∫∫ ∫∫∫
VV
,,;, ,
f x y z n t dS IdV
( )
направлен по внешней нормали.
Объем V совершенно произвольный. Применим (6.13), взяв за
V тетраэдр Ω, одна из вершин которого лежит в точке
Ax y z
0 00
а три грани, пересекающиеся в этой точке, параллельны координатным плоскостям (рис. 6.2).
Пусть S
, Sy, Sz – грани тетраэдра, перпендикулярные соответ-
x
ственно к осям 0x, 0y, 0z, а S0 – наклонная грань. Обозначим σ0
площадь грани S
, а площади остальных граней соответственно
0
σx, σy, σz. Для σx, σy, σz получим
где cos(n
cos , ;σ=σxnx
, x), cos(n0, y), cos(n0, z) – направляющие косинусы внеш-
0
cos , ;σ=σyny
ней нормали к грани S0.
cos , ,σ=σznz
(6.14)
75
Применим (6.13) к тетраэдру с объемом Ω:
( )
− = σ+
+ σ+ σ+
yz
yz
i
k
00
Ω ρ −Ω =σ +σ +
( )
,,;, ;
,,; , ;
,,; , .
0
n
( ) ( )
,,; , ,,;, ,
f x yz nt f xyznt
( )
, , ;,
=
= ++ =
xyz n
f x y z nt
,,;,
x
(6.15)
где
∂ρ
cT
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
ΩΩ
dV IdV f x y z i t d
∂
t
,,; , ,,; ,
f xyz jt d f xyzkt d
( )
∫∫ ∫∫
SS
+ − σ
j
,
,
– единичные векторы, параллельные координатным
,,; ,
f x y z nt d
( )
∫∫
( )
S
x
( )
00
осям 0x, 0y, 0z.
Применяя теорему о среднем для вычисления интегралов
в (6.15), получим
∂
cT I v v
( )
∂
t
+ σ + σ −
cp
v f xyz n t
zz
cp
xx yy
cp cp
,,; , ,
( )
cp
(6.16)
cp
где в целях сокращения записи положено
=
v f xyzi t
x
=
v f xyz jt
( )
y
(6.17)
=
v f xyzkt
( )
z
Знаком |ср обозначено среднее значение функции. Разделим
обе части уравнения (6.16) на σ
тывая, что направление
и перейдем к пределу σ0 → 0, учи-
0
при этом остается постоянным. Предел
левой части будет равен нулю. Принимая во внимание то, что
−=−
(6.18)
получим
0 00
cos , cos , cos , ,
v nx v ny v nz v
( ) ( ) ( )
,,
xyz
( )
000
xyz
( )
,,
000
76
где
n
i
j
k
0
.n
( )
f xyznt
n
v
( )
∂ρ
D SD
cT
n
∂=T
nT
dn
n
v
grad ,= −vkT
– направление внешней нормали к границе S тетраэдра Ω,
совпадающее на гранях S
ями
,
,
−
−
,
−
, Sy, Sz, S0 соответственно с направлени-
x
Таким образом, функция
проекцию
на направление вектора
,,;,
представляет собой
. Тогда при произвольном
объеме D
=− +
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫
dV v dS IdV
∂
t
n
.
(6.19)
Поток тепла, существующий в среде, связан с распределением
температуры в ней. В естественных условиях тепло всегда течет
от частей с высокой температурой к тем частям, температура ко
-
торых ниже.
Будем исследовать, как меняется температура в точках, близ
ких к площадке с нормалью
.
-
Увеличение температуры характеризуется величиной
grad .
Допустим, что среда изотропная, т. е. свойства ее во всех на
(6.20)
правлениях одинаковы. Естественно предположить, что если температура возрастает в направлении нормали, то поток тепла через
площадку S отрицателен. Иными словами, величины ngradT =
= gradnT и vndS должны иметь противоположные знаки. Это должно быть справедливо при любом направлении
проекции векторов gradT и
на любое направление должны быть
обратными по знаку, что возможно только при условии, что векто
. Следовательно,
ры противоположно направленны. Значит,
где k – положительная скалярная величина, которая может зави
сеть от свойств среды, от температуры, от характера изменения
температуры и т. д.
(6.21)
-
77
В случае, когда температура меняется не сильно, в первом при-
( )
∂ρ
D SD
cT
tn
∂
T
dn
ρ= + + +
TTT
cT k k k I
∂
T
aTI
dt
k
I
ближении k можно считать функцией только от точки среды. Это
предположение хорошо согласуется с экспериментом.
Подставляя (6.21) в (6.19), получим
∂
= +
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫
dV k dS IdV
∂∂
T
.
(6.22)
Применяя теорему о том, что при замене направления внешней
нормали направлением внутренней нормали производная
(grad )
=
T
n
меняет знак, получим
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
( )
dn x x y y z z
∂∂ ∂∂ ∂∂
.
(6.23)
Предполагая c, ρ и k постоянными, получим
где
2
= ∆+
a
const;= =
ρ
c
I
.=
1
ρ
c
,
(6.24)
1
Выражения (6.23) и (6.24) называют уравнениями передачи
тепла или уравнениями теплопроводности.
6.6. Температурное поле в металлических образцах
при тепловом воздействии на поверхность
После механической полировки деталей машин поверхность
оказывается сильно шероховатой и представляет собой совокуп
ность хаотически расположенных пирамидок. Среднее расстояние d между пирамидками варьируется от 200 до 1000 нм, а средняя высота h пирамидок – от 50 до 200 нм.
78
-
Методом сканирующей туннельной микроскопии (СТМ) изучалось воздействие растягивающего напряжения на поверхность
для различных материалов: моно- и поликристаллов, металлов
и полупроводников. Даже при небольших нагрузках (примерно
несколько килограмм на миллиметр квадратный) обнаружены
крупномасштабные флуктуации поверхностного рельефа с верти
кальными размерами от десятков до сотен нанометров. На рис. 6.3
представлен поверхностный рельеф сплава Fe70Cr15B15, полученный методом СТМ при внешнем растягивающем напряжении
σ = 500 Н/мм2. Механическое нагружение длилось 140 мин.
Наличие резких изгибов на вершинах и во впадинах приводит
к резкому снижению прочностных свойств металлических дета
лей. Каждый такой изгиб является концентратором внутренних
напряжений. В этом случае поверхность оказывается слабым
звеном и провоцирует разрушение. Поэтому для сглаживания
вершин пирамидок поверхность деталей необходимо подвергать
-
-
Рис. 6.3. Поверхностный рельеф сплава Fe70Cr15B15,
полученный после 140 мин нагружения при внешнем
растягивающем напряжении σ = 500 Н/мм
2
79
финишной полировке. С этой целью используются различного типа
полировки: электролитно-химическая, электролитно-плазменная и
т. д. Как правило, финишные полировки сопровождаются повышением температуры на поверхности обрабатываемой детали.
«Проникновение» высокой температуры в объем образца при
водит к структурным изменениям и снижает эксплуатационные
свойства деталей.
В настоящее время особое внимание уделяется электролитноплазменному полированию (ЭПП) металлов. Этот способ поли
рования обладает высокой производительностью ввиду короткого
основного времени. Одним из преимуществ ЭПП является уни
версальность обработки сложнопрофильных контуров. По сравнению с электролитно-химическим полированием ЭПП более экологично, поскольку в качестве электролитов можно использовать
растворы солей, а не агрессивные растворы кислот.
ЭПП отличается от электролитно-химического полирования
тем, что проводится при более высоких напряжении и плотно
сти тока. Режим полирования подбирается таким, чтобы температура внешней поверхности образца-заготовки не превышала
180 °С. При данном режиме вокруг образца возникает плотная
парогазовая оболочка, толщина которой составляет 0,025 см. Та
кая оболочка представляет собой диэлектрический слой, который
при высоком напряжении пробивается разрядами с образованием
плазменного канала между электролитом и вершиной пирамидки
поверхностного рельефа. Это сопровождается резким повышени
ем локальной температуры в зоне разряда. Происходит процесс
плавления и испарения металла, а, следовательно, температура до
стигает температуры плавления. Однако ввиду малости расплавляемого объема и короткого времени разряда температура образца
оставалась невысокой, т. е. примерно ≥100 °С. В конечном счете в
результате разрядов происходит сглаживание вершин пирамидок
за счет сил поверхностного натяжения расплавленного материала.
Распределение температуры T со временем t в образце можно
найти с помощью уравнения теплопроводности. Решение этой за
-
-
-
-
-
-
-
-
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]