Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая физика. Тепловые свойства кристаллов. Учебное пособие
.pdf
может быть описано с помощью величины ξ
( )
∑
∆R
FR
, характеризующей
s
величину смещения.
Предположим, что сила, действующая на плоскость s и об
условленная смещением плоскости s + p, пропорциональна разности их смещений (ξ
– ξs). Тогда для результирующей силы,
s+p
действующей на плоскость s, можно записать
-
FC
Из (3.6) следует, что сила F
= ξ −ξ
s p sp s
p
+
является линейной функцией сме-
s
.
(3.6)
щений; выражение (3.6) записано в форме закона Гука. Постоянная Cp есть силовая постоянная для плоскостей, находящихся на
расстоянии p. Она будет иметь различное значение для продоль
ной и поперечной волн. Удобно рассматривать Cp как силовую постоянную, определенную для одного атома, так что Fs в данном
случае является силой, действующей на один атом в плоскости s.
Какова связь между C
Пусть U(R
) – потенциальная энергия системы, состоящей из двух
0
атомов, находящихся в состоянии равновесия на расстоянии R
и потенциальной энергией двух атомов?
p
.
0
Если расстояние между атомами увеличивается на величину
, то новую величину потенциальной энергии можно записать
в виде ряда
2
dU d U
= + ∆ + ∆ +
UR UR R R
( ) ( ) ( )
0
dR
R
0
1
2
2
dR
2
... .
(3.7)
R
0
Для силы, вызванной изменением межатомного расстояния на
ΔR, получим
2
dU dU d U
=− =− + ∆ +
dR dR
Однако в (3.8) нас не интересует член
dR
R
0
... .
2
R
0
dU
−
dR
(3.8)
,
потому что,
R
0
во-первых, он не зависит от ΔR, а во-вторых, когда суммируют по
-
41
всем плоскостям, взаимодействующим с данной, результирующая
=−∆F CR
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
exp exp
iska i t
( )
( )
2
ω=− −
∑
сила в состоянии равновесия должна равняться нулю. В нашем
случае силовая постоянная C определяется соотношением
, и для нее можно записать
2
dU
C
=
dR
.
(3.9)
2
R
0
Формула (3.9) определяет вклад пары атомов в силовую посто
янную. Для того чтобы получить величину Cp, необходимо просуммировать вклады от всех пар атомов в двух плоскостях, а затем
разделить на число атомов в одной плоскости.
Уравнение движения плоскости s можно записать так:
ξ
d
s
MC
= ξ −ξ
∑
2
dt
p
( )
+
p sp s
,
(3.10)
где M – масса атома; при суммировании индекс p принимает все
возможные положительные и отрицательные целые значения.
Будем искать решение уравнения (3.10) в форме поперечной
волны:
exp exp ,
ξ =ξ + −ω
+
sp
i s p ka i t
(3.11)
-
где a – расстояние между плоскостями; k – волновое число.
Подставляя (3.11) в (3.10), получим
= + − ξ −ω
C i s p ka iska i t
( )
∑
p
p
После сокращения на
Если примитивный базис содержит только атом, то из транс
ляционной симметрии следует Cp = –C–p и (3.13) можно перегруп-
42
2
−ω ξ − ω =
exp exp exp .
exp exp
M iska i t
( ) ( )
ξ −ω
M C ipka
exp 1 .
p
p
( )
получим
(3.13)
(3.12)
-
пировать следующим образом:
( ) ( )
( )
2
ω=− + − −
∑
2
( )
fk
π
a
2
( ) ( )
pka p
π
a
2
C
M
22
2.π
a
M C ipka ipka
p
exp exp 2 .
p
0
>
(3.14)
Используя тригонометрическое тождество 2cos(pka) =
= exp(ipka) + exp(–ipka), получаем дисперсионный закон
2
ω= −
M
∑
p
1 cos .
C pka
p
>
0
( )
(3.15)
Заметим, что тангенс угла наклона кривой, описывающей зави
симость
так как
ω=
, всегда при
2
ω
d
= =
dk M
sin sin 0.= ± π=
= ±k
равен нулю. В этом случае
sin 0,
paC pka
∑
p
0
>
( )
p
Отсюда следует, что при
(3.16)
= ±k
значение волнового вектора фонона особое. Эти значения волно
вого вектора определяют границы первой зоны Бриллюэна.
Если учитывать взаимодействия между ближайшими соседни
ми плоскостями, то (3.15) сводится к выражению
2
1
ω= −
1 cos .
ka
( )
(3.17)
-
-
-
Используя тригонометрическое тождество, (3.17) можно запи
сать в виде
4
C
ω=
1
M
sin
ka
или
2
Выберем знак квадратного корня так, чтобы частота ω всегда
была положительной. Обе зависимости (3.18) являются периоди
ческими функциями с периодом
4
ω=
C
M
1
2
1
ka
sin .
2
-
(3.18)
-
43
3.3. Первая зона Бриллюэна
( ) ( )
−π ≤ ≤ πka
ππ
aa
π
a
max
→ ±∞k
a
Какая область значений k имеет физический смысл для фоно
нов? Из (3.11) можно получить отношение смещений для двух соседних плоскостей:
exp 1 exp
i s ka i t
ξ
ξ + −ω
1
+
s
= =
ξ ξ −ω
s
exp exp
iska i t
( ) ( )
exp .
ika
( )
(3.19)
Область от –π до +π для фазы ka экспоненциального множите
ля exp(ika) включает в себя все независимые значения этого множителя. Абсолютно бессмысленно утверждение, что два соседних
атома не имеют фазы и отличаются более чем на +π. Так, относи
тельная фаза 1,2π, например, физически идентична относительной фазе –0,8π а относительная фаза 4,2π – фазе 0,2π. Необходимо, чтобы существовали как положительные, так и отрицательные
значения k, так как волны могут распространяться и направо, и на
лево. Таким образом, независимые значения k можно определить
следующим неравенством:
−≤≤k
или
.
(3.20)
Эта область значений k называется первой зоной Бриллюэна одно
мерной (линейной) решетки. Здесь предельные значения
,
= ±k
max
(3.21)
-
-
-
-
-
где k
может быть порядка 108 см–1.
max
Необходимо заметить, что в этом заключается существенное
отличие дискретной структуры от упругой сплошной среды.
В континуальном приближении a → 0 и
.
Предположим, что используются значения k, лежащие вне пер
вой зоны Бриллюэна. Такие значения просто воспроизводят движение решетки, уже описанные значениями k, лежащими в преде-
лах
44
.π±
Таким образом, величину k внутри этих пределов можно
-
рассматривать как результат вычитания соответствующего значе-
2,π
a
a
ξ
( )
exp 2 1.π=in
π
a
( ) ( )
exp expξ =ξ −ω
iska i t
max
= ± π.sk a s
ω
d
dk
( )
vk
ния, кратного
что в результате дает волновой вектор, значе-
ние которого лежит внутри указанных пределов.
Предположим, что k лежит вне первой зоны Бриллюэна, но
2,π
волновой вектор, связанный с ним соотношением
′
= −
kk
n
где n – целое число, лежит в первой зоне. Тогда отношение смеще
ний (3.19) можно записать так:
1
++
sp
ξ
exp exp 2 exp 2 exp ,
ika ni i ka n ik a
= ≡ π −π ≡
( ) ( ) ( ) ( )
+
sp
′
(3.22)
поскольку
Таким образом, смещение всегда можно описать с помощью
значения волнового вектора, лежащего в первой зоне Бриллюэна.
= ±k
У границ первой зоны Бриллюэна
s
будет описывать не бегущую, а стоячую
волну. У границ зоны
exp exp 1 exp .ξ =ξ ± π −ω =ξ − −ω
s
is it it
( ) ( ) ( ) ( )
max
Отсюда
s
и решение
(3.23)
Это и есть уравнение стоячей волны.
Для волны (3.23) соседние атомы движутся в противофазе, так
как cos(sπ) = ±1 в зависимости от того, является ли s четным или
нечетным целым числом. Волна не движется ни влево, ни вправо,
т. е. она стоячая.
-
Скорость пакета является групповой скоростью. В физической
оптике групповая скорость рассчитывается так:
3.4. Групповая скорость
=
v
g
, или
grad .
= ω
g
k
(3.24)
45
В двух или в трех измерениях
grad
k
есть градиент по вектору
k
Групповая скорость – это скорость переноса энергии в среде. Для
дисперсионных соотношений (3.17) и (3.18) групповая скорость
2
Ca
v
1
=
g
M
ka
cos .
2
(3.25)
.
Основной результат (3.16) показывает, что на краю зоны Брил
люэна групповая скорость равна нулю. А этот результат как раз
и справедлив для стоячей волны.
3.5. Решетка с двумя атомами в примитивной ячейке
В кристаллах, которые имеют несколько атомов в примитивной
ячейке, спектр колебаний обладает новыми особенностями. Как и
в структурах NaCl и алмаза, рассмотрим кристаллы, имеющие два
атома в примитивной ячейке. Для каждого вида смещений (и для
продольного, и для поперечного) при данном направлении рас
пространения в дисперсионном законе, т. е. в зависимости ω от
k, возникают две ветви, называемые акустической и оптической
ветвями. Аналогично именуют соответствующие фононы. Обо
значим LA, TA поперечные акустические фононы, LO и TO соответственно продольные и поперечные оптические фононы.
Если примитивная ячейка содержит p атомов, то в дисперси
онном законе для фононов возникнут: три акустические и (3p – 3)
оптические ветви. Так, алмаз, у которого примитивная ячейка со
держит два атома углерода, имеет шесть фононных ветвей: одну
LA, одну LO, две TA, две TO.
Рассмотрим кубический кристалл, в котором атомы массой M
образуют одну систему плоскостей, а атомы массой M
– другую
2
систему плоскостей, расположенных между плоскостями первой
системы. Не существенно, равны эти массы или нет; существенно,
что два атома базиса действительно неэквивалентны либо по си
ловым постоянным, либо по массам. Обозначим a период решетки
в направлении нормали к плоскостям решетки. Рассмотрим толь
-
-
-
-
-
1
-
-
46
ко волны, распространяющиеся в симметричном направлении,
11
2;
ss s
dt
2
21
2.
s ss
dt
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
( )
ξ
( )
( ) ( )
4 22
для которого каждая отдельная плоскость содержит только один
тип ионов (атомов); такими направлениями являются направление
[111] в структуре NaCl и направление [100] в структуре CsCl.
С учетом уравнения движения и того, что каждая плоскость
взаимодействует только с ближайшими соседними плоскостями,
силовые постоянные одинаковы для всех пар плоскостей, являю
щихся ближайшими соседями. В результате эти уравнения имеют
следующий вид:
2
ξ
d
s
MC
MC
= ς +ς − ξ
( )
2
ς
d
s
= ξ +ξ − ς
( )
2
+
+
(3.26)
(3.26а)
-
Решения уравнений (3.26) и (3.26а) будем искать в форме бе
гущей волны с различными амплитудами ξ и ς для чередующихся
плоскостей:
exp exp ;ξ =ξ −ω
s
iska i t
exp exp .ς =ς −ω
s
iska i t
(3.27)
Подставляя (3.27) в уравнения (3.26), получим
2
−ω ξ = ς + − + − ξ;
M C ika C
1
2
−ω ς = ξ + − ς.
M C ika C
1 exp 1 2
2
exp 1 2
(3.28)
(3.28а)
Эта система однородных линейных уравнений относительно двух
неизвестных значений ξ и ς имеет нетривиальное решение лишь в
том случае, если детерминант, составленный из коэффициентов
при
и ς, равен нулю:
2 1 exp
C M C ika
− + − ω
C ika C M
2
− ω − + −
1
1 exp 2
( )
2
2
0
=
(3.29)
или
2 2 1 cos 0.
ω− + ω+ − =
M M C M M C ka
12 1 2
(3.30)
47
-
Можно решить уравнение (3.30) точно относительно ω2, но
1<<ka
±πka
2
12
11
2;
12
ππ
aa
π
a
1
2
C
2
2
C
1
ξ
M
проще сразу рассмотреть предельные случаи
и
у
границы зоны Бриллюэна. В первом случае (для малых значений ka)
22
cos 1 ... .
ka
( )
ka
≅ − +
Получаем два корня уравнения (3.30):
– оптическая ветвь:
2
ω≅ +
C
(3.31)
MM
– акустическая ветвь:
22
Ck a
2
ω≅
2
MM
( )
.
(3.32)
+
Область значений k в первой зоне Бриллюэна описывается не
равенством
−≤≤k
,
где a – период решетки. Второй случай
отвечает границам первой зоны Бриллюэна, где k максимальны,
max
= ±k
Тогда имеем следующие корни:
2
;ω=
M
2
.ω=
(3.33)
M
т. е.
.
Для оптической ветви при k = 0 из (3.28) и (3.31) можно найти
2
= −
ς
.
(3.34)
M
Этот результат показывает, что атомы при оптических колебани
ях движутся навстречу друг к другу, причем так, что центр их масс
в ячейке остается фиксированным. Если ионы заряжены противо
положно, то движение такого типа можно возбудить электрическим
полем световой волны. По этой причине ветвь (3.31) названа оп
тической. Частоты поглощения в оптической ветви лежат в инфракрасной области экспериментально наблюдаемого спектра.
Другое решение, помимо (3.34), соответствующее малым зна
чениям k, отвечает равенству амплитуд ξ = ς. В этом случае атомы
-
-
-
-
-
48
(и их центр масс) движутся вместе, как при длинноволновых аку-
ε = ω,
.=pk
2
33
12 1
π
V
0
N Dd
стических колебаниях (3.32). Отсюда и возник термин «акустичес кая ветвь».
3.6. Теплоемкость по теории о фононах
Согласно теории о фононах тепловые колебания решетки мож
но рассматривать как совокупность фононов, в свою очередь, фононы будем представлять как квазичастицы, которые обладают
как энергией
(3.35)
так и импульсом
(3.36)
Энергия и импульс фонона связаны, как и в фотонах, следую
щим образом:
ε = <v>p, (3.37)
где учтено наличие нескольких поляризаций фононов и взята их
средняя скорость в соответствии с (2.66).
Плотность состояний газа, включающего в себя фононы как
квазичастицы, определяют по формуле
34
π
Ω= ε ε=
d Dd
( )
V p dp
2
( )
.
(3.38)
3
π
Множитель 3 учитывает три возможные поляризации фононов.
Принимая во внимание (3.37), из (3.38) получаем
2
ε= ε
D
( )
2
π <>
( )
v
( )
.
(3.39)
-
-
Для дальнейших вычислений удобно выразить (3.39) не через
среднюю скорость <v> звука, а через температуру Дебая. При этом
воспользуемся условием, что общее число фононов
k
BD
3θ= ε ε.
A
∫
(3.40)
( )
49
Здесь kB – постоянная Больцмана. Тогда
9
N
1
9,
θ−
∫∫
2
A
D
( )
θ
k
( )
BD
.ε= ε
(3.41)
3
Фононы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, и поэтому
среднее число <n> фононов с энергией ε, как и в разделе 2.3, опре
деляется согласно (2.18) по формуле
-
ε=
n
( )
exp 1
ε
kT
B
.
(3.42)
−
Для полной энергии фононов в рассматриваемом твердом теле
получаем выражение
θ
k
BD
U D n d NkT
= ε ε ε ε=
( ) ( )
0
AB
3
T z dz
D
exp 1
3
z
( )
(3.43)
что, как следовало ожидать, совпадает с формулой (2.69). Дальней
шие вычисления теплоемкости при использовании формулы (3.43)
полностью совпадают с теми, что проводились в разделе 2.10.
Полученный вывод показывает, что представление о квазича
стицах, в данном случае фононах, позволяет использовать понятия и методы, выработанные для обычных частиц. Однако отсюда
не следует делать вывод о том, что квазичастицы существуют в
том смысле, в каком существуют обычные частицы. Фонон был
введен аналогично фотону, но нельзя фонон называть элементар
ной частицей в том же смысле, в каком фотон является одной из
фундаментальных элементарных частиц физики.
4. ТЕПЛОЕМКОСТЬ МЕТАЛЛОВ
-
-
-
Для металлов к теплоемкости за счет колебаний кристалличе
ской решетки добавляется еще теплоемкость за счет свободных
электронов металла. При обычной температуре она составляет
ничтожную часть решеточной теплоемкости и может во внимание
50
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]