Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Техническая физика. Тепловые свойства кристаллов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Пока рассматриваем механическое описание ансамбля осцил-

∂ε

ляторов, заметим, что условие его механического равновесия во внешнем силовом поле имеет вид (5.1). Перепишем это условие для одного осциллятора:

.∂=

(5.9)

Фактически уравнение (5.9) и есть искомое обобщение условия механического равновесия ансамбля. Вследствие ангармонического «смягчения» силовой постоянной в выражении (5.8) колебательная энергия ансамбля зависит от деформации ε. Поэтому к силе упру гости, являющейся производной потенциальной энергии (5.7), добавляется сила «колебательного» давления со стороны флуктуирующих степеней свободы ξn – производная колебательной энергии по ε. Эта сила – механический аналог теплового давления. Она превратится в него после статистического усреднения. Осталось усреднить колебательную энергию по времени, в результате по лучим искомую динамическую часть тепловой энергии ансамбля.

Процедуру усреднения колебательной энергии (5.8) можно про вести двумя способами. Первый способ, самый простой, заключается в том, что средняя энергия колебаний (5.8) набора независимых ангармонических осцилляторов ξn полагается равной kBT, где под T следует понимать измеряемую термометром температуру ансамбля. Никакой явной зависимости тепловой энергии и темпе ратуры от деформации в этом случае нет. Наблюдаемое на опыте изменение указанных величин возникает как следствие перерас пределения внутренней энергии осциллятора в процессе его адиабатического механического нагружения. Второй способ основан на использовании теории возмущений по константе ангармонизма

g для усреднения динамики флуктуирующих степеней свободы ξ

Тогда в гармоническом приближении имеем систему независимых гармонических осцилляторов с силовой постоянной f (без ангар монического «смягчения»). Решая динамическую задачу с медленно меняющимся состоянием термодинамического равновесия ансамбля при его адиабатическом нагружении, принимаем, что и

в гармоническом приближении система равновесная с некоторой



 



ε.

 



затравочной средней энергией колебаний осцилляторов k травочная температура T

отличается от температуры термостата

bar

BTbar

. За-

T (для растянутого образца она выше).

Теперь связь между этими температурами будем устанавливать в виде разложения по константе ангармонизма. В нулевом порядке (гармоническое приближение) T

(0)

= T

. В первом порядке теории

bar

возмущений следует учесть в (5.8) зависимость «смягченной» ча стоты

от деформации (и от времени). Тогда среднее значение

соответствующей ангармонической добавки во второе слагаемое в (5.8)

−

B bar

(5.10)

а среднее значение колебательной энергии (первые два слагаемых в (5.8))

( )

= −

w kT

T B bar

(5.11)

Среднее значение третьего слагаемого в колебательной энер

гии (5.8) в этом приближении равно нулю, поскольку представляет собой среднее по времени третьей степени гармонических функций. Таким образом, в первом порядке теории возмущений получена зависимость динамической части тепловой энергии от деформации

аналогично, но уже этого приближения достаточно для обсужде

Следующие поправки ангармонизма вычисляются

ния ТУ-эффекта и эффекта термического расширения.

Если принять, что динамическая часть тепловой энергии равна kT, где T – измеряемая температура (см. ранее), то (5.11) дает для нее в первом порядке

( )

= −

bar

(5.12)

С добавлением ангармонических поправок высшего порядка в выражение (5.12) в пределе должна получиться наблюдаемая тем

пература T. Индекс вверху указывает, в каком приближении полу-

чена наблюдаемая температура по заданной затравочной. Соотно-

 



gk T

εε

TT T

шение между двумя температурами (5.12) можно получить, также используя теорию возмущений, в частности,

( )

= +

bar

(5.13)

Теперь верхний индекс указывает, в каком приближении вы числена затравочная температура, если известна наблюдаемая температура T. Таким образом, затравочную температуру можно вычислить с любой требуемой точностью по известной наблюда емой температуре.

В первом приближении внутренняя энергия ансамбля



( )

= − +ϕ ε

w kT

B bar





( )

(5.14)

Из условия механического равновесия (5.9) в первом порядке теории возмущений по константе ангармонизма g находим урав нение состояния:

òì

B bar

,ε = ε + ε = + ≈ +

(5.15)

где с учетом (5.13) в выражении (5.15) затравочная температура заменена наблюдаемой температурой T.

Таким образом, установлена степень приближения, в котором справедливо допущение об аддитивности тепловой и механиче ской деформаций. Подстановка (5.15) в (5.12) дает с указанной точностью изменение наблюдаемой температуры от механиче ской нагрузки:

где также учтено соотношение (5.13).

Таким образом, ТУ-эффект здесь получен как следствие явной зависимости динамической части тепловой энергии (и измеряе мой температуры) от деформации, а также уравнения состояния

( )

∆ =− ≈−

bar

(5.16)

(5.15). В рассмотренном варианте причиной изменения темпера-

  

TB B

туры является зависимость частоты, а значит, и энергии колебаний ангармонического осциллятора от его деформации, т. е. сохраняется имеющаяся зависимость колебательной энергии от деформации в процессе ее статистического усреднения. Баланс энергии в ТУ-эффекте с указанной точностью обеспечен тем, что приращение динамической части тепловой энергии равно (с про тивоположным знаком) ангармонической добавке в приращении упругой энергии:

( )

w w kT kT

∆ = ∆ + ∆ϕ ≈ − + + =

( )

gF F gF F

(5.17)

Результирующее приращение внутренней энергии соответ

ствует, как и должно быть, работе внешней силы.

Если вернуться к исходной ситуации нагретого тела в отсут ствие внешней нагрузки, то окажется, что и в этом случае представление внутренней энергии (5.14) суммой двух составляющих, зависящих от деформации, также имеет смысл. Теперь механиче ское равновесие нагретого тела достигается при равенстве внутренней силы упругости (производная по ε второго слагаемого в (5.14)) и (с противоположным знаком) внутренней силы теплово го давления (производная по ε первого слагаемого в (5.14)). Хотя в этом случае обе части внутренней энергии (5.14) имеют один источник – передача телу тепловой энергии извне, ее представле ние в виде суммы двух составляющих позволяет находить термическую деформацию εт как результат механического равновесия с участием только внутренних сил.

Наблюдаемое на опыте изменение температуры тела, а зна чит, и определенной (динамической) части его тепловой энергии при адиабатическом механическом нагружении объясняется здесь как результат зависимости этих величин от деформации тела в условиях его теплового и механического равновесия. Эта зависимость является следствием нелинейности сил межатомно го взаимодействия и здесь обосновывается теорией возмущений

по константе ангармонизма в применении ее к колебательной

динамике атомов. При механическом равновесии для нагретого ангармонического твердого тела и при учете зависимости (5.16) к упругой силе добавляется также внутренняя сила «теплового» давления. Отсюда следует зависимость деформации тела от его температуры и внешней нагрузки – уравнение состояния. В пер вом порядке по константе ангармонизма уравнение состояния имеет простой вид суммы тепловой и механической деформаций

(5.2).

6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Коэффициент теплопроводности твердого тела K легче всего

определить, рассматривая стационарный поток тепла Q в длинном

стержне, в котором создан градиент температуры

Тогда спра-

ведливо соотношение

,=dTqK

(6.1)

где q – поток тепловой энергии (это энергия, проходящая через по перечное сечение стержня в единицу времени); K – коэффициент теплопроводности.

6.1. Коэффициент теплопроводности

Соотношение (6.1) свидетельствует о том, что процесс распрос транения энергии – случайное явление. Нельзя считать, что тепло вая энергия просто поступает с одного конца стержня и, проследовав вдоль него, доходит до другого. Механизм рас пространения энергии сходен с диффузионным, и энергия на своем пути в об разце как бы испытывает многократные столкновения. Если бы энергия распространялась без отклонений прямо через образец, то выражение для теплового потока зависело не от градиента тем пературы, а от разности температур ΔT на концах образца при лю-

бой его длине. Градиент температуры в (6.1) появляется именно

NaCl.



из-за того, что теплопроводность – случайный процесс.

Из кинетической теории газов известно, что коэффициент теп-

лопроводности

=K cvl

(6.2)

где c – теплоемкость единицы объема; v – средняя скорость ча стиц; l – средняя длина свободного пробега между двумя последующими столкновениями.

Для описания теплопроводности твердых диэлектриков выра жение (6.2) было впервые использовано П. Дебаем; при этом величина c рассматривалась как теплоемкость фононного газа, v – как средняя скорость распространения фононов, а l – как средняя дли на свободного пробега фонона. В таблице представлены средние значения величин для кварца и каменной соли

Кристалл

Кварц

Каменная

соль NaCl

Температура

T, °C

–190

Дж/(cм . град)

2,00 0,55

1,88 1,00

Вт/(см . град)

0,13 0,50

0,07 0,27

–8

540

100

см

При вычислении l принималось, что скорость v (6.2) равна скорости звука (v = 5 . 105 см/с).

Приведем вывод формулы (6.2), основанный на элементарной кинетической теории газов. Поток частиц (молекул), движущихся

в направлении оси 0x, равен





где n – концентрация

молекул; при равновесии потоки в прямом и обратном направле ниях одинаковы. Угловыми скобками < > обозначено среднее значение. Если c0 – теплоемкость, отнесенная к одной частице, то при движении из области объема с локальной температурой T + ΔT в область с локальной температурой T частица потеряет энергию

ΔT: c0ΔT. Разность локальных температур ΔT на концах интервала,

dT dT

Tlv

dx dx

dT dT

dx dx

равного средней длине свободного пробега, получают с помощью выражения

∆ = = τ,

(6.3)

где τ – среднее время между столкновениями.

Следовательно, для полного потока энергии (создаваемого по

токами частиц в обоих направлениях)

=< >τ = <>τ

q n v c nvc

(6.4)

Для фононов, когда скорость ν постоянна, (6.4) можно записать

в виде

где l = vτ; c = nc

=dTq cvl

(6.5)

В результате получаем выражение (6.2).

Средняя длина свободного пробега фононов l определяется в основном двумя процессами: геометрическим рассеянием и рассеянием фононов на фононах. Если силы взаимодействия между атомами чисто гармонические, то никакого механизма фонон-фононных столкновений не существует и средняя дли на l свободного пробега определяется отражением фононов от граничных поверхностей кристалла и рассеянием фононов на дефектах кристаллической решетки (т. е. геометрическим рас сеянием). Возможны ситуации, для которых эти эффекты доминирующие.

6.2. Тепловое сопротивление кристаллической решетки

Роль ангармонических взаимодействий между атомами рас смотрена в главе 5 при изучении термоупругого эффекта. Если между атомами существуют ангармонические взаимодействия, то

между фононами имеется взаимодействие, которое ограничивает

возможные значения длины свободного пробега. В этом случае точные моды ангармонической системы уже не похожи на обыч ные фононы. Рассмотрим тепловое сопротивление, обусловленное взаимодействиями в решетке.

Построение теории, объясняющей влияние ангармонической связи на тепловое сопротивление, является сложной задачей. При ближенное решение этой задачи дал П. Дебай, а позже более точное решение предложил Р. Пайэрлс. Было показано, что l при вы-

соких температурах пропорциональна

Это согласуется с

результатами многих экспериментов и объясняется следующим образом. Некоторое число фононов взаимодействует с данным фононом; при высоких температурах полное число возбужденных

фононов пропорционально температуре. Частота

столкновений

данного фонона должны быть пропорциональна числу фононов,

с которыми он может столкнуться, следовательно,

.= τ ∞ lv

Чтобы могла осуществиться теплопроводность, в кристалле должен существовать механизм, который обеспечивал бы уста новление локального теплового равновесия в распределении фононов. Без такого механизма нельзя говорить о тепловом равновесии фононов при температуре T2 на одном конце кристалла и о тепловом равновесии при температуре T

на противоположном

конце. Для осуществления теплопроводности недостаточно иметь лишь механизм ограничения средней длины свободного пробега, нужен еще механизм установления равновесного распределения фононов.

Столкновения фононов со статическими дефектами кристал лической решетки или с границами кристалла сами по себе еще не обеспечивают установления теплового равновесия, поскольку столкновения не изменяют энергию отдельных фононов: частота рассеянного фонона равна частоте падающего.

12 3

+=kk k

 

а)







б)

Рис. 6.1. Схема нормального процесса рассеяния (N-процесса),

при котором выполняется соотношение (6.6) (а) и схема

процесса переброса (U-процесса), при котором

выполняется соотношение (6.8) (б)

Заметим также, что трехфононные процессы, когда при столк-

новении фононов волновой вектор сохраняется, т. е.

, (6.6)

не приводят к установлению равновесия. Причина заключается в том, что при таких столкновениях полный импульс фононного газа не изменяется (рис. 6.1, а). Равновесное распределение фоно нов при температуре T совместимо с перемещением кристалла, но

при этом трехфононные столкновения типа (6.6) не испытывают



0≠J



12 3

kk k

 

12 3

kk kG

 



0≠G



возмущений. При таких столкновениях полный импульс системы фононов

J kn

∑



(6.7)

сохраняется, поскольку при столкновениях Здесь

пределения с

есть число фононов с волновым вектором

столкновения типа (6.6) не способны к уста-

новлению теплового равновесия, так как они оставляют

обусловлено (6.6).

. Для рас-

неиз-

менным. Если создать в кристалле распределение «горячих» фононов с

вдоль всего кристалла при неизменном значении

, то такое распределение будет распространяться

≠

. Следователь-

но, никакого теплового сопротивления не будет.

6.3. Процессы переброса

Пайэрлс показал, что для теплопроводности существенны трехфононные процессы не типа (6.6), т. е. когда

а типа

где

– вектор обратной решетки.

Напомним, что вектор

может появляться во всех законах со-

,+=+

(6.8)

хранения импульса, относящихся к кристаллической решетке. Процессы взаимодействия волн в кристаллах, когда полное изме нение волнового вектора не обязательно равно нулю, а может оказаться равным вектору обратной решетки, всегда возможны в периодических решетках, тогда как в модели твердого тела как непрерывной среды вектор

Процессы или столкновения, в которых

всегда равен нулю.

, называются процессами переброса. Понятие процесса переброса относится к таким ситуациям, какая представлена на рис. 6.1, б. В этом случае столкновение двух фононов, которые оба имеют положительные

,+=

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]