Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая физика. Тепловые свойства кристаллов. Учебное пособие
.pdf
а разделив эту энергию на энергию одного колебания моды, полу-
11
чить среднее число
n
колебаний данной моды, которые возбуж-
i
дены. В математическом смысле вычисления аналогичны тем, которые привели от формулы (2.5) к формуле (2.10), и дают
следующий результат:
ε
n nP
in
= = ω=
i i in
ωω
ii
∑
ω
exp 1
i
−
. (2.18)
kT
Теперь вопрос вычисления полной энергии возбуждения свел
ся к нахождению часто нормальных мод и их чисел.
Энергия моды по формуле ε
= ħωi аналогична формуле энер-
i
гии фотона, что наводит на мысль рассматривать такую моду как
квазичастицу. Это представление было, в сущности, уже исполь
зовано, когда в (2.17) формула Больцмана применялась для определения средней энергии в моде. Такая квазичастица, связанная
с модами звуковых колебаний, называется фононом. Введение
понятия фононов является эффективным приемом, значитель
но облегчающим рассуждения. Оно так же эффективно с чисто
математической точки зрения, поскольку формальные матема
тические приемы вычислений величин, связанных с фононами,
аналогичны соответствующим вычислениям, относящимся к фо
тонам. Такая аналогия обусловлена тем, что в обоих случаях волновые процессы одинаковы. Однако физическая сущность этих
процессов совершенно различна. Поэтому из факта существо
вания фотонов как частиц, которые обладают соответствующей
энергией, обнаруживаемой экспериментально, и могут суще
ствовать изолированно, вовсе не следует, что и фононы – частицы с аналогичными свойствами. В современной физике имеется
большое число других квазичастиц, являющихся нормальными
модами соответствующих возбуждений (магноны, поляритоны,
экситоны и т. д.). То, что относится к фононам, справедливо и
для квазичастиц.
-
-
-
-
-
-
-
21
2.4. Модель Дебая
( )
( )
,, , , ,
∂ρ∆ ∂ρ
∂∂
Sx u
tt
В твердом теле возможно распространение продольных и по
перечных волн с различными скоростями. Поперечные волны могут иметь два направления поляризации. Таким образом, можно
говорить о длинноволновых модах звуковых волн с тремя видами
поляризации, каждая из которых имеет свои особенности и может
зависеть от направления распространения. Однако для упрощения
будем рассматривать изотропное твердое тело. Для каждого вида
поляризации вычисление числа мод совершенно одинаково. Теория
теплоемкости Дебая основывается на расчете числа мод звуковых
колебаний твердого тела. Имеются в виду достаточно длинновол
новые моды, поскольку возбуждения вблизи 0 K и частоты колебаний должны соответствовать малым энергиям, т. е. быть малыми.
2.5. Волновое уравнение для изотропной среды.
Дисперсионное соотношение
Рассмотрим распространение продольных упругих волн в изо
тропном твердом теле. Выведем волновое уравнение для продольных волн, распространяющихся вдоль оси X. Выделим в пространстве тонкий цилиндр, площадь основания которого S и высота Δx.
Ось цилиндра совпадает с осью X. Обозначим: ρ(x, t) – плотность ве
щества; p(x, t) – давление, которое возникает в веществе в результате
изменения плотности; u(x, t) – скорость колебаний частиц вещества
вдоль оси X (мы рассматриваем продольные волны). Эта скорость не
является скоростью распространения волны, а во много раз меньше ее.
Напишем закон сохранения массы в объеме – изменение массы
в объеме, отнесенное ко времени, равно разности масс, вошедших
в объем и вышедших из него:
-
-
-
-
= ρ − ρ +∆ +∆ ≡− ∆
S xt u xt S x xt u x xt S x
( ) ( ) ( ) ( )
где последнее слагаемое – разложение в ряд Тейлора, при этом со
хранен только первый член, линейный по Δx.
22
(2.19)
-
Остальные члены можно отбросить, поскольку дальше Δx при-
∆Sx
( )
∂ρ
+=
∂∂
u
tx
( )
,,
∂∂
u
tt
∂∂
ρ+=
∂∂
up
tx
′
ρ
′
∂ρ ∂
∂∂
u
tx
′
∂∂
ρ+=
∂∂
up
tx
нимается за бесконечно малую величину. После сокращения обеих частей (2.19) на
получаем уравнение
∂ρ
, (2.20)
0
называемое уравнением непрерывности.
Сила, которая действует на массу в рассматриваемом объеме,
обусловливается разностью давлений на разные торцы цилиндра,
которые перпендикулярны оси X. Следовательно, второй закон
Ньютона можно записать следующим образом:
∂
ρ ∆ = − +∆ ≡− ∆
S x Sp x t Sp x x t S x
( ) ( )
∂
p
, (2.21)
или
0.
(2.22)
Изменения плотности и давления в среде можно считать ма
лыми:
ρ = ρ
где ρ
и p0 – постоянные плотность и давление в среде при отсут-
0
+ ρ' ; p = p0 + p', (2.23)
0
ствии волны; ρ' и p' – изменения плотности и давления, связанные
с волной. Обе эти величины малые.
Все дальнейшие вычисления проводятся с сохранением вели
чин первого порядка малости по ρ' и p'.
Подставляя (2.23) в уравнения (2.20) и (2.22) и сохраняя только
линейные по
и p' члены, получаем
-
-
Для определения трех неизвестных величин ρ', p' и u уравне
ний (2.24) недостаточно. Необходимо иметь еще одно уравнение,
содержащее эти величины. Им является уравнение состояния, свя
+ρ =
0
0,
0.
0
(2.24)
-
-
23
зывающее давление и плотность:
( )
∂ρ
′′
p
∂
′′
p
v
∂
p
′
∂ρ ∂
∂∂
u
tx
′
∂ ∂ρ
ρ+ =
∂∂
u
tx
x
22
′′
−=
∂∂x vt
22
∂∂
−=
∂∂
uu
x vt
x
p = p(ρ). (2.25)
Соотношения (2.23) с учетом связи (2.25) примут вид
ρ +ρ = ρ +ρ
00
p
( )
0
, (2.26)
∂ρ
т. е.
2
=ρ ≡ρ
p' v
,
(2.27)
∂ρ
где введена новая величина
, которая, как показано далее, есть
скорость распространения волн:
2
.
=
v
(2.28)
∂ρ
С помощью (2.27) можно исключить уравнения (2.24), в ре
зультате они примут вид
+ρ =
0
0,
0
2
v
0.
(2.29)
Продифференцировав первое уравнение (2.29) по t, а второе по
и вычитая первое уравнение из второго, получим
∂ρ ∂ρ
1
2 22
0.
(2.30)
Аналогично, дифференцируя первое уравнение (2.29) по x,
а второе по t и вычитая почленно одно из другого, имеем
-
Уравнения (2.30) и (2.31) описывают волну, распространяющу
юся вдоль оси X со скоростью v. Это непосредственно следует из
того, что любая функция
24
1
2 22
−
ft
является решением волнового
v
0.
(2.31)
-
уравнения. Поэтому фронт волны f = const задается условием
−= ,
x
v
dt
v
( )
( )
0
′
ρ
0 00
0;
′
− ωρ + ρ =i ik u
0 00
0.
′
ρ − ωρ =ik i u
0
′
ρ
00
ωρ
i ik
.ω=±vk
2π
T
2π
t
const
(2.32)
из которого следует, что
,=dxv
действительно скорость распространения фронта волны.
т. е.
(2.33)
Решения уравнений (2.30) и (2.31) будем искать в следующем
виде
′′
exp ;
ρ=ρ ω−
0
i t kx
exp .
= ω−
u u i t kx
0
(2.34)
Поставляя (2.34) в (2.29), получаем алгебраические уравнения
для определения
и u0:
(2.35)
Для того чтобы однородная система (2.35) имела нетривиаль
ные (ненулевые) решения для
и u0, необходимо следующее:
определитель, составленный из коэффициентов уравнений, дол
жен быть равен нулю:
ikv i
0
2
ωρ
0
2
= −ω ρ + ρ =
22
kv
0.
(2.36)
-
-
Отсюда
частотой волны
риод колебаний и длина волны. Соотношение (2.37) называется
дисперсионным. В рассматриваемом случае оно имеет простой вид,
однако в других случаях может быть более сложным. Соотношение
(2.37) позволяет определить частоты колебаний, а следовательно,
и энергии соответствующих мод, если известны волновые числа.
(2.37)
Соотношение (2.37) выражает связь, существующую между
ω=
и волновым числом
=λk
, где T и λ – пе-
25
2.6. Функция плотности мод в одномерном случае
∑
ii
i
Un
ωi
( ) ( )
( )
,.
nT
22
−=
∂∂
ss
x vt
( ) ( ) ( )
sk
i t ska
Согласно модели Дебая при тепловом равновесии суммарная
энергия U набора осцилляторов с различными частотами ω
сумме их энергий ħω
n
где
ную
– среднее число осцилляторов, имеющих энергию, рав-
i
.
:
i
= ω
, (2.38)
равна
k
Часто оказывается удобным суммирование (2.38) заменить ин
тегрированием. Пусть число нормальных колебаний (мод) в интервале частот между ω и ω + dω равно D(ω)dω. Тогда энергия
U dD n T
∫
,= ω ω ω ω.
(2.39)
Зная U, легко найти теплоемкость – дифференцированием U
по T, что сведется к дифференцированию
ω
Главной проб-
лемой становится нахождение D(ω) – функции, дающей число со
стояний на единицу длины интервала частот.
Эту функцию называют функцией плотности состояний или
плотности мод.
Сначала рассмотрим задачу об упругих колебаниях одномерной
цепочки частиц (рис. 2.2). Пусть N + 1 – число частиц, a – расстояние между ними, L – длина цепочки. На рис. 2.2 представлен ва
риант, когда частицы s = 0 и s = N, которые находятся на концах
цепочки, закреплены. Смещение ξ
частиц цепочки описывается
s
волновым уравнением, аналогичным уравнениям (2.30) и (2.31):
∂ξ ∂ξ
1
2 22
0.
(2.40)
Решением уравнения (2.40) с закрепленными частицами на
концах цепочки является стоячая волна:
-
-
-
где ω
зависит от волнового вектора k.
k
26
0 exp sin ,ξ =ξ −ω
(2.41)
( )
1
−π
N
LL L L
π
L
L
0=sи =sN
ππ
N
kk
La
( )
π
L
π
a
π
L
π
a
Рис. 2.2. Линейная решетка (цепочка) из N + 1 атомов при N = 7
В случае, когда частицы на концах цепочки закреплены, число
допустимых значений k ограничено и определяется граничными
условиями, а именно
k
(2.42)
23
πππ
, , , ..., .
=
Функция, описывающая смещения и дающая решение для
:
=k
ξ ∞
s
sa
π
sin .
(2.43)
При
и требуют граничные условия. Для
В этом случае смещения не допускаются ни для одного атома,
поскольку sin(sπ) = 0 для любого значения s. Итак, согласно (2.42)
имеем N – 1 допустимых независимых значений k. Это число рав
но числу частиц, которые могут перемещаться. Каждому такому
значению k отвечает решение вида (2.41). Для одномерной цепочки
частиц (одномерная решетка с постоянной решетки a) имеется одно
нормальное колебание (мода) на каждый интервал значений k,
равный
ний k для
∆=k
≤k
функция (2.23) обращается в нуль, как того
= = =
sin .ξ ∞ πss
,
так что число мод на единичный интервал значе-
равно
а для
,
(2.44)
нулю.
>k
max
-
27
Существует и другой прием подсчета числа состояний, наибо-
π±N
L
π
is
π
is
3
π
is
( ) ( )
sk
246
πππ π
N
LLL L
2.π
L
лее широко используемый. Рассмотрим неограниченно протяженную среду, но потребуем, чтобы решения были периодическими
на больших, но конечных расстояниях L, так что функция смеще
ния ξ(sa) = ξ(sa + L). Этот подход известен под названием периодических граничных условий (рис. 2.3).
Для варианта, представленного на рис. 2.3, решение k = 0 от
-
-
вечает однородной моде, точки
– одному и тому же реше-
нию (exp(isπ) совпадает с exp(–isπ)). Поэтому имеется восемь разрешенных мод; смещение атома с номером s описывается
функциями 1;
±
exp ;
4
±
exp ;
2
±
exp(isπ).
4
exp ;
Для больших систем ни в чем существенном данный подход не
меняет физики задачи. При этом решение в виде бегущей волны
имеет вид
ξ =ξ −ω
0 exp ,
i ska t
а разрешенные значения k
таковы:
0, , , , ..., .
= ± ± ± ±
k
(2.45)
Этот прием дает то же число состояний (по одному на способ
ный смещаться атом), что и (2.43), но теперь k принимает как положительные, так и отрицательные значения, а интервалы между
соседними значениями k одинаковы:
∆=k
При периодических
-
Рис. 2.3. Допустимые значения волнового числа k
для периодических граничных условий для линейной цепочки длиной L
(одномерной решетки) при N = 8 (из восьми атомов)
28
граничных условиях число мод на единичный интервал значений K
ππ
aa
2π
L
π
L
/
ω
πω πω
L dk L d
d d dk
( )
ω=k vk
ω=d
dk
π
L
v
πω≤v
a
π
v
a
для k в интервале
чений k нулю. Если для удобства расчета необходимо ограничиться
положительными значениями k, то опять получим величину
Надо знать функцию D(ω) – число мод на единицу длины интервала частот. В интервале dω вблизи ω число состояний D(ω)dω
можно записать в виде
Групповую скорость k можно получить из закона дисперсии
ω(k). Функция D(ω) имеет преимущество в ситуациях, когда гра
фик функции ω(k) проходит горизонтально, т. е. на горизонтальном участке групповая скорость равна нулю.
В приближении Дебая, когда среду можно считать непрерыв
ной, полагают
звука. В одномерном случае из (2.46) для D(ω) получим
и D(ω) = 0 в остальных случаях. Спектр обрезается при
−≤≤k
ω ω= ω=
Dd d
( )
,
так что
D
( )
равно
,
а для всех остальных зна-
.
.
(2.46)
v
– постоянная скорость
,ω=
,
(2.47)
ω=
D
-
-
,
чтобы полное число нормальных колебаний было правильным,
т. е. равным N – числу частиц. Выражение (2.47) есть плотность
мод для каждого типа поляризаций. Если для каждого значения k
имеется три моды (для всех типов поляризации), то и (2.47) надо
просуммировать по трем поляризациям, используя соответствую
щие значения скорости звука ν для каждого типа поляризации.
получим
D(ω) = Nδ(ω – ω
Для N эйнштейновских осцилляторов, имеющих частоту ωЭ,
), (2.48)
Э
29
-
где δ – дельта-функция Дирака. Она обладает тем свойством,
∂ξ
( )( )
= πkL n
что
dxf x x a f a
∫
справедлива для любой функции f
δ − =
( ) ( ) ( )
(x). В пределе дельта-функцию
(2.49)
Дирака можно рассматривать как функцию с единственным очень
острым пиком.
2.7. Плотность мод в трехмерном случае
Рассмотрим трехмерный случай, когда в твердом теле конечного
размера возникают стоячие волны. Границы тела свободно колеблются, на них никакие механические напряжения не возникают.
Возьмем тело в виде куба объемом V = L
3
и поместим начало координат в одну из вершин. Рассмотрим плоские стоячие волны по оси
X. Обозначим, как и в разделе 2.6, ξ – отклонение колеблющейся
точки от положения равновесия. Но в отличие от раздела 2.6 здесь
рассматривается сплошное тело, а не дискретная цепочка частиц.
Поскольку поверхность куба свободна, на ней при колебаниях не
возникают никакие напряжения, т. е. граничное условие имеет вид
∂
x
00.=
x
=
xL
=
(2.50)
Для ξ решение волнового уравнения (2.40), удовлетворяющее
условиям (2.50) на обоих границах твердого тела, имеет вид
где ω и k связаны дисперсионным соотношением (2.37).
Для того чтобы удовлетворить (2.50), надо в (2.51) положить
A = 0 и наложить условие для k:
Уравнение (2.52) представляет собой дискретный набор волновых
чисел, при которых возможно существование стоячих волн. Анало
30
exp sin cos ,ξ= ω +i t A kx B kx
(n = 1, 2, ...). (2.52)
(2.51)
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]