Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая физика. Тепловые свойства кристаллов. Учебное пособие
.pdf
гичные формулы находят и для двух других осей координат. Следо-
π
xz
n
k kk
LL L
( )
3
x y z xyz
; ;.
πππ
x xy yz z
LLL
,,
xyz
dk dk dk
,,
xyz
dk dk dk
4.
1
8
,,
xyz
dk dk dk
+k dk
3
вательно, получаем следующие наборы волновых чисел, каждому их
которых соответствует стоячая волна, составляющая моду колебаний:
π
n
x
= ; = ; =
y
π
n
z
, , 1, 2, ... . =
nnn
xyz
(2.53)
Числа n
, ny, nz пробегают все возможные значения независимо.
x
Подсчет числа мод сводится к определению числа различных тро
ек (nx, ny, nz), или, другими словами, к подсчету числа точек, декартовы координаты которых равны (nx, ny, nz). Обратим внимание на
то, что k
Δn
xΔnyΔnz
где, как следует из (2.53),
В правой части (2.54) находятся дифференциалы
, ky, kz принимают только положительные значения.
x
Число этих точек в объеме с длинами сторон Δn
. Следовательно, соответствующее таким числам число мод
dN n n n dk dk dk
∆ = ∆ = ∆ =
L
3
π
,=∆∆∆ =
(2.54)
n dk n dk n dk
, Δny, Δnz равно
x
, по-
тому что L намного больше длины волн.
Для подсчета dN удобнее перейти к сферическим координатам,
принимая во внимание, что
имеют лишь положи-
тельные значения. Это означает, что в (2.54) надо положить
1
dk dk dk k dk
xyz
= π
8
ния величин
2
Дробь
появилась из-за того, что значе-
исключительно положительные. В ре-
зультате для числа мод в интервале волновых чисел от k до
из (2.54) получаем выражение
-
где множитель 4π сохранен без сокращения с (2π)
для того, чтобы показать произведенный переход к сферическим
координатам.
4
π
L
=
dN k dk
( )
2
3
2
π
,
(2.55)
3
в знаменателе
31
Далее воспользуемся соотношением (2.37), из которого следу-
2
v
ω
dN
d
.ω >> kT
ет, что
ω
2
= ω,k dk d
2
(2.56)
и поэтому число мод с частотой колебаний между ω и ω + dω
3
42π
L
= ω ω.
dN d
π
( )
2
3
3
v
(2.57)
Из (2.57) легко найти плотность мод
ω= ω
D
( )
2
( )
D
( )
3
4
π
L
2
.
3
π
(2.58)
3
v
:ω=
Аналогичный расчет можно провести для каждой из попереч
ных мод. В изотропном случае скорости обеих поперечных мод
одинаковы. Обозначив скорости продольной и поперечной мод со
ответственно vпр и vпп и приняв во внимание то, что плотность всех
мод равна сумме плотностей отдельных мод, запишем
3
4 12
π
ω= + ω
D
( )
L
33 3
vv
2
π
( )
ïð ïï
2
.
(2.59)
Отметим, что согласно указанному выше (2.59) не может быть
справедливой для очень коротких длин волн, поскольку мы пренебрегли атомной структурой твердого тела и проводили расчет так,
как если бы оно состояло из непрерывно распределенной объему
массы вещества. Для волны, длина которой существенно превос
ходит среднее расстояние между атомами, а смещения атомов из
положения равновесия не очень велики, формула (2.59) справед
лива. Именно этот случай и интересен при рассмотрении теплоемкости при низкой температуре.
Поскольку температура и kT очень малы, выражение (2.59)
справедливо вплоть до частот, для которых
ласти
exp
ω
, входящая в знаменатель (2.18), велика, и следова-
В данной об-
kT
-
-
-
-
32
тельно, среднее число мод с очень большими частотами экспонен-
33
00
33
∞∞
= ω ω ω ω= + =
∫∫
Ld
34
34
ππ
34
∂π π
C kT
циально мало. Это означает, что вклад от них в общую энергию
очень мал. Поэтому, несмотря на то что выражение (2.59) для вы
соких частот не справедливо, его можно использовать до сколь
угодно высоких частот, поскольку экспоненциальный множитель
обратит в нуль вклад от этих частот в вычисляемые величины.
2.8. Диэлектрики при низкой температуре
-
Полная энергия (2.39) всех мод колебаний, связанная с тепло
вой энергией, с учетом (2.18)
π ωω
UnD d
( ) ( )
= +
4 12
L z dz
π
3
π
2
( )
4 12
33 3
vv
2
π
( )
vv z
ïð ïï
ïð ïï
∞
4
kT
( )
∫
exp 1
0
exp 1
−
( )
ω
−
kT
.
Входящий в выражение (2.60) интеграл может быть вычислен
методами функции комплексного переменного:
∞
z dz
∫
z
exp 1 15
( )
0
π
=
.
(2.61)
−
Тогда с учетом (2.61) полная энергия (2.60)
4 12
U kT
( )
3
2
vv
π
ïð ïï
L
= +
( )
4
.
(2.62)
15
Формула (2.62) позволяет вычислить теплоемкость:
UL
= = +
V
T vv
∂
16 1 2
V
( )
3
2
π
ïð ïï
( )
4
3
.
(2.63)
15
-
(2.60)
Зависимость молярной теплоемкости твердого тела от темпе
ратуры при низких температурах CV ∞ T 3 согласуется с данными
эксперимента.
-
33
2.9. Температура Дебая
0
N Dd
1
2,
33
12 3
max
θ=ω
D
k
2000 K.
Все проведенные расчеты, в частности вывод дисперсионно
го соотношения, справедливы только для волн с большой длиной
волны. Поэтому полученная на основе дисперсионного соотноше
ния формула (2.59) эффективна лишь для таких же волн, т. е. для
не слишком высоких частот. Однако из замечаний о вкладе в теплоемкость волн с короткой длиной волны, отмеченных для фор
мулы (2.59), следует, что мы не сделаем большой ошибки, если
применим эту формулу и для высоких частот, вплоть до макси
мальной частоты ω
, определенной таким образом, чтобы пол-
max
ное число мод одного моля твердого тела было равно фактически
имеющемуся числу мод 3N
Максимальная частота ω
ла. Вообще, частота ω
. Поэтому
A
max
3ω= ω ω.
A
max
может быть различной для разных на-
max
( )
∫
зависит от упругих свойств материа-
(2.64)
правлений поляризации. Однако для упрощения формулы в (2.64)
взята средняя максимальная частота. Подставив (2.59) в (2.64)
и проинтегрировав, получим
3
3
N
ω = π< >
max
v
A
(2.65)
3
4
π
L
-
-
-
-
где ˂v˃ – средняя скорость звука, определяемая соотношением
Максимальную частоту, зависящую от условий (2.64), принято
выражать через температуру Дебая θ
Обычно температура Дебая лежит в пределах 100–1000 K. На
пример, для меди она равна примерно 340 K, а для алмаза –
34
+=
ïð ïï
3
vv
.
(2.66)
<>
v
( )
, полученную из соотношения
D
.
(2.67)
-
2.10. Теплоемкость при произвольной температуре
33
Ld
U
ω
kT
9.
θ
θ−
<< θ
D
T
3
VA
>> θ
D
T
( )
zz
9 3 3.
AA
U N kT N kT RT
∂
V
U
CR
При вычислении энергии (2.60) не учитывалось наличие мак
симальной частоты ω
учесть, то интеграл в (2.60) необходимо ограничить частотой ω
, определяемой формулой (2.64). Если это
max
max
Тогда вместо (2.60) получим
ω
12
=
π ωω
33
2
π <>
( ) ( )
max
,
∫
v
0
ω
exp 1
kT
(2.68)
−
где <v> – средняя скорость, определяемая соотношением (2.66).
При интегрировании (2.68) перейдем к безразмерной перемен
.
ной
При
=z
С учетом (2.65) и (2.67) получим
U N kT
Теплоемкость C
верхний предел в (2.69) может быть распространен
D
3
=
находим дифференцированием (2.69) по T.
V
T zd
A
D
3
T
∫
exp 1
( )
0
ω
(2.69)
z
до ∞. Тогда
При
12
= π
4
C Nk
5
верхний предел интегрирования в (2.68) близок к
T
.
(2.70)
θ
D
нулю, и следовательно, в подынтегральном выражении z – очень
малая величина и можно считать, что
exp 1≅+
. Поэтому фор-
мула (2.69) принимает вид
θ
D
3
3
= = =
T
T z dz
∫
θ
D
0
z
(2.71)
Следовательно, в этом случае теплоемкость
-
.
-
= =
V
T
∂
т. е., как и должно быть, соответствует закону Дюлонга–Пти.
3
, (2.72)
35
При температурах T порядка θD интеграл в (2.69) не может быть
.θ
D
D
T
( )
CT
вычислен аналитически и приходится использовать численные ме
тоды. Свойства различных материалов учитываются значением
температуры Дебая
Поэтому кривая теплоемкости как функция
-
универсальна. Зависимость
θ
представлена на рис. 2.1.
V
3. ФОНОНЫ И КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ
Энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, явля
ется квантовой величиной. Квант энергии упругой волны называется фононом, который получил свое название аналогично фотону – кванту энергии электромагнитной волны. Вспомним историю
возникновения понятия «фотон». Почти все концепции, использу
емые для фотонов, например концепция корпускулярно-волнового дуализма, подходят и для фононов. Это можно проследить по
модели Эйнштейна, изложенной в разделе 2.2. Звуковые волны в
кристаллах можно рассматривать как распространение фононов,
тепловые колебания атомов – как термическое возбуждение фоно
нов аналогично термическому возбуждению фотонов, из которых
состоит излучение абсолютно черного тела.
Квантовая теория возникла в 1900 г., когда Планк показал, что
квантованием энергии можно объяснить экспериментально на
блюдаемую зависимость от частоты энергии электромагнитного
излучения абсолютно черного тела при тепловом равновесии. Он
предположил, что энергия каждого вида колебаний электромаг
нитного поля в полости пропорциональна величине ħΩ (Ω – угловая частота колебания). Энергия одного фотона ε = ħΩ; энергия
n фотонов ε = nħΩ (n – положительное целое число или нуль).
С одной стороны, из многочисленных дифракционных экспе
риментов следует, что электромагнитное поле обладает многими
свойствами волн. С другой стороны, из планковского закона рас
пределения энергии излучения по частоте следует, что энергия
электромагнитного поля квантованная. Аналогичная ситуация на
блюдается и для упругих волн.
-
-
-
-
-
-
-
-
36
Первым экспериментальным доказательством квантования
k
k
k
k
K(K
энергии упругих волн явилось наблюдение того, что вклад ре
шетки в теплоемкость твердых тел всегда приближается к нулю
по мере того, как температура стремится к нулю. Это можно объ
яснить только предположением, что энергия колебаний решетки
квантуется.
Рентгеновские лучи и нейтроны испытывают неупругое рассея
ние при взаимодействии с кристаллами, в результате энергия и импульс изменяются таким образом, что соответствуют возникновению или поглощению одного или более фононов. Точное измерение
эффектов, связанных с данными процессами, позволяет определить
свойства отдельных фононов, и в частности установить зависи
мость частоты от волнового вектора, т. е. закон дисперсии.
3.1. Импульс фонона
-
-
-
-
Фонон с волновым вектором
стицами или полями так, как если бы он имел импульс
взаимодействует с другими ча-
. В действительности фонон в решетке не обладает импульсом. Однако
для большинства практических целей поведение фонона можно
рассматривать так, как если бы он обладал импульсом
. Иногда
называют квазиимпульсом.
Рассмотрим фотон с частотой ω, который распространяется в
кристалле. Импульс фотона равен
– волновой вектор фотона). Пусть фотон взаимодействует с пучком фононов или звуковой
волной в кристалле. Фотон может рассеиваться звуковой волной.
Это взаимодействие может произойти из-за того, что поле упру
гих деформаций звуковой волны изменяет локальную концентрацию атомов, а следовательно, и показатель преломлении кристалла. Таким образом, звуковая волна модулирует оптические свойства
среды, и наоборот, электрическое поле световой волны – упругие
свойства среды.
В кристалле фотон может испытывать рассеяние, что иногда
приводит к образованию или поглощению фонона. При этом вол
37
-
-
новой вектор фотона и частота изменяются:
K K'
′
Ω→Ω
k
′
Ω = Ω + ω.
.= +K K' k
k
K
>>cK vk
Ω=cK
,ω=vk
Ω >> ω.
′
Ω ≅Ω
.≅K' K
≅K' K
2
k
K
K'
→
;
Предположим, что при рассеянии фотона образуется фонон с вол
новым вектором
и частотой ω (рис. 3.1).
По закону сохранения энергии
.
-
(3.1)
Согласно закону сохранения импульса
(3.2)
Из-за большого различия скоростей звука и света малая часть
энергии падающего фотона может быть передана фонону. Для фо
нона с волновым вектором
вым вектором фотона
света; ν – скорость звука). Так как
Тогда из (3.1) следует, что
, сравнимым по значению с волно-
, можно записать
(c– скорость
и
и
то
На рис. 3.2 представлено неупругое рассеяние фотона на фононе, но
. В этом случае треугольник оказывается равнобе-
дренным. Основанием треугольника является волновой вектор
длиной
2 sin ,
=
kK
ϕ
(3.3)
Фотон Ω'
-
38
Фотон Ω
Рис. 3.1. Схема неупругого рассеяния фотона
с частотой Ω (в результате образуется фотон Ω'
с частотой и фонон с частотой ω)
Фонон ω
Ω
c
2
Ωϕ
c
Ωϕ
v
3
4 10
Фотон Ω'
K
K
k
Фонон ω
φ
Фотон Ω
Рис. 3.2. Диаграмма, иллюстрирующая рассеяние
фотона на фононе по уравнению (3.2)
,
или, поскольку
=K
можно записать
vk
=
v
2 sin .
(3.4)
А так как ω = vk, то фононы, образовавшиеся при неупругом
рассеянии фотонов под углом к первоначальному направлению
падения, будут иметь частоту
2 sin .
ω=
c
2
(3.5)
В качестве примера рассмотрим генерацию фононов при па
дении на среду с показателем преломления видимого света
n ≅ 1,5, длина волны которого в вакууме λ = 4000 Å. Пусть ско-
рость распространения звука в среде v ≅ 5 . 107 м/с. В этом случае
для максимальной частоты фононов, возникающих в результате
рассеяния света в среде, получим
-
2 5 10 2 1, 5
⋅ ⋅ ⋅ π⋅
ω≅ ≅ ⋅
7
−
⋅
2 10
11
рад/с.
39
ϕ
k
k
При оценке мы воспользовались тем, что
sin 1.
=
2
Рассеяние видимого света от интенсивного лазерного источника экспериментально использовалось для генерации фононов в
микроволновой области в кварце и сапфире. Наблюдаемые сме
щения частоты фотонов находятся в хорошем согласии с величинами, рассчитанными по (3.5). Рассеяние света на фононах в твердых телах и жидкостях известно под названием бриллюэновского
рассеяния.
3.2. Колебания в решетке из одинаковых атомов
Рассмотрим упругие колебания атомов в кристаллах в области
коротких упругих волн, когда длина волны равна постоянной ре
шетки. Периодичность кристаллической структуры существенно
влияет на характер распространения упругих волн, как и для рент
геновских волн.
Для упрощения рассмотрим распространение упругих волн по
направлениям, для которых упругая волна или чисто поперечная,
или чисто продольная. (Рассматриваем только кристаллы с при
митивным базисом из одного атома.) В кубическом кристалле таковыми являются направления [100], [111] и [110]. Когда упругая
волна распространяется вдоль одного из указанных направлений,
все атомные плоскости в кристалле смещаются синфазно. Это
смещение параллельно направлению распространения для про
дольной волны и перпендикулярно направлению распространения для поперечной волны. Для частных случаев распространения
упругих волн математическое рассмотрение довольно простое и
из соотношений между частотой ω и волновым вектором
(дисперсионного соотношения) можно многое понять о силе связи
между атомными плоскостями.
Если атомные плоскости смещаются как единое целое парал
лельно или перпендикулярно волновому вектору
при прохож-
дении волны, то смещение плоскости s из положения равновесия
-
-
-
-
-
-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]