Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
5.4 Адиабатический процесс 51
5.3 Изобарический процесс
В процессе изобарического расширения газ совершает работу, и одновременно
к нему подводится тепло:
A
= P (V
P
2
QP=
=
1
γ
T dSP=
P (V
γ − 1
Изменение энтропии при изобарическом расширении:
2
γ
γ − 1
− V
− V
2
νR
)= νR
1
)= νR (T
1
V
2
T
dV =
V
V
1
γ
γ − 1
(T
− T
), (5.7)
2
1
V
2
P
dV =
V
1
).
1
γ − 1
− T
2
γ
(5.8)
(S
2
− S
)
= νR
1
P
γ
γ − 1
ln
V
2
V
1
= νR
γ
γ − 1
ln
T
2
. (5.9)
T
1
Подведенное тепло в изобарическом процессе идет как на производство рабо-
ты, так и на увеличение внутренней энергии газа.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Обратим внимание на то, что в некоторых равенствах (5.6)–(5.8)
присутствует коэффициент ν (количество молей), а в некоторых
отсутствует. Он появляется в тех формулах для экстенсивных параметров, которые содержат в качестве сомножителей только интенсивные величины.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рис. 5.3 – Изобарический процесс в двух фазовых плоскостях
5.4 Адиабатический процесс
В этом процессе по определению энтропия не изменяется, а тепло не подво-
дится и не отводится: QS= 0. Работа вычисляется так:
γ−1
γ
P
P
2
1
AS=
V
2
P dV = P1V
V
1
V
2
dV
P1V
γ
1
γ
V
V
1
=
γ − 1
1
1 −
γ−1
V
1
V
=
2
νRT
γ − 1
1
1 −
. (5.10)
52 Глава 5. Изопараметрические процессы идеального газа
Очень полезная формула для изменения температуры при адиабатическом изменении объема газа:
T
2
S=
T
1
γ−1
V
1
V
=
2
S
γ−1
γ
P
2
P
. (5.11)
1
S
Рис. 5.4 – Адиабатический процесс в двух фазовых плоскостях
В адиабатическом процессе газ совершает работу исключительно за счет убыли
своей внутренней энергии, поэтому при расширении его температура понижается.
Именно понижение температуры газа при адиабатическом расширении приводит
к тому, что температура атмосферы понижается с увеличением высоты.
5.5 Политропический процесс
Ранее уже было введено понятие теплоемкости системы (3.13). Очевидно, что
как работа или количество тепла, теплоемкость есть функция процесса и приобретает однозначный смысл только при указании условий нагревания тела. Частными
случаями являются теплоемкости при постоянном объеме CVи постоянном давлении CP. Определим выражения для CVи CP, но теперь через функции со стояния
системы, используя определение (4.6) и тождество (4.9):
C
δQ
=
V
dT
V= T
C
P
= T
∂S
∂T
∂S
∂T
V=
∂U
, (5.12)
∂T
V
. (5.13)
P
Для одного моля идеального газа из выражений (5.6) и (5.8) легко получить
уже известные нам соотношения (3.14) и (3.15):
CV=
νR
γ − 1
, CP= νR
γ
. (5.14)
γ − 1
Так как условия нагревания газа могут быть совершенно разными, то и теплоемкости могут быть различными. Возможны даже отрицательные теплоемкости,
когда подвод тепла сопровождается понижением температуры газа.
5.5 Политропический процесс 53
Выведем закономерности для общего случая произвольной, но постоянной теп-
лоемкости C.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Процесс, в котором теплоемкость не зависит от температуры,
называется политропическим.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для него с учетом (5.12) и (5.13) имеем
δQ = C dT = dU + P dV = CVdT + P dV. (5.15)
Это дифференциальное уравнение, определяющее зависимость V (T), выведе-
но с учетом того, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от его объема. Перепишем уравнение (5.15), воспользуемся уравнением состояния газа (5.1)
и выражениями (5.14) для теплоемкостей:
(C − CV)dT = P dV → (C − CV)
CP−C
V
−
C−C
→ TV
V
= const → PVn= const, n =
dT
T
= νR
dV
V
= (C
− C
P
C − C
C − C
dV
)
V
P
V
→
V
. (5.16)
Постоянная n называется показателем политропы. Из выражения (5.16) выте-
кают частные случаи особых политроп:
• изотерма (C = ∞ → n = 1),
• адиабата (C = 0 → n = γ),
• изобара (C = CP→ n = 0).
Исходя из величины произвольного показателя политропы n можно определить
величину соответствующей этому показателю теплоемкости:
C =
nCV− C
n − 1
P
= C
V
n − γ
. (5.17)
n − 1
Отсюда видно, что «отрицательная теплоемкость» (C < 0) может иметь место
при показателе политропы: 1 < n < γ.
Для политропического процесса аналогично тому, как это было сделано ранее,
можно вычислить изменение энтропии, совершение работы и определить количество подведенного тепла.
Например, работа ACпри политропическом расширении газа может быть найдена из уравнения политропы (5.16):
AC=
V
2
P dV = P1V
V
1
V
2
dV
n
1
V
1
V
n
1
= P1V
которое справедливо для любого n ≠ 1.
n
1
1−n
V
1 − n
V
2
P1V
=
n − 1
1
1 −
V
1
n−1
V
1
V
, (5.18)
2
54 Глава 5. Изопараметрические процессы идеального газа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1) В каком процессе газ не совершает работы?
2) В каком процессе газ совершает работу, но не меняет своей внутренней
энергии?
3) Может ли расширяющийся газ увеличивать свою внутреннюю энергию?
4) Может ли уменьшаться температура идеального газа при подводе к нему
дополнительного количества теплоты?
5) Одноатомный идеальный газ расширяется в политропическом процессе
3/2
PV
ширения?
6) Перечислите, в каких из рассмотренных процессов с идеальным газом подводимое тепло пропорционально изменению абсолютной температуры?
= const. Подводится или отводится к газу теплота в процессе рас-
Глава 6
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
6.1 Циклические (круговые) процессы
Рассмотрим на PV -плоскости равновесный циклический процесс, производимый над идеальным газом в определенном направлении, а также соответствующий
ему цикл на TS-плоскости, как показано на рис. 6.1.
Рис. 6.1 – Циклический процесс в двух фазовых плоскостях
При расширении газа от V1до V2газ совершает некоторую работу, а при сжатии газа расходуется меньшая работа. Соответственно при увеличении энтропии
от S1до S2в газ вводится некоторая тепловая энергия Q1> 0, а при уменьшении
энтропии от газа отводится меньшее количество теплоты Q2< 0. В целом за цикл
совершается не равная нулю работа A (численно она равна площади, ограниченной циклом на PV -плоскости) и газу сообщается не равное нулю количество тепла
Q (численно оно равно площади, ограниченной циклом на TS-плоскости). Очевидно, что обе площади должны быть равными, так как при полном обходе цикла
и возвращении системы в исходную точку внутренняя энергия ее не изменяется, а произведенная работа обязательно равна разности подведенной и отведенной
тепловой энергии:
56 Глава 6. Второе начало термодинамики
δQ =dU +δA → Q = A. (6.1)
Если система обходит цикл по часовой стрелке, то работа A положительна
и система переводит тепловую энергию в механическую. Такая система является
тепловой машиной. Очевидно, что коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины η целесообразно определить как отношение произведенной работы
к полученному от нагревателя количеству тепла:
A
Q
− Q2
η =
Q
1
=
1
. (6.2)
Q
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Холодильник мы вынуждены ввести в систему, чтобы обеспечить
замкнутость процесса. На возвращение системы в исходное состояние необходимо затратить часть подведенной тепловой энергии,
то есть потерять ее. Поэтому КПД тепловой машины всегда меньше 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Если система обходит цикл против часовой стрелки, то работа отрицательна
и система за счет совершения механической работы переносит тепло, отбираемое
от холодного тела, к более нагретому телу. В этом случае система является либо холодильной машиной, либо тепловым насосом. Циклы холодильной машины
и теплового насоса одинаковы, а название зависит от назначения этого цикла: если
цель устройства — охлаждать некоторое тело, то это холодильная машина, если же
цель — нагреть какое-то тело за счет совершенной работы и тепла более холодного
тела, то это тепловой насос.
Можно ввести параметр эффективности холодильной машины ξ, как отношение отводимого от холодного тела тепла Q2к совершенной при этом работе:
Q
Q
ξ =
=
(1 − η)
1
A
2
A
=
1 − η
. (6.3)
η
Здесь мы подставили выражение для Q2, выраженное из (6.2). Эффективность
ξ может быть как меньше, так и больше 1. Видно, что эффективность холодильной
машины тем выше, чем ниже КПД тепловой машины, работающей по обратному циклу.
Для теплового насоса тоже можно ввести параметр эффективности ζ, равный
отношению количества тепла Q1, переданного нагреваемому телу, к совершенной
при этом работе:
Q
1
1
ζ =
=
A
> 1. (6.4)
η
Эффективность теплового насоса всегда больше 1! Например, можно для работы теплового насоса использовать электрическую энергию. Тогда выделяемая
устройством тепловая мощность будет существенно превышать мощность, потребляемую от сети. Естественно, это будет иметь место только в случае отвода тепла
от какого-то другого тела. Но это охлаждаемое тело может быть очень большим
(например, вода в озере или воздух за окном), и изменением его температуры можно пренебречь. Тогда потребитель тепловой энергии получает большой выигрыш
от работы теплового насоса по сравнению с обычным электрообогревателем помещения.
6.2 Цикл дизельного двигателя 57
6.2 Цикл дизельного двигателя
В качестве примера циклического процесса рассмотрим форму и параметры
цикла, который примерно соответствует работе дизельного двигателя.
Работа дизельного двигателя может быть примерно описана термодинамическим циклом (см. рисунок 6.2), состоящим из изобары 1–2 (в этом режиме идет
горение топлива) адиабатического расширения продуктов горения 2–3, изохорического выпуска газов и забора нового воздуха 3–4, адиабатического сжатия воздуха
4–1. На правом рисунке показан этот же цикл в плоскости T –V.
Рис. 6.2 – Модель цикла дизельного двигателя. Минимальные объем, давление
и температура приняты за 1
Особенность работы дизельного двигателя состоит в сильном адиабатическом
сжатии воздуха, в результате которого он нагревается до высокой температуры.
В момент наибольшего сжатия в камеру сгорания подается порция топлива, которое вспыхивает в нагретом сжатом воздухе (в отличие от карбюраторного бензинового двигателя, где топливо поджигается электрической искрой). В результате расширения горячих продуктов сгорания поршень начинает совершать рабочий ход
сначала примерно в режиме изобарического расширения (температура в камере
сгорания, несмотря на расширение газа, продолжает расти в результате сравнительно медленного горения топлива), а после полного сгорания топлива расширение продолжается в адиабатическом режиме. В конце расширения выхлопные
газы выходят из камеры сгорания (при постоянном объеме), а в нее поступает
новая порция свежего воздуха, который за счет инерции механизма начинает адиабатически сжиматься, и цикл повторяется.
Основными параметрами цикла Дизеля являются степень компрессии
Σ = V
maxVmin
, отношение объемов Σ1в процессе горения топлива и показатель
адиабаты рабочего газа γ.
В реальном двигателе показатель адиабаты меняется в процессе сжатия газа
и горения топлива. Но если его приближенно считать постоянным, то можно рассчитать КПД указанного цикла. Он будет равен:
η = 1 −
γΣ
γ
Σ
1
γ−1
(Σ1− 1)
− 1
.
58 Глава 6. Второе начало термодинамики
6.3 Цикл Карно
Рассмотрим особый пример циклического процесса — так называемый цикл
Карно, состоящий из чередующихся двух изотерм и двух адиабат.
На PV -плоскости форма цикла зависит от сорта газа и его уравнения состояния, тогда как на TS-плоскости цикл Карно для любых веществ имеет универса льную форму прямоугольника, как показано на рисунке 6.3.
Рис. 6.3 – Цикл Карно в двух фазовых плоскостях
Из рисунка 6.3 вполне очевидна и формула для КПД цикла Карно, как отношение заштрихованной площади (Q = A) к площади под линией T
η =
T
1(S2
− S
T
1
1(S2
)− T2(S
− S
1
− S
)
2
)
T1− T
1
=
2
. (6.5)
T
1
(S):
1
Из определения цикла Карно вытекают несколько важных утверждений, име-
ющих в термодинамике силу теорем:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема 1. КПД цикла Карно не зависит от выбора рабочего газа.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема 2. КПД цикла Карно (6.5) зависит только от отношения
температур нагревателя и холодильника и не зависит от деталей
конструкции машины.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема 3. КПД цикла Карно всегда меньше единицы и приближается к ней только при стремлении температуры холодильника
к абсолютному нулю.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Цикл Карно 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема 4. КПД цикла Карно больше КПД любого другого равновесного цикла, имеющего максимальную температуру нагревателя
и минимальную температуру холодильника, равную соответствующим температурам цикла Карно.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Доказательство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Доказательство Теоремы 4 можно получить из рисунка 6.3, на котором цикл
Карно на TS-плоскости «объемлет» (сверху и снизу) произвольный цикл (показан
штриховой линией). Обозначим заштрихованную площадь «объемлющего» цикла
Карно как A0, а площади четырех угловых сегментов цикла Карно, не попадающих в произвольный цикл, через q1, q2, q3, q4. Тепло, подводимое от нагревателя,
в цикле Карно обозначим через Q0(это «площадь» T
доказать, что КПД произвольного цикла η1= A
A
− (q
η1=
0
+ q2+ q3+ q
1
Q
− (q
0
1
+ q
)
2
удовлетворяет неравенству
1Q1
)
A
4
0
⩽
Q
0
1(S2–S1
= η0.
)). Нам необходимо
Это неравенство выполняется для неотрицательных величин qi, так как оно
следует из очевидного неравенства:
q1+ q2+ q3+ q4⩾ η
0(q1
+ q
).
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теорема 5. В силу Теоремы 4 и выражения для КПД цикла Карно
(6.5) можно утверждать, что КПД любой тепловой машины всегда
меньше 1!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Из вышеперечисленных теорем вытекает одна из классических формулировок
второго начала термодинамики: невозможно построить вечный двигатель второго
рода, то есть такую периодически действующую машину, которая превращала бы
все тепло, полученное от нагревателя, в работу (то есть имела бы КПД, равный
единице).
Это свойство тепловой энергии — ее невозможность полностью переходить
в механическую работу — тесно связано с понятием энтропии. Одним из следствий
второго начала, в частности, является утверждение о том, что абсолютная энтропия
всегда принимает неотрицательные значения.
Еще одно удивительное свойство энтропии проявляется в процессах выравнивания.
60 Глава 6. Второе начало термодинамики
6.4 Возрастание энтропии в процессах
выравнивания
Рассмотрим процессы выравнивания температуры, давления, расширение газа
в пустоту и смешивание двух разных газов.
Процесс выравнивания температуры
Пускай два тела с температурами T1> T2, образующие изолированную систему,
приводятся в контакт друг с другом, как показано на рис. 6.4.
Рис. 6.4 – Выравнивание температур между двумя частями
Хотя процесс выравнивания и неравновесный, его можно осуществить как по-
следовательность элементарных равновесных этапов. Пусть за некоторое малое
время первое тело отдает тепло δQ (по договоренности о знаке количества теплоты δQ1= −δQ), а второе тело это тепло получает (δQ2= δQ). Если бы процесс был
обратимым, то энтропия первого тела изменилась бы при этом на dS
а второго — на dS
= δQT
2
соответственно. Но так как энтропия тела есть функция
2
= −δQT
1
его состояния, то ее изменение не зависит от того, каким способом тепло было
отведено или подведено. Поэтому и для реального необратимого процесса эти выражения остаются верными, а для изменения суммарной энтропии получим:
1
dS = dS1+ dS
= δQ
2
1
−
T
2
> 0. (6.6)
T
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Наибольший интерес здесь вызывает то, что в замкнутой изолированной системе (то есть помещенной в адиабат) полная энтропия
при выравнивании температур между различными частями системы не остается постоянной, а увеличивается! В этом состоит коренное отличие неравновесных (необратимых) процессов от равновесных (обратимых). Ранее мы утверждали, что в равновесных
процессах энтропия системы, помещенной в адиабат, не менялась
по определению. Сейчас видно, что энтропия системы в адиабате
все-таки может увеличиваться (только увеличиваться!), если в ней
идет неравновесный процесс выравнивания температур.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]