Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистическая физика. Часть 1. Термодинамика. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

1.6.3. Энтропия. Изменение энтропии.

Основное термодинамическое равенство

1.6.3.1. Примеры решения задач

Задача 1. Определить изменение энтропии 1 моля идеаль-

ного газа в политропном процессе с показателем политропы n.

Решение

В соответствии с основным термодинамическим тожде-

ством (1.8) для идеального газа,

dT p

dS C dV



Из уравнения состояния идеального газа

pV RT

находим



Тогда

dT dV

dS C R



. Интегрируя это уравнение, по-

лучаем

ln ln

S C T R V S  

а изменение энтропии

22 11

ln ln

S C R

  

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

В политропном процессе

1 1 2 2

TV T V





21 12







 

Поэтому

22 11

(1 ) ln ln

S n C R

   

или

2 1

( )ln

S C nC

  

Изменение энтропии в политропном процессе можно запи-

сать в переменных Т1, Т2 или в переменных р1, р2:

2 1

()

C nC







2 1

()

nC C





Из полученных результатов видно, что адиабатный процесс





протекает без изменения энтропии (

0S

Задача 2. Используя тот факт, что энтропия – функция со- стояния, определить внутреннюю энергию 1 моль газа Ван-дерВаальса.

Решение

Из основного термодинамического тождества следует, что

dS dT p dV

T T T V





   

  



   



   



т.е. энтропию можно рассматривать как функцию состояния, зависящую от температуры и объема. Поэтому

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

dS dT dV



   



   



   

причем

SU T T T



   



   



   

S U p

V T V T



   



   



   

Дифференцируя эти соотношения – первое по V, а второе по Т, получаем:

1SU

T V T T V









   



1 1 1

S U U p p

V T V T V T T T



   

   

    



   



     

   



Из равенства правых частей этих соотношений следует, что



   



   



   

Для 1 моль газа Ван-дер-Ваальса

 

p V b RT



  

 

Отсюда

()

RT a





, а

()

T V b













Тогда













. С другой стороны

( , )U U V T

, и

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

U U a

dU dT dT C dT dV



   

   

   



   

Выполняя интегрирование, получаем

U C T U

  

Задача 3. Найти уравнение адиабаты газа, состояние кото- рого описывается уравнениями

(1 ),p p T V



  

C const0, и p



– постоянные.

Решение

Из основного термодинамического тождества следует, что

dT U

dS C p dV

T T V







  







Т.к.



   



   



   

, то



   



   



   

Таким образом,

dT p

dS C dV













Из условия

(1 )p p T V



  

следует, что















Тогда

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

dS C p dV





Интегрирование этого равенства приводит к выражению для энтропии

S S C T p V



  

Т.к. в адиабатном процессе

S const

, то уравнение адиаба-

ты имеет вид:

C T p V const





1.6.3.2. Задания для аудиторного и

самостоятельного выполнения

1.34. Найти изменение энтропии одного моля идеально-

го газа в простейших изопроцессах.

Ответ:



при

T const

;

2 1

S С



при

p const

;

2 1



при

V const

1.35. Каждый из сосудов содержит по одному молю

идеального газа с температурами Т1 и Т2. Сосуды приводят в соприкосновение до установления равновесия. Определить изменение энтропии.

Ответ:

()





СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

1.36. Каждый из сосудов содержит по одному молю

идеального газа с одинаковыми температурами и давлениями

и р2. Сосуды соединяют. Определить изменение энтропии в

результате установления равновесия.

Ответ:

()





1.37. В двух сосудах V1 = V2 = V находятся различные

идеальные газы при одинаковых давлениях и температурах. Сосуды соединяют. Определить изменение энтропии вследствие диффузии, если молярная масса первого газа 1. Масса первого газа m1, его молярная масса М1.

Ответ:

2 ln 2



1.38. Определить энтропию газа Ван-дер-Ваальса, если

его калорическое уравнение имеет вид

U C T



C const

Ответ:

ln ln( )

C T R V b const  

или

()T V b const







1.39. Исходя из того, что энтропия – функция состояния,

определить внутреннюю энергию газа, если его состояние описывается уравнением Бертло1

 

p V b RT



  

 

. Считать, что CV = сonst.

Бертло Пьер Эжен Марселен (1827-1907) – французский физико-химик.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

Ответ:

U C T U

  

1.40. Изобразить цикл Карно на T – S диаграмме. Вы-

числить КПД в этих переменных.

Ответ:

2 1

T T





1.41. В двух одинаковых сосудах находятся одинаковые

идеальные газы различной массы (m1 и m2) при одинаковой температуре. Сосуды соединяют. Определить изменение энтропии.

Ответ:

ln2





1.42. Используя тот факт, что энтропия является функ-

цией состояния, определить внутреннюю энергию газа, уравнение которого имеет вид:

(1 )p p T V



  

С const

Ответ:

0 0 0

( /2 )

U C T p V V U



   

1.43. Найти уравнение адиабаты для газа, подчиняюще-

гося уравнениям

 

1 ( ) ,V V T T



  













C const

Ответ:

C T V p const





1.44. Определить изменение энтропии 1 моль идеально-

го газа в процессе, состоящем из двух последовательных: изобарного, в котором объем меняется от значения V до 2V, и изотермического, в котором объем вновь уменьшается до значения V.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

Ответ:

ln2

SC

1.45. Для газа Ван-дер-Ваальса показать, что

не за-

висит от объема.

1.46. Используя основное термодинамическое тожде-

ство, доказать, что

()



  





где















– коэффициент теплового расширения,















– коэффициент изотермического сжатия,















– коэффициент адиабатического сжатия.

Методические рекомендации: на практических занятиях рекомендуется выполнение примеров 1–3, заданий 1.34–1.36 и 1.39.

1.6.4. Характеристические функции

1.6.4.1. Примеры решения задач

Задача 1. Для одного моля идеального газа записать термодинамические потенциалы U, S, H, F и G в их характеристических переменных. Считать, что Ср и CV – постоянные.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

Решение

а. Внутренняя энергия U является характеристической функцией переменных S и V. С другой стороны, для идеального газа

U C T U

, (1)

ln ln

S C T R V S  

. (2)

Из последнего соотношения выражаем температуру Т через энтропию S и объем V:

V V V

S S S S

C C C

T V e V e









При этом

U C V e U







. (3)

б. Энтропия S является характеристической функцией внутренней энергии U и объема V. Поэтому из (1) выразим Т через U:





и подставим это выражение в (2). В результате получаем

ln( ) ln ln

V V V

S C U U C C R V S    

. (4)

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика

в. Энтальпия Н является характеристической функци- ей энтропии S и давления р. Для идеального газа

H C T U pV  

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

pV RT

. По-

этому

H C T U

. (5)

С учетом уравнения состояния идеального газа выражение для энтропии (2) можно записать в виде:

ln ln ln ln ln

S C T R p R R S C T R p S



      

. (6)

Отсюда получаем

T p e









. (7)

С учетом (5) энтальпия в переменных S и р имеет вид:

H C p e U









. (8)

г. Свободная энергия F является характеристической функцией переменных Т и V. Для идеального газа

F U TS C T TS U    

. (9)

Подставляя значение S из (2), получаем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]