Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 1. Термодинамика. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
31
0V
a
U C T U
V
и теплоемкость которого не зависит от тем-
пературы.
Ответ:
2
n
a
p V b const
V
, где
p
V
CC
n
CC
.
1.5. Найти уравнение адиабаты для идеального газа.
Ответ:
pV const
.
1.6. Определить работу, совершаемую 1 молем газа Ван-дер-
Ваальса при его изотермическом расширении от объема V1 до объема V2.
Ответ:
2
1
ln
Vb
A RT
Vb
.
1.7. Какую долю количества теплоты, сообщаемой иде-
альному газу в процессе политропного расширения, составляет совершаемая им работа? Показатель политропы n.
Ответ:
1
pV
pV
CC
W
Q C nC n
.
1.8. Какое количество теплоты получает идеальный газ
в процессе политропного расширения от V1 до V2 , если показатель политропы n? Начальная температура газа Т1.
Ответ:
1
1
1
2
1
1
n
pV
C nC
V
QT
nV
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
32
1.9. Какое количество теплоты необходимо передать
одному молю газа Ван-дер-Ваальса, калорическое уравнение
которого имеет вид
0V
a
U C T U
V
,
чтобы газ изобарно расширился от объема V1 до объема V2
при давлении p?
Начальная температура газа Т1, конечная – Т2.
Ответ:
1
2 2 1
12
11
( ) ( )
V
Q C T T p V V
VV
.
1.10. Идеальный газ расширяется от объема
1
V
до
2
V
в
процессе Vn = const, где n = 1/2. Определить изменение тем-
пературы в таком процессе, если начальное давление газа р1.
Подводится или отводится при этом теплота?
Ответ:
1 1 1
2
1 ; 0.
p V V
TQ
RV
1.11. Идеальный газ расширяется по закону
2
рV
.
Какая работа совершается газом при изменении объема от V1
до V2? Нагревается или охлаждается газ в этом процессе?
Ответ:
33
21
3
W V V
; газ нагревается.
1.12. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе
p V const
.
Ответ:
2 (7/ 2)
V
C C R R
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
33
1.13. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе
2
pV const
.
Ответ:
(1/ 2)
V
C C R R
.
1.14. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе p = V ( = сonst).
Ответ:
2CR
.
1.15. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе p
1/2
V = сonst.
Ответ:
/2CR
.
1.16. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе p/V = сonst.
Ответ:
2CR
.
1.17. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе p2V = сonst.
Ответ:
(7/ 2)CR
.
1.18. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе рТ = сonst.
Ответ:
(7/ 2)CR
.
1.19. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе р2Т = сonst.
Ответ:
3CR
.
1.20. Определить молярную теплоемкость одноатомного
идеального газа в процессе pT2= сonst.
Ответ:
(9/ 2)CR
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
34
Методические рекомендации: примеры 1 – 2 и задания
№№ 1.1 – 1.3, 1.5, 1.6, 1.12 рекомендуются для выполнения на
практических занятиях.
1.6.2. Термодинамические циклы
1.6.2.1. Примеры решения задач
Задача 1. Определить КПД цикла Карно1, состоящего из
двух изотерм с температурами нагревателя Т2 и холодильника Т1.
Процессы 1–2 и 3–4 – адиабатные. Рабочее тело – 1 моль идеального газа.
Решение
На рис.1.5 представлен прямой цикл Карно
(1 2 3 4 1)
с указанием параметров соответствующих
состояниях.
p
1
p
1
,V
1
,T
1
P
2
,V
2
,T
2
2
p3,V
3
,T
2
3
p
4
,V
4
,T
1
4
V
Рис.1.5. Цикл Карно
1
Карно Николя Леонар Сади (1796-1832) – французский физик и матема-
тик.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
35
На участке 2–3 от нагревателя подводится количество
теплоты Q1, а на участке 4–1 передается холодильнику количество теплоты Q2. Из первого закона термодинамики следует, что работа, совершенная за цикл,
12
W Q Q
.
Поэтому
12
12
11
QQ
QQ
QQ
. Но в изотермическом
процессе все количество теплоты идет на совершение работы,
т.е.
3
1 23 2
2
ln
V
Q W RT
V
и
4
21
1
ln
V
Q RT
V
.
Тогда
2 3 2 1 4 1
1 4 1
2 3 2 2 3 2
ln( / ) ln( / )
ln( / )
1
ln( / ) ln( / )
T V V T V V
T V V
T V V T V V
.
Из уравнений адиабатных процессов на участках 1–2 и
3–4 получаем
11
12
12
TV T V
или
1
12
21
TV
TV
,
11
21
34
T V TV
или
1
3
1
24
V
T
TV
.
Следовательно,
3
2
14
V
V
VV
и
3
4
21
V
V
VV
. Таким образом,
3 2 4 1
ln( / ) ln( / )V V V V
и
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
36
1
2
1
нагр хол
нагр
TT
T
TT
.
Задача 2. Какую максимальную работу можно совершить за счет охлаждения теплового резервуара, от температуры Т до температуры окружающей среды Т0. Теплоемкость
резервуара постоянная и равна С.
Решение
Пусть в процессе охлаждения температура резервуара в
некоторый момент времени равна 'T. При понижении температуры резервуара на величину
'dT
рабочему телу передает-
ся количество теплоты
'Q CdT
.
Знак «–» в этом выражении отражает тот факт, что ве-
личина
'0dT
.
С другой стороны, КПД идеальной тепловой машины
0
1
'
T
W
QT
.
Отсюда получаем
0
1'
'
T
W Q CdT
T
.
Проинтегрируем полученное выражение по темпера-
туре от Т до Т0:
0
0
00
0
1 ' ( ) ln
'
T
T
T
T
W C dT C T T CT
TT
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
37
Из полученного результата видно, что с увеличением
разности
0
()TT
максимальная работа, которая может быть
совершена, также возрастает, т.к. линейная функция с увеличением Т растет быстрее чем логарифмическая.
1.6.2.2. Задания для аудиторного
и самостоятельного выполнения
1.21. Определить КПД цикла Отто1 (рис. 1.6), если V1/V2
= , а участки 1–2 и 3–4 – адиабаты. Рабочее тело – идеаль-
ный газ.
Ответ:
1
1
.
1.22. Определить КПД газотурбинной установки
(рис.1.6). Участки 1–2 и 3–4 – адиабаты,
21
pp
– степень
адиабатического сжатия. Рабочее тело – идеальный газ
Ответ:
1
1
.
1.23. Найти КПД цикла Дизеля2 (рис.1.7), если V1/V2=,
V3/V2=. Участки 1–2 и 3–4 – адиабаты. Рабочее тело – иде-
альный газ.
Ответ:
1
1
1
1
.
1
Отто Николаус Август (1832-1891) – немецкий инженер, изобретатель.
2
Дизель Рудольф (1868-1913) – немецкий инженер, изобретатель.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
38
P
2
P
1
3
4
2
1
V
2
V
1
V
2
V
3
V
1
Рис.1.6 Рис.1.7 Рис.1.8
1 2
3 4
1
2 3
4
р
V
р
V
р
V
1.24. Найти КПД цикла Ленуара1 (рис.1.9). Процесс
2–3 – адиабатный; p2/p1 = , рабочее тело – идеальный газ.
Ответ:
(1/ ) 1
1
1
1
.
P
2
P1
V2 V
1
Рис.1.9 Рис.1.10 Рис.1.11
1 2 3
1
2 3
р
V
р
V
р
V
P
2
P1
P
2
P1
V2 V
3
1
2
3
4
V1 V
3
1.25. Определить КПД цикла Ленуара (рис.1.9), если
V2/V1 = . Участок 2–3 – адиабата, рабочее тело – идеальный
газ.
Ответ:
1
1
1
.
1
Ленуар Этьен (1822-1900) – французский инженер, изобретатель.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
39
1.26. Определить КПД цикла, изображенного на
рис.1.10, как функцию V1/V2 = , если процесс 2–3 – изотермический. Рабочее тело – идеальный газ.
Ответ:
1
( 1) ( 1)ln
1
1
.
1.27. Определить КПД цикла, изображенного на
рис.1.11, как функцию V1/V2 = , если процесс 2–3 – адиабатический. Рабочее тело – идеальный газ.
Ответ:
11
1
1
1
.
1.28. Определить КПД цикла, изображенного на
рис.1.10, как функцию р2/р1 = , если процесс 2–3 – адиабатический. Рабочее тело – идеальный газ.
Ответ:
1
1
1/
1
1
1
.
1.29. Определить КПД цикла, изображенного на
рис.1.11, как функцию V1/V2 = и р2/р1= . Рабочее тело –
идеальный газ.
Ответ:
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 1)
.
1.30. Определить КПД воздушно-реактивного двигателя
(рис.1.12) как функцию = V1/V2 и = V3/V2. Процессы 1–2 и
3–4 – адиабатные, рабочее тело – идеальный газ.
Ответ:
1
1
1
1
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 1. Термодинамика
40
2
1
V
2
V
1
V
4
V
3
Р
Р
3
Р
2
Р
1
Рис. 1.12
4
1.31. Доказать, что КПД тепловой машины не превыша-
ет
min
max
max
1
T
T
, где T
max
– максимальная температура
нагревателя, а T
min
– минимальная температура холодильника.
1.32. Для цикла Карно с температурой холодильника Т2
и температурой нагревателя Т1 доказать соотношение
12
12
0
QQ
TT
(уравнение Клаузиуса), где Q1 – тепло, получен-
ное от теплового резервуара, а Q2 – тепло, отданное холодильнику.
1.33. Идеальная тепловая машина с КПД работает по
обратному циклу. Какое максимальное количество теплоты
можно забрать из холодильника, совершив механическую работу W?
Ответ:
(1 )
max
W
Q
.
Методические рекомендации: на практических занятиях
рекомендуется выполнение примера 1 и заданий 1.21 и 1.23.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]