Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебно-методическое пособие
.pdf
средняя гармоническая, если n = – 1;
Вид
степенной
средней
Степень (n)
Формула расчета
Простая
Взвешенная
Гармоническая
- 1
x
n
1
xfm
x
m
m
Геометрическая
→ 0
n
n
xxxx ...
21
f
f
n
ff
f
f
n
xxxx
...
21
21
Арифметическая
1
n
x
fxf
Квадратическая
2
n
x2
ffx
2
Кубическая
3
3
3
n
x
3
3
ffx
средняя геометрическая, если n = > 0;
средняя арифметическая, если n = 1;
средняя квадратическая, если n = 2;
средняя кубическая, если n = 3 и т.д.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных
данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует
правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени
n увеличивается и соответствующая средняя величина:
Формулы степенных средних приведены в табл. 5 [11].
Таблица 5
Виды степенных средних
Правила применения средних величин в расчетах [3, 9]:
1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям,
для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при
этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должная вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.
21
2. Если в указанной постановке задачи известны численные значе-
Номер рабочего
1 2 3 4 5
Производство продукции
за смену, шт.
21
18
20
22
19
Тарифный разряд
2 3 4 5 6
Число рабочих
8
16
17
12
7
ния числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное отделения одного показателя
на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.
В статистической практике чаще, чем остальные виды средних
взвешенных, используются средние арифметические и среднегармонические взвешенные.
Мода (Мо) – это величина изучаемого признака, которая в данной
совокупности встречается наиболее часто. Чтобы определить моду
по гистограмме, надо выбрать самый высокий прямоугольник, прове-
сти линию от правой вершины этого прямоугольника к правому
верхнему углу предыдущего прямоугольника, и от левой вершины
модального прямоугольника провести линию к левой вершине последующего прямоугольника.
Медиана (Mе) – это величина изучаемого признака, которая
находится в середине упорядоченного вариационного ряда.
Медиану находим по кумуляте. Кумулята – график накопленных
частот. Абсциссы – варианты ряда. Ординаты – накопленные частоты.
Графическое определение моды и медианы
Решение задач [9]
Задача 14. Определите среднюю выработку одного рабочего
по имеющимся исходным данным (табл. 6).
Таблица 6
Количество произведенной продукции
Задача 15. Имеется распределение 60 рабочих по тарифным разрядам
(табл. 7).
Распределение рабочих по тарифным разрядам
Определите средний тарифный разряд рабочих.
Таблица 7
22
Задача 16. Производственная деятельность одного из отделений кор-
Предприятие
Общие затраты
на производство, тыс. руб.
Затраты на 1 рубль
произведенной продукции, коп.
1
7250
63
2
9326
62
3
5290
68
4
2139
69
Группы складских помещений
по площади, тыс. м
2
Число помещений
Общая занятая площадь,
тыс. м2
До 10
2
7,2
10–20
14
122,0
20–30
5
106,3
30 и более
3
92,6
Вид продукции
Процент брака
Стоимость бракованной продукции, руб.
А
2,5
1612
В
1,8
5932
С
5,4
850
порации за месяц характеризуется следующими данными (табл. 8).
Таблица 8
Затраты на производство продукции
Определите средние затраты на 1 рубль произведенной продук-
ции в целом по отделению.
Задача 17. Качество продукции предприятия характеризуется дан-
ными (за месяц), представленными в табл. 9.
Таблица 9
Показатели качества продукции
Определите средний процент брака в целом по предприятию.
Задача 18. Использование складских помещений компании характе-
ризуется следующими данными (табл. 10).
Таблица 10
Показатели использования складских помещений
Вычислите средний процент загрузки складских помещений в
целом по данной компании.
23
Задача 19. Вычислите средний стаж 12 работников, используя сле-
Счета
Поступления
Сумма
вклада, руб.
Дата выдачи
Выданная
сумма, руб.
1
1.01
1020
- - 2
1.04
800
1.10
300
3
1.01
1700
- - 1.06
300 - - - 2000
1.11
1000
Ссуды
Размер, тыс. руб.
Дата выдачи
Срок погашения
1
150
10.04
10.08
2
90
15.04
15.06
3
100
20.04
15.05
4
20
24.04
24.07 след. года
5
3
25.04
25.06
6
400
27.04
27.12
дующие индивидуальные значения признака:
6, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 6, 3, 7, 4, 5.
Задача 20. По данным движения вкладов до востребования в сберега-
тельной кассе за отчетный год (табл. 11) определите: 1) остаток вклада на конец года; 2) средний срок хранения вкладов, используя формулу средней взвешенной, данные о сумме начисленных за год на
счета вкладчиков процентов.
Таблица 11
Величина движения вкладов населения
Задача 21. За апрель отделение сберегательного банка выдало сле-
дующие ссуды (табл. 12).
Таблица 12
Данные сберегательного банка по выданным ссудам за апрель
Определите двумя способами средний размер и средний срок вы-
дачи ссуды.
Задача 22. Имеются данные о возрастном составе рабочих (лет):
18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25,
29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29. Постройте интервальный ряд рас-
пределения и его графическое изображение. Графически определите
моду и медиану.
24
Практическое занятие 5
)()(
)(
11
1
0
оооо
оо
ММММ
ММ
о
ffff
ff
iХМ
Тема: Расчет показателей вариации
Цель занятия: применение теоретических знаний для расчета по-
казателей вариации и определения среднего значения признака статистической совокупности.
Теоретический материал темы занятия
Величины того или иного количественного признака у отдельных
единиц совокупности различаются между собой. Такое различие
в величине признака носит название вариации. Вариация признаков
единиц совокупности – результат воздействия на данный признак
внешних и внутренних факторов.
Вариация свойственна практически всем без исключения природным и общественным явлениям и процессам. С целью изучения
отклонений значений признаков от их средних величин используют
различные статистические приемы. К ним относятся: изучение показателей вариации, построение вариационного ряда распределения, его
графическое представление, исследование формы распределения.
Показателями вариации являются [1, 2, 3, 9]:
показатели структуры вариационного ряда (мода, медиана,
квартили, перцентили);
показатели размера вариации (размах вариации, среднее ли-
нейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации);
показатели формы вариационного ряда распределения (асим-
метрия, эксцесс).
Рассмотрим первую группу показателей. Это показатели структуры вариации. К ним относят: мода, медиана, квартили, перцентили.
Мода – наиболее часто повторяющееся значение признака в со-
вокупности. Вычисление модальной величины в интервальных рядах
осуществляется по следующей формуле [3]:
,
25
где Хо – нижняя граница модального интервала (модальным является
Ме
Ме
n
i
i
о
f
S
f
iХМе
1
1
2
minmax
XXR
интервал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
fМо – частота модального интервала;
f
– частота интервала, предшествующего модальному;
Мо-1
f
– частота интервала, следующего за модальным.
Мо+1
Медиана – серединное значение изучаемого признака. Для опре-
деления медианы в интервальном ряду распределения необходимо
воспользоваться следующей формулой:
,
где Хо – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину
общей суммы частот);
i – величина медианного интервала;
S
– накопленная частота интервала, предшествующая медиан-
Ме-1
ному;
fМе – частота медианного интервала
Вторая группа показателей – относится к абсолютным показателям, которые определяют размер вариации.
Для характеристики величины возможных колебаний единиц совокупности исчисляются следующие показатели: размах вариации,
среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации [3].
Размах вариации – разность между наибольшим и наименьшим
значениями варьирующего признака.
.
Среднее линейное отклонение (d) – средняя арифметическая ве-
личина из абсолютных значений отклонений вариант признака от их
среднего значения. При вычислении данной величины отклонения
вариант от средней арифметической берется по модулю, т.е. без учета
26
знаков. Среднее линейное отклонение может быть простым и взве-
n
XX
d
n
i
срi
1
n
i
i
n
i
iсрi
f
fXX
d
1
1
n
ХХ
n
i
срi
2
1
2
)(
n
i
i
i
n
i
срi
f
fХХ
1
2
1
2
)(
2
%100
ср
Х
V
шенным и имеет следующий вид:
;
.
Средний квадрат отклонений или дисперсия – среднеарифметическая величина из квадратов отклонений вариант от средней арифметической (σ2). Для его исчисления используются следующие формулы:
;
.
Среднее квадратическое отклонение (σ), которое рассчитывается
следующим образом:
.
Среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение выражаются именованными числами, т.е. дают представление об абсолютной величине колебаний признака.
Для сравнения колебаний разнородных явлений, разных по своему характеру и размерам признаков используется относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V).
.
Он дает возможность сопоставить вариацию одного и того же
признака в разных статистических совокупностях, а также по разнородным признакам одной и той же или различных статистических совокупностей.
27
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариа-
1 бригада
2 бригада
2 8 3
9
12
10
15
11
18
12
Группа коммерческих
банков по размеру
активов, млн руб.
)(iХ
Удельный вес
банков
в % к итогу, (f)
Середина
интервала
)(Х
fХi
fХi
2
до 200
8
200–300
25
300–400
52
400–500
7
500–600
5
600 и более
3
Группы несовершеннолетних
правонарушений по возрасту
9
10
11
12
13
14
15
16
Количество правонарушений
13
12
15
24
29
36
42
30
ции не превышает 33 % (для распределений близких к нормальному).
Решение задач [9]
Задача 23. Имеются данные о производительности труда рабочих
в двух бригадах (табл. 13). Каждая бригада состоит из 5 человек.
Таблица 13
Производительность труда, шт/чел
Определите показатели размера вариации.
Задача 24. По имеющимся исходным данным (табл. 14) определите
показатели размера и структуры вариации.
Таблица 14
Показатели интервального ряда
Задача 25. По данным табл. 15 определите размах вариации и сред-
нее линейное отклонение
Таблица 15
Совокупность возрастных правонарушений
28
Задача 26. По данным о распределении сотрудников коммерческого
Стаж, года
5 6 7 8 9
10
Число
сотрудников
43
32
25
13
10
7
банка по стажу работы (табл. 16) определите размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Таблица 16
Распределение сотрудников банка по стажу работы
Задача 27. Определите дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение, если известно, что квадрат отклонений индивидуальных значений признака от некоторой величины А равен 1285, а разность
между величиной А и средней равна 18.
Практическое занятие 6. Контрольная работа № 1
Практическое занятие 7
Тема: Виды и взаимосвязь относительных величин во времени
Цель занятия: формирование знаний о видах относительных величин и их взаимосвязи.
Теоретический материал темы занятия
Относительные статистические величины – показатели, измеряющие количественные соотношения между разными сторонами социально-экономических явлений и процессов. Основным условием
правильного расчета относительной величины является сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между
изучаемыми явлениями.
Относительные величины всегда получают расчетным путем.
Относительные величины различают по содержанию, познавательным функциям и методам построения. Поэтому они классифицируются следующим образом [9]:
ности совокупности, масштабы вариации значений признаков.
1. Относительные показатели, измеряющие степень неоднород-
2. Система экономических индексов.
29
3. Относительные показатели изменения совокупности во времени:
Относительная величина динамики – характеризует измене-
ние уровня развития какого-либо явления во времени.
Относительная величина планового задания – отношение
уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню
фактически, сложившемуся в предшествующий период.
Относительная величина выполнения задания – отношение
фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.
4. Относительные показатели, измеряющие силу и тесноту связи
между признаками единиц совокупности.
5. Относительные показатели величины ошибок, возникающих
при выборочном наблюдении из-за неполного охвата единиц совокупности.
Решение задач [9]
Задача 28. По плану завод должен был выпустить в отчетном периоде
товарной продукции на 12 млн руб. Фактический выпуск товарной продукции составил в этом периоде 13 млн руб. Определите относительную величину выполнения плана по выпуску товарной продукции.
Задача 29. По плану комбинат должен выпустить в отчетном периоде
товарной продукции на 600 млн р. при средней численности работающих 2000 чел. Фактически комбинат выпустил в отчетном периоде
товарной продукции на 620 млн р. при средней списочной численности работающих 2030 чел. Определите относительный показатель изменения фактического выпуска продукции на одного работающего
по сравнению с планом.
Задача 30. Выпуск продукции по предприятию в предыдущем периоде
составил 400 млн р. В отчетном периоде предусматривалось произвести
продукции на 500 млн р., фактически произведено на 560 млн р. Определите относительную величину планового задания.
Задача 31. Планом завода в отчетном году было предусмотрено сни-
жение себестоимости продукции на 6 %. Фактически она была сни-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]