Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы и элементы теории автоматического регулирования напряжения в тяговом электроснабжении. Учебное пособие
.pdf
Переходная функция — это сумма двух экспонент с разными по-
33
44
−−
22
22
22
11
kk
стоянными времени при x = 1(t):
T
ht k e e
() .
= +
3
1
TT TT
T
T
3
t
−
t
−
T
4
4
(4.54)
Импульсная (весовая) функция
t
−
wt e e
()
k
= −
TT
−
3
4
t
−
T
T
3
4
. (4.55)
Соответствующие характеристики изображены на рис. 4.15, а и б.
а
h(t)
T1+T
T
2
0
φ,
е
град
L, дБ
20lgk
–180
ω
–90
0
φ(ω)
б в
w(t)
2
'
k
t
ЛАЧХ
–20 дБ/дек
L(ω)
ω
сп2
сп1
0
–1
ω, c
–40 дб/дек
г
д
ω = ∞
t
град
–180°
jV
ω<0
k'
ω
)
W(j
∞
АФЧX
1
ω =
T T
3
4
А
0
ФЧХ
ω, c
АЧХ
ω, c
–1
k'
φ,
180°
0
ω = 0
0
ω
–1
U
Рис. 4.15. Характеристики апериодического звена второго порядка
Частотные характеристики такого звена (рис. 4.15, в, г, д) описываются следующими уравнениями:
Амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ
()
Wj
ω= =
T jT T jT
− ω+ ω+ − ω+ + ω
1
81
( 1)
. (4.56)
Амплитудная частотная характеристика АЧХ
22
22
34
34
TT
34
ω=−−ω−+ω
сп1
3
1
T
ω=
сп2
4
1
T
ω=
12
2TT
10
22
221
1
41
TTT
pj
1
22
12
TT
() 1 1
( )( ).Ak T Tω = +ω +ω
(4.57)
Фазовая частотная характеристика ФЧХ
ϕω =− ω − ω
( ) arctg arctg
. (4.58)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
()
′
20lg 20 lg 1 20 lg 1 .Lk T T
22 22
Она имеет две сопрягающие частоты
График L(ω) можно аппроксимировать ломаной линией
и
(4.59)
.
(рис. 4.15, е), состоящей из следующих отрезков: горизонтальной
прямой, отстоящей от оси ординат на 20 lgk (на участке от ω = 0 до
ω = ω
), прямой с наклоном 20 дБ/дек (от ω
сп1
с наклоном 40 дБ/дек (ω > ω
сп2
).
сп1
до ω
) и прямой
сп2
Уравнение этого звена
2
причем Т
2
( 1) ,T p T p y kx++=
и Т2 связаны условием
1
2
ξ= <
Т1 < 2T2,
1;
(4.60)
где ξ — коэффициент демпфирования.
В этом случае корни характеристического уравнения
2
T p Tp+ +=
12
равны
−± − ⋅
p
=
1, 2
и являются комплексными, т. е.
=α± β
1, 2
,
α=−
2
T
2
2
2TT
(4.61)
2
β=
;
(4.62)
4
−
.
2
2
T
1
82
В этом случае характеристическое уравнение звена упростить
2
++
βα
1
22
22
22
11
kk
−ω+ω+ −ω+ω
нельзя.
Передаточная функция:
Wp
()
=
k
212
T p Tp
.
1
Переходная функция, являющаяся решением уравнения (4.60)
при x = 1(t), имеет вид
( ) 1 sin .
ht k e t
= − β+
α +β
t
α
arctg
β
(4.63)
22
На рис. 4.16 показаны переходные характеристики колебатель-
ного звена для ряда значений
ξ=
2
. Как видно из рисунка, с ро-
2TT
стом ξ колебательность переходного процесса уменьшается, исчезая
совсем при ξ ≥ 1.
h
1,0ξ =
у
∆
макс
ξ = 4,0
ξ =1
Рис. 4.16. Переходные характеристики колебательного звена
Амплитудно-фазовая частотная функция:
()
Wj
ω= =
T jT T jT
(1 )
1
Примером колебательного звена является цепь с последовательно соединенными r, L и C (рис. 4.17).
83
t
. (4.64)
2
+=
T
10
1
pj
0
r
L
х = U
вх
<
r
Рис. 4.17. Схема колебательного звена
у = U
С
1
L
с
вых
Если в уравнении (4.60) Т2 = 0, тогда уравнение звена имеет вид
212
( 1) .T p y kx
(4.65)
Звено называется консервативным, и переходная характеристика такого звена представляет собой незатухающее колебание с ча-
стотой
мнимые корни
1
Характеристическое уравнение
1
=±
1, 2
.
T
212
Tp+=
будет иметь чисто
Примером консервативных звеньев являются слабо демифированные колебательные звенья (колебательные звенья при малых ξ).
Уравнение этого звена
py = kx(t) (4.66)
или в интегральной форме:
k
y xt k xt dt
= =
p
t
() ()
∫
.
Таким образом, выходная величина этого звена пропорциональна интегралу от входной величины.
Передаточный коэффициент такого звена имеет размерность 1/сек.
Интегрирующее звено иногда называют астатическим (т. е. нестатическим).
Переходная функция h(t) = kt и весовая функция ω(t) = h'(t) = k,
характеристики которых изображены на рис. 4.18, а.
84
Передаточная функция: () .
kk
ωω
() .
2
π
ϕω =
2
k
h
h
t
arctg
АФЧХ
U
jV
L, дБ
+ 10
1
2 3
ЛАЧХ
L
ФЧХ
φ, град
ω = ∞
W(jω)
ω
0
∞
ω
ω
k
φ
ω, с
-1
0 0,2 0,8
-10
-45
-90
-20дБ/ дек
Wpp= (4.67)
k
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
()
Wj j
ω= =−
j
(4.68)
(рис. 4.18, б) совпадает с отрицательной мнимой полуосью.
Амплитудная (АЧХ), фазовая (ФЧХ) частотные характеристики
описываются, соответственно, уравнениями
A ω=
()
k
и
(4.69)
ω
Логарифмические характеристики интегрирующего звена
(рис. 4.18, в) ЛАЧХ представляют собой прямую с наклоном — 20 дБ/
дек, пересекающую ось абсцисс при ω = ω
= k:
0
L(ω) = 20lgk – 20lgω
и ЛФЧХ — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая на уров-
()
π
а
б
ϕω = .
не
в
Рис. 4.18. Временно-переходная h и весовая ω (а), амплитудно-фазовая
интегрирующего звена
частотная АФЧХ(б) и логарифмическая ЛАФЧХ (в) характеристики
85
Примером идеального интегрирующего звена служит маломощ-
вых с
0
1
;
t
c
U U i dt
c
= =
∫
r
00
11
tt
rr
∫∫
0
ный двигатель, сконструированный так, что угловая скорость вращения его вала Ω точно пропорциональна напряжению U цепи якоря:
Ω = kU
или в выражении через угол поворота вала φ
pφ = kU.
φ
argtg k
U
Рис. 4.19. Зависимость угла поворота вала маломощного двигателя
от напряжения
Другим примером идеального интегрирующего звена является
звено « r — С » с большим значением T = C · r.
r
Известно
При постоянной времени T = C · r много больше, чем время входного импульса, Т
чительно, поэтому в выражении UВХ = Uc + Ur напряжением Uc можно пренебречь, тогда: U
х =U
вх
=
i
c
U U dt U dt
= =
вых
rc T
⋅
напряжение на конденсаторе С взрастает незна-
и
= Ur;
ВХ
U U dt
=
вых вх
T
1
86
у = U
С
U
r
;
вых
.
t
∫
0
t
+=
htktkt
()
и
y k x dt x
= =
∫
k
.
p
Эти звенья обычно обладают определенной инерционностью,
вследствие чего их выходная величина не равна точно интегралу входной величины.
Уравнение реального интегрирующего звена:
( 1) ,Tp py kx
(4.70)
которое можно заменить системой двух уравнений:
pz kx
=
( 1)
Tp y z
+=
,
где z — новая промежуточная переменная.
Таким образом, реальное интегрирующее звено соответствует
последовательному соединению идеального интегрирующего звена
и статического звена первого порядка.
Уравнение этого звена:
y = kpx, (4.71)
т. е. выходная величина пропорциональна производной от входной
величины. Передаточный коэффициент звена k имеет размерность
в «сек».
Передаточная функция — W(p) = k
и структурная схема звена
х
Переходная функция при x = 1(t), согласно формуле (4.71), равна
p (4.72)
рk
у
Амплитудно-фазовая частотная функция
′
1() () ().
= ⋅ = ⋅δ
W j jkω= ω
87
(4.73)
(4.74)
и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика, как показано на
02
ωπ
dt
dt
рис. 4.20, а, совпадает с положительной мнимой полуосью.
a б в
АФЧХ
jV
∞
град
φ,
ФЧХ
L,
дБ
ЛАЧХ
ω
kω
W(jω)
U
ω = 0
+ 90
20 lg k
1
-
0
ω, с
+ 20 дБ / дек
ω = 1
Рис. 4.20. Характеристики идеального дифференцирующего звена:
амплитудно-фазовая частотная (а) и логарифмические ЛАФЧХ
характеристики (б)
Согласно формуле (4.74) уравнения характеристик АЧХ и ФЧХ:
() ;
Ak
ω= ω
ϕω = =+
( ) argtg
k
, (4.75)
показанные на рис. 4.20, а и 4.20, б.
Примером идеального дифференцирующего звена является звено «r — c» с малым значением T = C · r.
Известно
dU
ic
=
c
c
, тогда
U U i r cr
= = ⋅=⋅
Rc
вых
i
c
dU
c
.
ω, с
1
-
С
r
х = U
вх
Конденсатор быстро заряжается, т. е. по истечении времени
t ≥ (3 — 5)Т конденсатор С зарядится, ток ic и, соответственно, Ur рав-
ны нулю, тогда и
88
у = U
вых
dU dU
dt dt
=⋅=
.
( 1)
+=
и
U cr T
вых
вх вх
UВХ = Uc
;
y Tpx kpx= =
(4.76)
Другим примером идеального дифференцирующего звена может
служить тахогенератор, дающий напряжение, пропорциональное
угловой скорости вращения вала
U = kΩ,
но Ω есть производная от угла поворота φ по времени, тогда:
U kp= ϕ , т. е. совпадает с уравнением звена (4.71).
Эти звенья обладают конечной инерционностью, вследствие чего
осуществляемое ими дифференцирование не является точным.
Уравнение реального дифференцирующего звена имеет вид
Tp y kpx+=
(4.77)
и его можно заменить системой уравнений:
z kpx
=
( 1)
Tp y z
ного дифференцирующего звена и статического звена первого порядка.
, а само звено — последовательным соединением идеаль-
Это звено без искажения воспроизводит на выходе входную величину как идеальное статическое звено, но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время.
Уравнение такого звена:
y = x(t — τ), (4.78)
где τ — время запаздывания; у = 0 при t < τ.
p
Передаточная функция:
()
Wp e−τ=
. (4.79)
Амплитудно-фазовая частотная функция:
j
− ωτ
()
Wj e
ω=
89
.
h
τр
−
1
h (t-τ)
U
τ
вых
Рис. 4.21. Переходная характеристика звена
с постоянным запаздыванием
t
Примером звена с постоянным запаздыванием τ
может служить
зап
линия связи (τ — время прохождения сигнала от передатчика до приемника). Другим примером является усилитель с емкостной связью
между источником входного сигнала и базой транзистора.
-
U
к
r
δ
r
δ
к
U
t
1
вх
0
t
S
заряд С
i
з
х
=
U
вх
I
δ
-
U
у= U
i
р
вых
+
U
к
I
δ
к
U
вых
0
разряд С
t
t
t
kе
Рис. 4.22. Звено с постоянным запаздыванием —
усилитель с емкостной связью
В исходном положении во времени t от 0 до t1 на вход подается отрицательный сигнал, конденсатор не заряжен, протекает постоянная
составляющая базового тока, транзистор открыт, на его выходе сигнал, равный + Uк минус падение напряжения в транзисторе (∆Uэк).
При подаче на вход (в момент времени 1) положительного потенциала, который через конденсатор подается на базу транзистора, ток
базы снижается до нуля, транзистор закрывается, на его выходе появляется сигнал «минус».
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]