Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы и элементы теории автоматического регулирования напряжения в тяговом электроснабжении. Учебное пособие
.pdf
Таблица преобразований Лапласа и Карсона—Хевисайда
s
s
s
s
22
s
22
22
s +λ
22
s
22
22
22
22
()
Таблица 4.1
Оригинал Изображение Лапласа
1(t)
1
δ(t) 1 s
A·1(t)
—αt
e
· 1(t)
t · 1(t)
n
· 1(t)
t
sinλt · 1(t)
cosλt · 1(t)
−γ
t
λ⋅sin ( )
e t ℓt
t
−γ
cos ( )
e t ℓt
λ⋅
A
1
s +α
1
2
s
n
1!n
+
λ
+λ
s
()sλ+γ +λ
ss+γ
()
+γ +λ
Изображение
Карсона-Хевисайда
1
A
s
s +α
1
s
!n
n
ssλ
+λ
2
s
+λ
ssλ
()
+γ +λ
sss+γ
()
+γ +λ
Строгое определение передаточной функции звена по какому-либо внешнему воздействию x или f (рис. 4.1, а) является отношение
преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие
внешние воздействия полагаются равными нулю, а непосредственные преобразования Лапласа выходной величины и внешнего воздействия, например х, вычисляются при нулевых начальных значениях самих функций у(t) и х(t) и их производных.
Считая, как указывалось выше, начальные условия нулевыми
и учитывая, что обе части этого уравнения представляют собой сумму производных с постоянными коэффициентами, получим:
71
Q(s)У(s) = R(s)X(s). (4.32)
( ) [ ( )]
( ) [ ( )]
= +ω
()
()
dt
s Lyt=
Здесь
X s Lxt=
У
,
— изображения Лапласа фун-
кций х(t) и у(t); Q(s) и R(s) — полиномы, отличающиеся от исходных
полиномов Q(р) и R(р) только заменой оператора дифференцирования Р на комплексную переменную Scj
.
Отсюда
У(s) = W(s)X(s), (4.33)
Rs
где
WsQs=
()
— передаточная функция звена (с заменой Р на S).
Типовыми звеньями являются звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.
Рассмотрим уравнения, переходные и частотные характеристики
наиболее часто встречающихся типовых звеньев. Дифференциальные
уравнения, временные и частотные характеристики этих звеньев сведены в таблицы и приведены в приложении П.4.
Дифференциальное уравнение этого звена имеет вид:
Решением уравнения (4.34) является показательная функция (экспонента)
В установившемся статическом режиме выходная и входная величины связаны уравнением
dy
T y kx
+=
() 1 .
y t kx e
= −
−
ст
ст ст
72
(4.34)
.
t
T
(4.35)
.y y kx= =
Вместо дифференциального уравнения динамика звена может
p1
yk
х
у
1р +Т
k
Ω=
быть представлена передаточной функцией звена
xT=+
, (4.36)
которая обозначается
k
WpT=
() .
(4.37)
+
р
1
Структурная схема звена имеет вид
Рис. 4.9. Структурная схема апериодического звена
первого порядка
Примерами апериодических статических звеньев первого порядка являются, например, двигатели постоянного тока и двухфазные асинхронные двигатели (рис. 4.10, а); усилители сигнала при учете времени Т запаздывания (рис. 4.10, б); цепи r, С (рис. 4.10, в); цепи r, L (рис. 4.10, г).
х = U
дв
a б
Д
r
у
х = U
1
L
у = U
2
х = U
в
1
С
у = U
у = i
2
х = U
г
r
Рис. 4.10. Примеры статических апериодических звеньев
первого порядка
Переходная (временная) функция такого звена, являющаяся решением уравнения (4.34) при х = 1(t), представляет собой экспоненту
t
−
T
() 1 .
ht k e
= −
73
(4.38)
Импульсная (весовая) функция
T
Т
Т
1
2
k
Т1Т
2
t
−
k
T
Wt ht e
′
= =
() () .
(4.39)
Соответствующие характеристики изображены на рис. 4.11, а и б.
Эти характеристики могут быть получены экспериментально. Из них
получают значения Т и К (показано на рисунках).
а
в
д
ω
φ
V(ω)
=∞
-45
-90
,град
h(t)
х
0
k
0
W(jω)
1
ω
=
Т
T
U(ω)
φ(ω)
ω
хст = l(t)
У
0,632 k
АФЧХ
k
V(ω)
=
ω, с-1
ФЧХ
t
= Кхст = k
ст
t
ω
=0
U(ω)
0
ω
8
е
б
δ(t)
l (t)= δ(t)
t
t
ω(t)
k
0
0
T
г
A(ω)
L дБ
71,0 k
45,0 k
0
-45
-90
0
L
(ω)
20 lg k
АЧХ
ЛАЧХ
ω
сп
ω, с-1
3 дБ
1
=
20 дБ
Декада
Т
φ(ω)
ω, с-1
ФЧХ
φ
,град
Рис. 4.11. Характеристики апериодического звена первого порядка
74
Величина Т называется постоянной времени звена и имеет раз-
1
T
+ω
1
T
+ω
LAk T
мерность (сек). Определяется величиной проекции касательной на
линию установившегося значения у = уст. Обычно принимают значение Т при достижении у = 0,63уст. Из рис. 4.11, а видно, что чем больше постоянная времени, тем длительнее будет переходный процесс
установления выходной величины уст, который теоретически заканчивается при t = ∞. Для практических расчетов длительность переходного процесса принимается tn ≈ 3T, когда значение у почти сливается с уст и составляет у = 0,95уст.
Амплитудно-фазная частотная функция АФЧХ может быть получена после подставки в выражение передаточной функции звена
(4.37) вместо р значения jω, тогда АФЧХ имеет вид
ω= = = ω+ ω
W j U jV
( ) () ()
1
k k jkT
+ω
jT
1
ω
–
22
+ω
T
, (4.40)
где
U
()
ω=
k
,
V
ω=−
2
()
2
kT
ω
.
2
2
Характеристика АФЧХ (рис. 4.11, в) представляет собой полуокружность с радиусом k/2 и центром в точке (k/2, j0) на действительной оси. Согласно рис. 4.11, в и формулы (4.40) выражения амплитудной частотной характеристики АЧХ и фазовой частотной
характеристики ФЧХ имеют вид и представлены на рис. 4.11, г, д.
() ()
A UV
ω= ω+ ω =
22
() ;
( ) arctg arctg .
ϕω = =− ω
V
U
()
ω
()
ω
k
2
1
T
+ω
T
2
. (4.41)
Логарифмическая амплитудная частотная ЛАЧХ характеристика
(рис. 4.11, е, штриховая линия) определяется выражением
2
2
() ()
20lg 20lg 20 lg 1 .
ω= ω= − + ω
(4.42)
Показанная на рис. 4.11, е, ЛАЧХ может быть приближенно представлена линейной аппроксимацией двух ломаных линий (сплошные тонкие линии). Эта приближенная характеристика называется
асимптотической ЛАХ. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот L
и Lа2 , к которым стремит-
а1
ся ЛАХ при ω → 0 и ω → ∞. Найдем эти асимптоты.
75
При низких частотах (ω < ωсп, где
T
TT
a
( ) 20lg 20 lg 10 20lg 20lg 20lg10.
ω=
сп
1
— сопрягающая часто-
та) членом Т 2ω2 в уравнении (4.42) пренебрегают, тогда Lа1(ω) ~ 20 lgk.
Соответственно характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот и отстоящую от этой оси на уровне 20 lgk. Это
есть первая асимптота, к которой стремится ЛАХ при ω → 0.
При высоких частотах, когда ω>>1/Т пренебрегают единицей
в подкоренном выражении уравнения (4.42), тогда
22
1
+ ω≈ ω и ()220lg 20 lg .
L kTω= − ω
График этой асимптоты — прямая с наклоном — 20 дБ/дек. Действительно, при увеличении ω на декаду, т. е. в 10 раз:
L kT kTω = − ⋅ ω= − ω−
Таким образом, величина L(ω) уменьшилась на 20lg10, т. е. на 20 дБ.
Эта линия является второй асимптотной, к которой стремится ЛАХ
при ω → ∞. Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей
частоте ω
= 1/Т. Поэтому эта частота называется сопрягающей ча-
сп
стотой.
При ω = 1/Т, согласно (4.42):
( ) 20lg 20lg 2 20 lg 3Lk kω= − = − дБ.
Таким образом, максимальное расхождение между истинной
и асимптотической ЛАХ равно всего 3 дБ. Поэтому при практических построениях ЛАХ апериодических звеньев используют обычно
асимптотическую ЛАХ.
Фазовая частотная характеристика, соответствующая выражению
(4.41), показана на рис. 4.11, е; при ω → ∞ значение φ изменяется от
0 до —π/2. При этом в точке ω = 1/Т имеем φ = —π/4.
Если частотные характеристики получены экспериментально, то
по ним нетрудно определить параметры звена Т и k, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией.
На примере рассмотренного звена можно проиллюстрировать
сформулированное в предыдущем параграфе положение о том, что
величина полосы пропускаемых звеном частот, т. е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействия звена: чем
длиннее частотная характеристика звена, тем короче его переходная
характеристика, т. е. меньше инерционность звена. В случае апериодического звена инерционность определяется постоянной времени Т.
76
Выше было показано, что длительность переходной характеристики
Ω=
() ().
у этого звена пропорциональна Т, в то время как сопрягающая частота его ЛАХ, а следовательно, и длина всей этой характеристики
обратно пропорционально Т.
Это звено, постоянная времени Т которого настолько мала, что
ею в уравнении (4.34) можно пренебречь, тогда его уравнение принимает вид
у = kx, (4.43)
где k — коэффициент усиления.
Примерами таких звеньев являются:
у
редуктор
Ω=x
1
;
2
делитель напряжения
х = U
безынерционный усилитель
1
у = U
х = U
;
21
1
у = U
.
2
На рис. 4.12 показаны примеры схем безынерционных усилителей.
При нахождении на «входе» сигнала +Uвх, относительно +Uк источника питания, транзисторы VT в схеме на рис. 4.12 закрыты, и на его выходе получаем сигнал —U
—Uк транзисторы открываются, и на его выходе получаем сигнал +U
. При подаче на «вход» транзисторов сигнала
вых
вых
.
На рис. 4.12, в приведены диаграммы входного и выходного напряжений.
Передаточная функция звена
yp
Wp k
()
= =
() .
xp
()
(4.44)
Переходная функция (рис. 4.13, а)
ht k t= ⋅
1
(4.45)
Импульсная (весовая) функция (рис. 4.13, б)
() ().wt k t= δ
77
(4.46)
- U
()
()Ak
()
( ) 20 lgLk
a б
вход
х = U
r
вх
r
см
в
U
вх
U
вых
- U
к
r
к
выход
VT
у = U
вых
+ Uк,-U
см
+ U
см
t
t
вход
х = U
r
δ
вх
Рис. 4.12. Схемы безынерционных транзисторных усилителей
Частотные характеристики (рис. 4.13 в, г, д, е)
r
r
см
к
к
выход
VT
у = U
вых
+ U
к, -Uсм
+ U
см
h(t)
а
0
г
А
0
Рис. 4.13. Временные (а, б) и частотные (в, г, д, е) характеристики
Wj kω= ;
б в
ω=
w(t)
; 0
ϕω = ;
h(t)
k
k
t
0
д
А(ω)–AЧХ
k
–1
ω, c
безынерционного усилительного звена
град
φ,
0
φ(ω) –φЧХ
ω, c
78
ω=
.
jV
k
е
φ,
град
0
W(jω) – AФЧХ
L, дБ
20
ЛАЧХ
L(ω)
U
t
20 lg k
180
90
–1
0
φ(ω)
ω, c
–1
В действительности безынерционных звеньев не существует, и та-
22
221
1, 2
2
1
41
2
TTT
p
T
−± − ⋅
=
1
3
1
pT=−
2
4
1
pT=−
12
k
1
х
у
Т3 р + 1
Т
4
р + 1
кими звеньями считают те, у которых постоянная времени на одиндва порядка ниже, чем у других звеньев системы.
Это звено описывается дифференциальным уравнением
2
причем Т1 и Т2 связаны условием
2
( 1) ,T p T p y kx++=
12
(4.47)
Т
≥2Т2. (4.48)
1
Характеристическое уравнение звена имеет вид
2
2
12
(4.49)
1 0,T p Tp+ +=
корни которого
(4.50)
при условии (4.48) являются отрицательными действительными кор-
нями и равными
,
Если корни характеристического уравнения действительные, то
его можно записать в виде
( )( ) 0,pppp− −=
и с учетом значений корней р1 и р2 представить произведением двух
более простых характеристических уравнений:
(Т
р +1)(Т4 р +1) = 0. (4.51)
3
Тогда звено может быть описано уравнением:
(Т
р +1)(Т4 р +1)у = kx (4.52)
3
и представлено двумя последовательно соединенными звеньями первого порядка,
.
79
описываемых уравнениями:
34
++
(Т3 р +1)z = kx;
р +1)у = z,
(Т
4
где z — новая промежуточная переменная, т. е. апериодическое звено второго порядка нельзя считать элементарным звеном.
Уравнение установившегося режима этого звена имеет тот же вид,
что и у звена первого порядка:
= kxст.
y
ст
Дифференциальному уравнению (4.52) соответствует передаточная функция
Wp
=
()
( 1)( 1)
k
Tp Tp
(4.53)
и структурная схема звена
х
k
( 1)( 1)T p T p+ +
3 4
у
Примерами апериодических звеньев второго порядка являются:
электродвигатель постоянного тока при учете индуктивности якоря
Ω=у
х =U
U
в
, LR
яя
электрическая цепь
х = U
r
1
С
вх
1
r
2
С
у = U
2
вых
Рис. 4.14. Примеры статических апериодических звеньев второго порядка
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]