Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы и элементы теории автоматического регулирования напряжения в тяговом электроснабжении. Учебное пособие
.pdf
где Rа — сопротивление цепи якоря;
в вв
UE
Е = С1ΩΦ — ЭДС генератора — пропорциональна скорости вра-
щения Ω и потоку Ф; (П.2.2)
Ф — магнитный поток, сцепляющийся с якорем;
С1 — коэффициент, постоянный для данной машины,
поскольку Ω = постоянной величине
Е = С'1Ф, (П.2.3)
= С1 Ω.
где С'
1
Поток Ф является функцией тока возбуждения:
Ф = f(I
Эта зависимость нелинейна и показана на рис. П.2.1, б.
Уравнение цепи обмотки возбуждения:
где р = d/dt, w — число витков обмотки возбуждения;
σ — коэффициент рассеяния полного магнитного потока, созда-
ваемого обмоткой возбуждения
Уравнения (П.2.1)—(П.2.5) определяют зависимость U = f(Uв) через
промежуточные переменные Е, Ф, Iв. Эта зависимость нелинейна изза нелинейности характеристики намагничивания генератора. Эта нелинейность связана с насыщением магнитной цепи и с гистерезисом.
Линеаризовать такую нелинейность по вышеизложенной методике путем перехода к малым приращениям переменных можно, если
пренебречь гистерезисом, т. е. ограничиться основной кривой намагничивания.
Переходя к приращениям переменных, получаем следующую систему линейных уравнений:
). (П.2.4)
в
Ф,U RI w p= +σ
= σФ (σ > 1).
Ф
о.в.
R
∆= ∆
EC
∆ = ∆Φ
∆Φ = ∆
U R I wp
∆ = ∆ + σ ∆Φ
н
RR
+
a
н
'
;
1
∂Φ
I
∂
в
о
в вв
;
I
;
в
( ).
(П.2.5)
(П.2.6)
,
161
Фd
вв
вв
о
вв
() ,
где
намагничивания в точке установившегося режима.
— тангенс угла наклона касательной к основной кривой
dI
в
о
Исключив из (П.2.6) промежуточные переменные ∆Е, ∆Ф и ∆Iв,
получим искомое уравнение, связывающее ∆U с ∆Uв:
— постоянная времени цепи возбуждения —
где Т
в
k
— передаточный коэффициент генератора по возбуждению
в1
( 1)Tp U k U+∆ = ∆ (П.2.7)
в вв
σΦ
wd
=
T
в
R dI
()
R RC
+
н
k
a
=
в1
R R dI
a
,
1
;
о
'
Ф
d
1
.
о
Тв и kв1 зависят от выбранной точки установившегося режима,
в которой осуществляется линеаризация.
Перейдя к относительным единицам:
(T
U
где
∆
U
=
U
;
U
∆
U
=
в
U
во
p + 1)U = kв2Uв, (П.2.8)
в
U
в
;
kk
в2 в1
во
=
.
U
С введением передаточной функции получим:
где
() .
Wp
в
Tp=+
U W pU=
k
в2
1
в
(П.2.9)
В структурной схеме системы, куда входит рассматриваемое звено, оно должно быть изображено в виде:
U
в
k
в2
1
+
рТ
в
Рис. П.2.2
162
U
Было принято, что Ω и Rн постоянны. Изменение этих величин
oo
11
11
a
kC
является возмущением. Рассмотрим, как изменится уравнение генератора, если учесть, например, непостоянство скорости вращения якоря (Ω = перем.).
В этом случае в систему исходных уравнений генератора вместо
уравнения (П.2.3) нужно ввести уравнение (П.2.2):
E = C1ΩФ.
С учетом непостоянства скорости Ω это уравнение оказывается нелинейным, поскольку включает в себя произведение переменных Ω и Ф. Произведя линеаризацию этой нелинейности разложением в ряд Тейлора, получим линейное уравнение для приращений
переменных:
dE dE
E CC
∆ = ∆Ω + ∆ = ∆Ω + Ω ∆ =
dd
Ω
оо
= ∆Ω + ∆
ФФ Ф
Ф
"'
CC
11
Ф
.
(П.2.10)
Подставив уравнение (П.2.10) в систему уравнений (П.2.6) вме-
сто Ф
1
'
EC∆=∆ и исключив промежуточные переменные, получим
следующее уравнение генератора:
где
=
c
RR
Перейдя к относительным единицам, получим:
где
Ω
о
∆Ω
ω=
С использованием передаточной функции уравнение (П.2.12)
можно представить так:
Таким образом, коэффициент k
кцией генератора по скорости вращения якоря, в то время как W
его передаточная функция по напряжению возбуждения.
В этом случае изображение этого звена в структурной схеме примет вид:
в в1 в в с1
R
;
н
+
с2 с1
"
.
н
в в2 в в с2
Ω
=
.kk
U
о
() .U W pU k= +ω
в вc2
163
(П.2.11)
,( 1) ( 1)Tp U k U Tp k+ ∆ = ∆ + + ∆Ω
(П.2.12)
,( 1) ( 1)Tp U kU Tp k+= + + ω
(П.2.13)
является передаточной фун-
с2
(р) —
в
+
+
U
ω
в
К
в2
1
+рТ
в
К
с2
Рис. П.2.3
U
Если учесть еще одно возмущение — изменение сопротивления
нагрузки генератора ∆Rн, то в правой части уравнения появится соответствующий третий член, а в структурной схеме — третье воздействие.
164
Приложение П.3
( ) ()
( ) arg ( )
() ().
кк
max max
tt
Связь между передаточной функцией
и частотными характеристиками звена
Аналитическое выражение для частотных характеристик могут
быть легко получены по передаточной функции. Если в выражение
передаточной функции звена W(p) подставить p = jω, то получится
комплексная величина W(jω), которая представляет собой функцию
ω и называется амплитудно-фазовой частотной функцией.
W(jω) — аналитическое выражение АФЧХ, т. е. частотная передаточная функция звена.
Wj Wp
ω=
при изменении ω от 0 до ∞ определяет амплитудно-частотную ха-
— есть комплексное число, модуль которого
pj
= ω
рактеристику A(ω), а аргумент — фазовую частотную характеристику φ(ω).
Таким образом,
Wjϕω = ω
;
.
() ( )A Wjω= ω
Для удобства воспользуемся символической формулой записи
гармонических функций, т. е. представим установившиеся колебания на входе и выходе звена в виде:
t
γω
t
γ ω +ϕ
( )
(П.3.1)
.
=
xxe
max
=
yye
max
Уравнение звена может быть записано в виде:
Qpy Rpx=
(П.3.2)
Таким образом, известно уравнение звена (П.3.2) и входное воздействие х. Найти амплитуду и фазу установившихся колебаний на
выходе звена. Подставим в уравнение (П.3.2) выражения (П.3.1) для
х и у. Полученное уравнение и определит искомые значения амплитуды и фазы у.
При постановке необходимо учесть выражения для k-той производной от х и у:
γω γω
( )( ) ;
pxe j xe
= ω
165
кк
tt
pye jye
ω=ω
max
22
() ()cos();
( ) ()cos() ()sin()
RR
QQ
max max
=
() ()
γ +ϕ γ +ϕ
( ) () .
Так как в левой и правой частях уравнения звена (П.3.2) стоят
суммы производных, то в результате подстановки (П.3.1) в (П.3.2)
получим:
t
γ ω +ϕ
() () ,
Qj y e Rj x e
( )
max max
t
γω
отсюда
y
ω
=
ω
max
j
ϕ
,
e
,yAx=
но
Rj
()
Qj
()
ω
ω
= ω
Wj
( ),
а
()
Rj
()
Qj x
max
max
поэтому окончательно имеем:
j
ϕω
( )
( ) ()
Wj A e
ω= ω
— показательная форма записи частотной пе-
редаточной функции (П.3.3).
Эта формула и определяет искомую связь передаточной функции
W(p) с частотными функциями звена.
Представим W(jω) не в показательной, а в алгебраической форме:
W(jω)= U(ω) + jV(ω). (П.3.4)
Согласно (П.3.3) и (П.3.4) связь между приведенными частотными функциями следующая:
ω= ω+ ω
() () ();
A UV
() ;
ϕω =
arctg
UA
ω = ω ϕω
() ()sin().
VA
ω = ω ϕω
W j A jAω = ω ϕω + ω ϕω
V
U
ω
()
()
ω
(П.3.5)
— тригонометрическая.
Порядок получения выражения для перечисленных выше частотных функций по передаточной функции звена несложен. После подстановки в W(p) p = jω получаем:
() .
Wj
U jV
()
Rj
ω= =
ω
( ) () ()
Q j U jV
ω ω+ ω
166
() ()
ω+ ω
После освобождения от мнимости в знаменателе окончательно
12 1
22
22
ww
++
имеем:
W j U jV
22
ω+ ω
() ()
UV
QQ
ω+ ω ω+ ω
[ () ()][ () ()]
U jV U jV
R RQ Q
ω= = ω+ ω
( ) () (),
где
U
ω ω− ω ω
() () () ()
VU UV
R Q RQ
ω=
() .
V
A
A
2
()
Q
2
()
Q
ω
ω
ω⋅ ω+ ω ω
() () () ()
U U VV
R Q RQ
ω=
() ;
Пример:
22
( 1) ( )T p Tp y k x+ +=
2
TT=
2
5
=
1
ω= = = ω+ ω
Wj U V
( ) () ()
10 10 0
2
− ω + ω+
25 2 1
j
10;
kk=
1
1 25 2
2.
=
2
+
j
− ω+ ω
j
p = jω.
10(1 25 )
() ;
U
ω=
Vw
() .
=
−ω
(1 2 5 ) 4
− ω +ω
w
10 2
−⋅
(1 2 5 ) 4
167
Типовые динамические звенья
21
21
21
xx
21
Приложение П.4
Таблица П.4.1
№
п/п
Группа Тип звена
1 Позиционные Безынерционное
2 Апериодическое 1-го порядка
3 Апериодическое 2-го порядка
4 Колебательное
5 Консервативное
6 Интегрирую-
Идеальное интегрирующее
щие
7 Интегрирующее с замедлением
8 Дифференци-
рующие
9 Дифференцирующее с замед-
Идеальное дифференцирующее
лением
Временные характеристики типовых звеньев
№
п/п
1 Безынерционное
Тип звена Переходная функция Функция веса
h
Вид дифференциального
уравнения
= kx
x
2
1
(Tp + 1)x2 = kx
22
( 2 1)T p Tp x kx+ξ + =
1
(1 ≤ ξ < ∞)
22
( 2 1)T p Tp x kx+ξ + =
(0 < ξ < 1)
2p2
+ 1)x2 = kx
(T
=
( 1)
Tp x x
+=
x2 = kpx
(Tp + 1)x2 = kpx
1
k
p
k
p
1
1
Таблица П.4.2
ω
2 Апериодическое 1-го
порядка
k
0
h
T
k
0
t
k
0
t
ω
0
t
t
168
Продолжение табл. П.4.2
№
п/п
Тип звена Переходная функция Функция веса
3 Апериодическое 2-го
порядка
4 Колебательное
5 Консервативное
6 Идеальное интегрирую-
щее
7 Интегрирующее с замед-
лением
T
h
0
h
0
h
k
0
h
0
h
1+T2
ω
k
0
t
ω
0
k
t
ω
0
t
t
2πT
ω
0
ω
t
t
0
kω
t
k
0
T
169
0
t
k
t
t
Окончание табл. П.4.2
№
п/п
Тип звена
8 Идеальное дифференци-
рующее
9 Дифференцирующее
с замедлением
Частотные характеристики типовых звеньев
№
п/п
Тип звена
1 Безынерционное
2 Апериодическое
1-го порядка
3 Апериодическое
2-го порядка
jV
0
jV
ω = ∞
jV
h
0
h
0
амплитудно-
фазовая
k
ω < 0
k
45°
ω > 0
ω = 1/T
ω < 0
k
0
ω = ∞
ω > 0
Переходная
функция
T
Характеристики
амплитудная
и фазовая
A
0
U
U
ω = 0
U
ω = 0
0
A
k
0
k/T
k
A
Функция веса
ω
0
t
ω
0
t
T
k/T
t
t
2
Таблица П.4.3
Логарифмические
амплитудная
и фазовая
°ψ
ψ
ω
0
°ψ
+90
k
0
ω
–90
°ψ
+180
0
ω
–180
L
ω
–180
–90
0
°ψ
–180
ω
–90
0
°ψ
–180
ω
–90
0
20lgk
0
1/T
L
20lgk
L
–20
20lgk
ψ
ω
ψ
–20дБ/дек
ω
ψ
ω
–40дБ/дек
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]