Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы и элементы теории автоматического регулирования напряжения в тяговом электроснабжении. Учебное пособие
.pdf
Tp1( 1) ,
UI
r
dt
( 1) .
22
12
yx
pp
++
12
pp
++
= +
где
d
— символ дифференцирования во времени;
p
=
I kU+=
Tp
(4.10)
В другой форме запись линейных дифференциальных уравнений
может производиться с помощью передаточной функции
k
I U W pU= =
+
Тр()1
или в общем виде
y = W(p)x, (4.11)
k
где
Wp=
Тр()1
— передаточная функция звена;
+
х и у — обозначение входной и выходной величины
звена.
Для звеньев с дифференциальными уравнениями второго порядка, включающими производные от входной и выходной величин
(4.8), уравнение с использованием передаточной функции принимает вид:
2
TT
( 1) ( ) ,p p y k kp kp x+ +=+ +
1 2 12
++
k kp kp
12
=
или
2
2
ТТ
3
2
3
,
1
(4.12)
или y = W(p)x,
++
k kp kp
где
Wp
12
=
()
ТТ
2
является передаточной функцией звена с уравнением второго порядка.
В общем случае звено системы автоматического регулирования
по i-тому входному воздействию описывается дифференциальным
уравнением:
Q(p)y = R
или в другом виде:
61
2
3
2
(p)xi, (4.14)
i
(4.13)
1
()
i
Rp
y
i
= =
()
x Qp
i
( ),
Wp
i
(4.15)
где xi — i-тое входное воздействие;
Q(p), R(p) — полиномы относительно р;
ó
Wpx=
()
i
— передаточная функция звена для i-того входного
воздействия. (4.16)
Таким образом, передаточная функция звена по i-тому входному воздействию представляет собой отношение выходной величины звена у к i-тому входному воздействию x
, составленное по диффе-
i
ренциальному уравнению звена, записанному в операторной форме.
Пример линеаризации и получение передаточной функции звена с двумя входными воздействиями представлен в приложении П.2.
Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления могут быть описаны уравнениями и графическими характеристиками.
В теории автоматического регулирования применяются два типа
таких характеристик — переходные и частотные.
Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Можно по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Таким образом, переходные и частотные характеристики однозначно связаны
с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена.
Переходная или временная характеристика звена представляет
собой график изменения во времени выходной величины звена, вызванного подачей на его вход ступенчатого сигнала.
Ступенчатый сигнал (единичное ступенчатое воздействие) —
это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы
и далее остается неизменным. На практике этот сигнал соответствует ступенчатому воздействию задающего сигнала х
62
, изменяющегося
з
не только от нуля (рис. 4.4, а), но и от предыдущего уровня к друго-
х
у
му уровню (рис. 4.4, б).
Аналитическое выражение для переходной характеристики — переходная функция — обозначается h(t).
Аналитическое выражение единичного ступенчатого воздействия —
единичная ступенчатая функция — обозначается 1(t) и описывается равенством:
<
0 при 0
=
t
1
( )
1 при 0.
t
(4.17)
t
≥
Таким образом, h(t) — это выражение для у(t) при х(t) = 1(t).
а б
4
h(t)
h(t)
y
1
3
2
4
y
2
y
1
0
x(t) = 1(t)
t
y
y
1
y
2
х
з1
х
з2
0
x(t)
3
2
1
t
Рис. 4.4. Звено, единичное ступенчатое воздействие
и вид переходных характеристик
На рис. 4.4 показаны переходные характеристики, соответствующие
различным типам звеньев: интегрирующего 1, апериодического первого порядка 2, колебательного 3 и апериодического второго порядка 4.
Импульсная переходная (весовая) характеристика представляет
собой реакцию звена на единичный импульс.
Единичный импульс — это импульс, площадь которого равна единице при длительности, равной нулю, и высоте, равной бесконечности. Единичный импульс условно показан в виде утолщения на оси
ординат на рис. 4.5, а. На практике единичный импульс соответствует
сигналу возмущающего воздействия f при его снижении (рис. 4.5, б)
или при повышении (рис. 4.5, в).
63
На рис. 4.5 изображены и типичные формы импульсных переход-
δ=
ных характеристик звеньев: интегрирующего 1, апериодического первого порядка 2, колебательного 3 и апериодического второго порядка 4.
a
y
w(t)
2
3
2
1
x(t) = δ(t)
0
б в
y
w(t)
f
1
f
2
У
уст
1
4
t
y
w(t)
f
2
f
4
3
2
1
t
1
У
уст
3
4
t
2
1
Рис. 4.5. Единичный импульс и вид импульсных переходных
характеристик с пояснениями а, б, в — в тексте
Аналитическое выражение для импульсной переходной характеристики — импульсная переходная функция или весовая функция —
обозначается через w(t).
Выражение для единичного импульса называется единичной импульсной функцией или дельта-функцией и обозначается δ(t).
Таким образом, w(t) — это у(t) при х(t) = δ(t).
Математически дельта-функцию можно записать так:
при 0
∞ =
( )
t
δ =
0 при 0
t
(4.18)
>
t
<
При этом согласно определению
∞
( ) 1.t dt
∫
−∞
(4.19)
64
Дельта-функция просто связана со ступенчатой функцией:
() 1(),tt
′
( ),
′
0
max
max
max
δ=
(4.20)
откуда следует, что связь между весовой и переходной функциями
линейных звеньев имеет вид:
wt h t
=
()
(4.21)
и наоборот
t
() () .
h t w t dt=
∫
(4.22)
Учитывая это простое соотношение между переходной и весовой
функциями, в дальнейшем будем применять главным образом первую из них, имея в виду, что вторую при необходимости всегда можно получить по формуле (4.21).
Частотные характеристики описывают установившиеся колебания
на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.
Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие
sin ,xx t= ω
где х
(0 ≤ ω < ∞).
ствовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные
колебания, но отличающиеся по амплитуде и фазе, т. е.:
— амплитуда, а ω — угловая частота этого воздействия
max
По окончании переходного процесса на выходе звена будут суще-
sin( ),yy t= ω +ϕ
где у
— амплитуда выходных установившихся колебаний;
max
φ — фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.
При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда
и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний ω.
Зависимость отношения амплитуд
y
max
Ax= от частоты ω на-
зывается амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) — А(ω).
Зависимость сдвига фаз выходных и входных установившихся
колебаний от частоты φ(ω) называется фазовой частотной характеристикой.
65
Примерный вид этих характеристик у обычных инерционных зве-
ω
рез
ньев изображен на рис. 4.6.
a
б
Рис. 4.6. Вид амплитудной и фазовой частотных характеристик звена
А
0
φ
0
ω, сек
ω, сек
–1
–1
У таких звеньев в силу их инерционности АЧХ по мере увеличения частоты спадает до нуля (рис. 4.6, а).
Чем менее инерционнее звено, тем длиннее его АЧХ, т. е. тем
больше полоса пропускания звеном частот.
Полоса пропускания оценивается ω, при которой А = 0,05, т. е.
амплитуда выходных колебаний составляет 5 % амплитуды входных
колебаний.
Фазовая характеристика у обычных инерционных звеньев (рис. 4.6, б)
отрицательна (φ < 0), т. е. выходные колебания отстают от входных,
причем это отставание растет с частотой.
Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну характеристику — амплитудно-фазовую частотную
характеристику (АФЧХ), используя А(ω) и φ(ω) в качестве полярных координат.
Каждая точка АФЧХ соответствует определенному значению частоты ω. Имея АФЧХ, можно построить по точкам ω характеристики А(ω) и φ(ω).
66
ω → ∞
ω = ∞
ω2
ω1
ωi
φi
Аi
Ui
Vi
j
()
ii i
ii
ÀA
( ) 20lg .LA
ω = 0
Рис. 4.7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена
АФЧХ можно построить и в прямоугольной системе координат —
в комплексной плоскости. Координатами будут служить проекции U
и V вектора А на соответствующие оси (рис. 4.7).
Зависимости U(ω) и V(ω) называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.
Получение аналитического выражения частотных характеристик
по передаточным функциям звеньев приведено в приложении П.3.
При последовательном соединении звеньев в сложных системах их частотные характеристики Wi(jω) перемножаются, поэтому эквива лентная частотная характеристика Wэ(jω) определяется
перемноже нием амплитуд и сложением фазовых углов:
RR
() () ()exp
Wj Wj A j
ω= ω= ω ϕ ω
э
∏∏
11
ii
= =
∑
i
R
. (4.23)
1
=
Для решения практических задач удобнее операцию перемножения амплитуд заменить операцией сложения их логарифмов:
R
lg lg .
() ()
∏
1
i
=
R
ω= ω
∑
1
i
=
(4.24)
Логарифм АЧХ характеризует степень усиления сигнала и измеряется в децибелах. Каждые 20 дБ соответствуют изменению амплитуды
выходного сигнала в 10 раз. Поэтому с учетом того, что lg10 = 1, при рассмотрении логарифмических характеристик используют соотно шение
ω= ω
()
67
Логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ)
строят в виде зависимости 20lgA(ω) от lg(ω); в этом случае и фазовую φ(ω) характеристику строят в функции lg(ω) и называют ее ло-
гарифмической фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Обычно ЛАЧХ и ЛФЧХ строят относительно одной оси абсцисс
(рис. 4.8), на которой откладывают lgω, например, начиная с 0,1 с
равномерным шагом в декадах, т. е. с изменениями частоты в 10 раз.
а
L, ∂Б
–20
–40
–60
∂Б
40
20
–1
0
0,1
L(ω)
0
1
1
10
2
100
декада
1000
3
lg ω
–1
ω, с
б
0
–45°
–90°
φ
φ(ω)
lg ω
Рис. 4.8. Логарифмические частотные характеристики ЛАЧХ (а)
и ЛФЧХ (б)
Откладывая частоту по оси абсцисс кратно 10n (начиная с 0,1 с-1),
получим равномерную шкалу в де кадах. По оси ординат ЛАЧХ откладывают логарифмы величины L(ω) в децибелах. По оси ординат
ЛФЧХ откладывают значения φ в градусах или радианах. Использование ЛАЧХ при ее линейной аппроксимации упрощает операции
анализа и синтеза систем автоматического регулирования.
68
<∞
0
Scj= +ω
Решение линейных дифференциальных уравнений может быть
упрощено при использовании методов, в основу которых положено преобразование функцией вещественной переменной в функции
комплексной переменной. При этом преобразовываются не только
различные функции воздействий, являющиеся функциями времени,
но и математические действия (например, дифференцирование и интегрирование). Методы функционального преобразования позволяют интегродифференциальные уравнения заменять алгебраическими уравнениями, решение которых значительно проще.
Критерием для преобразуемости какой-либо функции времени,
например х(t), служит ее определенность, непрерывность и однозначность для всей области t ≥ 0, т. е.
х (t) = 0 при t < 0, (4.25)
где t — действительная переменная, и также выполнение неравенства
∞
∫
0
−
[ ( )]ctx t e dt
. (4.26)
Практическое применение нашли методы преобразования Лапласа, Карсона-Хевисайда и Фурье. Последние два метода являются
частными случаями преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа основано на двух следующих формулах:
формуле прямого преобразования Лапласа
∞
[ ( )] ( ) [ ( )]
Lxt X s xt e dt
= =
∫
st
−
(4.27)
и формуле обратного преобразования Лапласа
-1
Здесь L и L
[ ()] () ()
L Xs xt Xseds
-1
— обозначения операций прямого и обратного пре-
= =
1
∫
2
j
π
ñj
−∞
st
. (4.28)
ñj
+∞
образования Лапласа.
В результате прямого преобразования Лапласа функции времени
х(t) получается функция Х(s) комплексной переменной
69
.
Эта функция Х(s) называется изображением Лапласа функции х(t).
= ωω
= +ω
() ().
В свою очередь, х(t) называется оригиналом изображения Х(s).
Минимальная величина С, при которой выполняется неравенство
(4.27), называется абсциссой абсолютной сходимости. В применяемых САР обычно имеются функции, для которых оба условия (4.25)
и (4.26) всегда выполняются. В случае С = 0 переменная S оказывается мнимой величиной, т. е. S = jω и преобразование Лапласа превращается в его частный случай — одностороннее преобразование Фурье, характеризуемое формулами:
∞
−ω
( ) () ;
X j x t e dt
ω=
∫
0
+∞
1
() ( ) .
xt X j e d
∫
2
π
−∞
jt
(4.29)
ω
jt
(4.30)
Если в формуле (4.29) нижний предел сделать — ∞, то получим
так называемое двустороннее преобразование Фурье, которое применимо к функциям, существующим как при t > 0, так и при t < 0.
При этом условием применимости двустороннего преобразования
Фурье является абсолютная интегрируемость функции х(t) в интервале времени от — ∞ до + ∞, т. е. условие
∞
() .x t dt
∫
−∞
(4.31)
<∞
На основе преобразования Лапласа получили преобразование
Карсона и преобразование Хевисайда.
Преобразование Карсона отличается от преобразования Лапласа тем, что в формуле прямого преобразования (4.27) перед интегралом вводится множитель Scj
. Преобразование Хевисайда
представляет частный случай преобразования Карсона, когда начальные условия для функции х (t) и ее производных являются нулевыми.
Достоинство преобразования Карсона — Хевисайда, а также теоремы преобразования Лапласа широко освещены в технической литературе и в данном учебном пособии не приводятся. В табл. 4.1
приведены изображения для наиболее часто встречаемых в теории
регулирования функций времени.
В качестве примера осуществим прямое преобразование Лапласа над уравнением звена с одной входной величиной, записанным
в общем виде согласно формулам (4.12) и (4.14):
Qpy Rpx=
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]