Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы и элементы теории автоматического регулирования напряжения в тяговом электроснабжении. Учебное пособие
.pdf
вызван изменением внешних воздействий либо изменением параметров САР, либо совместным. Под параметрами понимаются такие
данные устройства регулирования УР и объекта регулирования ОР,
как передаточные числа, коэффициенты усиления, постоянные времени, коэффициенты усиления, коэффициенты трансформации, емкости, индуктивности и сопротивление электрических цепей и т. д.
Возмущения, действующие на систему регулирования, обычно представляют собой непрерывные функции времени, закон изменения которых трудно предугадать. В системах программного регулирования
и в следящих системах, кроме того, изменяется во времени и задающее воздействие хз (раздел 3.1). Поэтому основным режимом работы
любой САР является неустановившийся — переходный режим. Таким образом, при исследовании систем автоматического регулирования следует рассматривать поведение САР как в установившихся, так
и в переходных режимах. Очевидно, что поведение САР как в установившихся, так и в переходных режимах зависит от того, каким образом
изменяются во времени внешние воздействия, приложенные к системе.
Внешним воздействиям соответствуют, например, в процессе перенастройки системы автоматической стабилизации изменение задающего значения хз регулируемой величины на новое значение хз (изменение хз); в системах автоматического регулирования напряжения
мгновенное подключение или отключение группы потребителей или
изменение числа тяговых двигателей электровоза, при изменении их
группы соединений с последовательного на последовательно-параллельное и на параллельное (изменение возмущения f).
Каким бы ни было внешнее воздействие, оно всегда вызывает
в САР переходный процесс. Если этот процесс затухает, то после его
окончания система приходит в установившееся состояние. Отклонение регулируемой величины U после установления в САР установившегося состояния от требуемого задающим воздействием значение
хз определяет точность регулирования и характеризуется погрешно-
стью системы в установившихся режимах.
Устойчивость — это свойство системы возвращаться в установившееся состояние после того, как она была выведена из этого состояния каким-либо возмущением. Системы регулирования, работающие по отклонению (замкнутые САР), вследствие самого принципа
их действия, весьма склонны к потере устойчивости, что проявляется в возникновении расходящихся колебаний. При неудовлетворительном выборе структуры или параметров регулирующего устройства Р (регулятора) обратная связь (рис. 3.5) может превратиться из
средства подавления колебаний и уменьшения ошибки (повышение
51
точности регулирования) в средство генерации колебаний и увеличения ошибки.
Для удовлетворительной работы САР прежде всего необходимо,
чтобы возникающие при внешних воздействиях начальные отклонения регулируемой величины У от требуемого закона ее регулирования с течением времени стремились к нулю. Системы регулирования,
обладающие этим свойством, называются устойчивыми системами.
В устойчивых системах переходные процессы с течением времени затухают (пример протекания процесса показан на рис. 3.10). Неустойчивые системы характеризуются расходящимся переходным процессом и для практического применения непригодны.
Таким образом, любая САР прежде всего должна быть исследована на устойчивость, а при создании САР ее устойчивость должна быть
обеспечена с некоторым запасом, предусматривающим возможность
изменения параметров регулятора системы в процессе ее эксплуатации.
Выполнение требований по устойчивости гарантирует лишь факт
затухания переходных процессов, а время затухания и форма переходных процессов не контролируются и при этом могут быть любыми.
Поэтому устойчивость САР является необходимым, но не достаточным условием для практической пригодности САР. Кроме устойчивости САР должна обладать требуемым качеством, характеризующим
ее поведение в неустановившихся режимах. Оценка качества САР
ведется по так называемым критериям, или показателям, качества.
Все критерии качества можно разделить на три группы: критерии
точности, запаса устойчивости и быстродействия.
Критерии точности используются для оценки величины ошибки,
возникающих в установившихся режимах.
Критериями запаса устойчивости служат величина перерегулирования, число колебаний и время затухания переходного процесса. Время затухания переходного процесса также определяет критерий быстродействия системы регулирования.
Исследование устойчивости и качества САР должно производиться
одновременно и согласованно. Во многих случаях мероприятия, направленные на уменьшение установившейся ошибки САР (критерия точности), приводят к ухудшению динамических свойств САР, и наоборот.
Из сказанного выше следует, что основными проблемами теории
автоматического регулирования являются: проблема точности работы САР в установившихся режимах, проблема устойчивости и проблема качества.
Изучение этих проблем и на основе этого решение двух задач —
анализа и синтеза САР — является важнейшей задачей теории авто-
52
матического регулирования. При анализе производится исследование действующей САР с целью определения ее свойств и путей их
улучшения. При синтезе задаются свойства, которыми должна обладать система, т. е. требования к ней, и необходимо создать систему, удовлетворяющую этим требованиям.
Очевидно, что задача синтеза (создания) систем автоматического регулирования является наиболее сложной задачей из-за ее неоднозначности решений. В общем случае ее решение содержит следующие этапы:
1. Изучение объекта регулирования (назначение; устройство; условия его работы; основные возмущения, вызывающие изменение выходной величины).
2. Формулировка основных требований, предъявляемых к САР,
по обеспечению характеристик выходной регулируемой величины.
3. Выбор принципа регулирования и первоначальной схемы регулятора.
4. Выбор элементов регулятора с учетом следующих требований:
расчет их мощности по надежности и условий эксплуатации;
обеспечение статических и динамических свойств системы.
5. Изготовление физической модели САР.
6. Экспериментальное исследование САР и отдельных ее частей
в лабораторных условиях и внесение коррективов.
7. Изготовление и монтаж опытного образца САР.
8. Наладка САР в эксплуатационных условиях с проверкой точности в установившихся режимах, устойчивости и качества
в неустановившихся режимах.
9. По результатам эксплуатационных исследований внесение
(если потребуется) коррективов в первоначальную схему регулятора.
10. После доработки схемы регулятора проведение операций
по этапу 8.
11. Опытная эксплуатация САР в течение установленного техническими условиями периода времени.
12. Запуск оборудования САР в серийное производство.
Таким образом, при проектировании САР могут использоваться
как теоретические, так и экспериментальные методы исследования.
Применение теоретических методов анализа и синтеза требует предварительного математического описания САР. Систему уравнений,
описывающих работу системы регулирования, можно назвать математической моделью САР.
53
В главе 3 (рис. 3.6, б) было показано, что система автоматического
регулирования представляет совокупность отдельных связанных между собой элементов автоматики (измерительных промежуточных и исполнительных), взаимодействующих друг с другом и с объектом регулирования. Разбиение системы регулирования на элементы позволяет
определить функциональную зависимость (понятие функциональной
схемы автоматической системы) при рассмотрении принципа действия и аппаратурного состава системы.
Для количественного и качественного исследования процессов,
происходящих при автоматическом регулировании, необходимы
уравнения, описывающие работу элементов системы и в целом всей
системы автоматического регулирования. Учитывая сложности современных САР и что уравнения многих современных элементов автоматики достаточно громоздки, расчленение САР на элементы автоматики вносит значительные затруднения для математического
описания работы системы автоматического регулирования. Кроме
того, различные элементы автоматики описываются однотипными
уравнениями.
Для математического описания работы САР необходимо разбивать систему не на элементы автоматики, а на динамические звенья.
Динамическим звеном называется часть системы регулирования,
описываемая дифференциальным (или иным) уравнением определенного вида, т. е. под это определение подходит любой элемент
автоматики, совокупность таких элементов и даже вся система ав-
54
томатического регулирования в целом. Отличие звена от элемента автоматики заключается в том, что динамическое звено не обязательно
является конструктивно или схемно представленным устройством.
В отдельных случаях динамические звенья могут вообще не иметь
физического смысла, имея лишь математические зависимости между некоторыми величинами автоматической системы. Например, для
электрических звеньев такими величинами являются напряжения,
токи и их производные; для механических — перемещения, скорости, ускорения и т. д.
Для характеристики звена (рис. 4.1, а) вводится понятие входной
и выходной величины. В дальнейшем входную величину обозначим
через х, а выходную — у, принимая, что в общем случае обе эти величины представляют собой функции времени.
Многие звенья автоматических устройств обладают свойством
направленного действия (однонаправленности), т. е. передают воздействие только в одном направлении — от входа к выходу. Свойство
однонаправленности присуще «активным» элементам, осуществляющим усиление входного сигнала по мощности. «Пассивные» элементы (рычаг, редуктор, пассивные электрические цепи и др.) свойством направленного действия не обладают.
Кроме входной величины, на выходную величину могут оказывать
возмущающие воздействия f – одно, показанное на рис. 4.1, а, или
несколько. Например, в системе (рис. 3.9) на регулируемое напряжение генератора оказывают влияния ток обмотки возбуждения ОВ,
скорость вращения двигателя Д и ток нагрузки Н.
Зависимость выходной величины звена от входной в установившемся режиме называется статической характеристикой звена, которая изображается графически в плоскости координат х, у, и может быть
получена расчетным или экспериментальным путем. На рис. 4.1, б
представлена статическая характеристика звена с установившимися несколькими значениями одной выходной величины уi при воздействии на звено соответствующих значений входной величины хi.
В том случае, если выходная величина, кроме входной величины,
зависит еще и от величины f, тогда звено характеризуется семейством статических характеристик, построенных при различных постоянных значений f = f о (рис. 4.1, в).
Статическая характеристика (или семейство статических характеристик) полностью характеризует поведение динамического звена в установившихся режимах. Ранее отмечалось (см. раздел 3.5), что системы
САР работают в установившихся и неустановившихся (переходном
55
или динамическом) режимах. Поэтому важной задачей является изучение поведения динамических звеньев в переходных режимах.
а
f
х
б
y°
в
Звено
У
i
х
°
i
У
°
f
0
°
f
1
°
f
2
Рис. 4.1. Статические характеристики звеньев:
а, б — построение статической характеристики по экспериментальным
данным; в — семейство статических характеристик для различных
значений величины f
у
х
°
f
3
°
f
4
х
В большинстве случаев рассмотрение переходных режимов динамических звеньев приводит к дифференциальным уравнениям того
иного вида. В результате физическая задача определения выходной
величины звена у при изменяющемся во времени входном сигнале
х сводится к математической задаче отыскания решения дифференциального уравнения, описывающего работу звена.
Дифференциальные уравнения звеньев автоматики разнообразны. Для звеньев непрерывного действия со сосредоточенными параметрами общее уравнение имеет следующий вид (обозначения соответствуют рис. 4.1, а):
56
• ••
-1 -1 -1
( )
( )
(0,0 0 0, 0 0 0,0 0 ) 0,Fy x f
nn mm q q
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , , ,, , , ,, , , , ) 0,
F y y yyx x xx f f f f= ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ =
(4.1)
где n, m, q — натуральные числа, определяющие наивысший порядок
входящих в уравнение производных от выходной величины звена у
и внешних воздействий х и f.
На практике в большинстве случаев m < n и q < n. Число n называ-
ется порядком дифференциального уравнения (4.1). При n = 1 имеет дифференциальное уравнение первого порядка
, , , 0,F yyx f =
(4.2)
при n = 2 второго порядка
, , , , 0F yy yx f= =
. (4.3)
Неизвестной функцией в уравнении (4.1) является выходная величина у. Для решения уравнения (4.1) должны быть заданы величины
х и f как функции времени и начальные условия. Уравнение статической характеристики представляет частный случай дифференциального уравнения (4.1). Приняв в уравнении (4.1) х = пост., f = пост.
, получим уравнение
и у
пост
, , , , , , , ,
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ =
(4.4)
определяющее статическую характеристику в неявном виде.
Если не ограничивать диапазон входных воздействий, то все реальные САР оказываются нелинейными.
Чтобы система была нелинейной, достаточно иметь в ее составе
хотя бы одно нелинейное звено, т. е. звено, описываемое нелинейным уравнением. Например, причинами нелинейности САР напряжения, изображенной на рис. 3.8, 3.9, 3.11, могут быть насыщение
генератора, делающее нелинейной зависимость напряжения генератора от i
жения, нелинейная зависимость выходной величины от входной
у какой-либо части регулятора.
, нелинейная зависимость величины нагрузки от напря-
в
57
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь.
Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического регулирования, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.
К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим.
Нет и общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на
основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных
систем автоматического регулирования. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных уравнений
невысокого порядка. Главное упрощение — это линеаризация звеньев, т. е. описание их линейными дифференциальными уравнениями. Рассмотрим звено (рис. 4.2, а), описываемое нелинейной статистической зависимостью у = f(x).
Установившийся режим звена соответствует значениям входной
и выходной величинам х0, у0 уравнения
y0 = f(x0), (4.5)
при этом отклонения х от х
а
y
φ
у
0
0
х
0
Рис. 4.2. Линеаризация звеньев:
а — пояснение геометрического смысла линеаризации;
б — нелинейная характеристика звена со значительным
изменением входного сигнала
в процессе работы достаточно малы.
0
б
у
0
х
1
х
2
х
58
х
Линеаризация нелинейного дифференциального уравнения звена
00
00 0
00
00
()() () ()
3! !
n
0 00
=+−
0
000
0
может быть произведена графическим или аналитическим методом.
Графический метод может быть осуществлен:
— заменой нелинейной характеристики линейной функцией
у = в + ах;
— проведением секущей для нелинейной характеристики со значительным изменением входного сигнала от минус х1 до плюс х2.
Аналитический метод связан с разложением в ряд Тейлора нелинейной функции f = y = f(x) в окрестности точки, соответствующей
установившемуся состоянию у0, х0.
Для линеаризации нелинейной характеристики звена (рис. 4.2, а)
используем аналитический метод.
Для функции f (х) (с использованием ряда Тейлора с расположением по степеням (x – x0) степенной ряд имеет вид:
′ ′′
() ()
−= + −+ − +
fxx fx xx xx
0
′′′
() ()
fx fx
+ − +⋅⋅⋅+ − +⋅⋅⋅
fx fx
1! 2!
() ()
3
xx xx
n
2
n
После разложения нелинейной зависимости y = f(x) в ряд Тейлора в окрестностях точки установившегося режима, отбросив члены
ряда выше первого порядка малости, получим
∂
f
где
′
()
fx
=
0
— значение производной функции f(х) по х при
x
∂
() ()( )y fx f x x x
′
подстановке в выражение этой производной x = x0.
Вычтя из уравнения (4.6) уравнение (4.5), получим уравнение звена в отклонениях (вариациях):
′
−= − или
( )( )y y fx x x
y kx∆=∆, (4.7)
∂
f
где
′
= =
()
k fx
0
— постоянный коэффициент уравнения звена
x
∂
в установившемся режиме.
Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию, показанную на рис. 4.2, а, — замена нелинейной характеристики касательной к ней в точке установившегося режима со значением
k = tgα.
59
, (4.6)
Такая линеаризация звеньев применима только для малых от-
(, , , , , ) 0
′ ′′ ′ ′′
I
dt
r r dt
клонений и для звеньев с непрерывно дифференцируемыми нелинейностями.
Существенные нелинейные функции в ряд Тейлора не разлагаются.
Также возможно разложение в ряд Тейлора общего случая, когда звено описывается нелинейным уравнением, включающим производные по времени от входной и выходной величин:
f xx x yy y
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ =
(4.8)
и в этой главе не приводится.
Для исследования переходных процессов (динамических свойств)
систем автоматического управления (регулирования) необходимо
знание дифференциальных уравнений звеньев (элементов), ее составляющих.
Дифференциальное уравнение первого порядка для простейшего звена — индуктивной катушки (рис. 4.3)
U
Рис. 4.3. Схема индуктивной катушки
r, L
представлено формулой
Проведя преобразование
dI
U L rI
= + (4.9)
U L dI
= +
60
.
;
I
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]