Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий студенческих олимпиад по направлению «Ядерные физика и технологии». Учебное пособие
.pdf
Для простоты расчета можно считать, что при прохож-
дении теплоносителя через конденсатор его температура
уменьшается линейно от 950 до 600 К, и температура теп-
лоотдающей поверхности конденсатора равна средней тем-
пературе:
𝑇ср= (𝑇
+ 𝑇вх)/2 = (950 + 600)/2 = 775
вых
К.
Тепловой поток с поверхности конденсатора можно
определить, зная среднюю температуру поверхности кон-
денсатора:
𝑞пк= 𝜎 · 𝜀 · 𝑇
ср
4
,
𝑞пк= 5.67 · 10−8· 0.83 · 7754= 1.7 · 104Вт/м2.
Зная тепловой поток с поверхности конденсатора, мож-
но определить его площадь по формуле:
5
= 33.7
4
м2.
9.10.
𝑄
𝑆 =
𝑞
аз
пк
5.72 · 10
=
1.7 · 10
Измерения активности препарата, содержащего один
радиоактивный элемент, дали зависимость от времени
𝐴(𝑡)
, приведенную в табл. 9.2. Определите период полу-
распада элемента
парата
𝐴0.
𝑇
и первоначальную активность пре-
1/2
Таблица 9.2. Данные для решения задачи 9.10
𝑡
, ч
𝐴
, Бк
∆𝐴
1 8103 1621
3 2697 809
5 330 132
8 74 37
61
, Бк
Примечание.
Во взвешенном методе наименьших
квадратов критерий близости линейной функции
к опытным данным
(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
имеет вид:
𝑦 = 𝑎+𝑏𝑥
𝑓(𝑎, 𝑏) =
𝑛
(𝑎 + 𝑏𝑥𝑖− 𝑦𝑖)
𝑖=1
∆𝑦
2
2
𝑖
.
Оценки параметров𝑎и𝑏линейной зависимости нахо-
дят из условия минимума
𝑆𝑦· 𝑆𝑥− 𝑆 · 𝑆
𝑏 =
2
𝑆
𝑥
− 𝑆 · 𝑆
𝑥𝑥
𝑓(𝑎, 𝑏)
𝑥𝑦
,
:
𝑆𝑥· 𝑆𝑥𝑦− 𝑆𝑦· 𝑆
𝑎 =
2
𝑆
𝑥
− 𝑆 · 𝑆
𝑥𝑥
𝑥𝑥
,
где
𝑆 =
𝑛
𝑖=1
1
∆𝑦
𝑆𝑥𝑥=
, 𝑆𝑥=
2
𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑥
∆𝑦
2
𝑖
𝑖
𝑛
𝑥
∆𝑦
𝑖=1
, 𝑆𝑥𝑦=
2
𝑖
, 𝑆𝑦=
2
𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑦
𝑖
2
∆𝑦
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑦
𝑖
.
2
∆𝑦
𝑖
𝑖
Решение
Проведем замену переменных:
𝑦 = ln 𝐴 = ln 𝐴0− 𝜆𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑥
;
,
𝑥 = 𝑡
;
𝑏 = −𝜆
;
𝑎 = ln 𝐴0.
С помощью формулы переноса погрешностей рассчита-
ем∆𝑦:
∆𝑦 = ∆(ln 𝐴) = ∆𝐴/𝐴
.
62
Таблица 9.3. Суммы для решения задачи 9.10
𝑥 𝑦 ∆𝑦 𝑆𝑥[𝑖] 𝑆𝑦[𝑖] 𝑆𝑥𝑦[𝑖] 𝑆[𝑖] 𝑆𝑥𝑥[𝑖]
1 9 0.2 25 225 225 25 25
3 7.9 0.3 33.33 87.8 263.33 11.11 100
5 5.8 0.4 31.25 36.25 181.25 6.25 156.25
8 4.3 0.5 32 17.2 137.6 4 256
Суммы: 121.58 366.25 807.18 46.36 537.25
Рассчитаем все необходимые суммы (табл. 9.3).
Найдем по приведенным в примечании формулам
𝑏 = −𝜆 = −0.702
ч−1,
𝑎 = 9.74
Период полураспада равен:
𝑇
= ln 2/𝜆 = 0.99
1/2
ч.
Первоначальная активность препарата
𝐴0= 𝑒𝑎= 17 · 103Бк.
.
𝐴0равна:
63
10. Теоретический тур
«Я – профессионал», 2021
(магистратура, специалитет)
10.1.
чимых количествах всего два изотопа –
жание
Рассчитайте содержание
В настоящее время природный уран содержит в зна-
235
U составляет всего
238
𝑥 = 0.714
235
U в природном уране при обра-
весовых процента.
U и
235
U. Содер-
зовании Земли. Считается, что возраст Земли составляет
𝑡 = 5
млрд лет. Необходимые для решения задачи данные
взять из базы JANIS.
Решение
Информация из базы JANIS: период полураспада
𝑇5= 704
млн лет, период полураспада
238
U
𝑇8= 4.468
235
U
млрд
лет.
Запишем закон радиоактивного распада для изотопов
235
где
ответственно,
соответственно,
238
238
U и
U:
𝑁5= 𝑁
𝑁5и
𝑁8– число нераспавшихся ядер
5
𝑁
и
0
𝜆5и
U соответственно.
5
−𝜆5𝑡
𝑒
,
0
8
𝑁
– начальное число ядер
0
𝑁8= 𝑁
8
−𝜆8𝑡
𝑒
0
,
235
U и
𝜆8– постоянные распада ядер
235
238
U и
U со-
238
235
U и
U
Выразим начальное число ядер, приняв во внимание
возраст Земли:
𝑁
5
= 𝑁5𝑒
0
𝜆5𝑡
8
,
𝑁
= 𝑁8𝑒
0
𝜆8𝑡
.
В таком случае обогащение урана по изотопу
образовании Земли можно представить в виде
64
235
U при
𝑥0=
𝑁
5
0
𝑁
+ 𝑁
5
0
8
0
=
1 +
1
=
8
𝑁
0
1 +
5
𝑁
0
𝑁
𝑁
1
8
𝑒
5
.
𝜆8𝑡−𝜆5𝑡
Отношение
𝑁8/𝑁5можно определить из обогащения
урана в настоящий момент:
5
𝑥 =
𝑁
𝑁5+ 𝑁
=
8
1
1 + 𝑁8/𝑁
Подставив полученное выражение для
ражение для обогащения
𝜆 = ln 2/𝑇
, получаем окончательное выражение:
1/2
𝑥0=
1 +
𝑥0и приняв во внимание
1
1
− 1𝑒
𝑡 ln 2/𝑇8−𝑡 ln 2/𝑇
8
𝑁
;
5
𝑁
1
=
5
− 1.
𝑥
𝑁8/𝑁5в вы-
.
5
𝑥
Подставив численные значения, получаем ответ:
𝑥0=
1
1 +
1
− 1𝑒
.
5 ln 2/4.468−5ln 2/0.704
0.00714
10.2.
𝑥0= 0.31
Под землей в достаточно плотной породе было вы-
или 31 %.
копано прямоугольное помещение высотой 3 м, шириной
2.5 м и длиной 4 м. Помещение тщательно проветрили
и герметично закрыли (кирпичами из той же породы) на
очень длительный срок. Измерения, проведенные затем в
помещении, показали удельную активность, создаваемую
222
Rn, равную 120 Бк/м3. Зная, что этот газ производится
в цепочке последовательных распадов
238
U, и что макси-
мальная глубина породы, с которой газ еще может выхо-
дить, равна 2.5 см, оцените концентрацию ядер
238
U в по-
роде (в 1/м3). Необходимые для решения задачи данные
взять из базы JANIS.
65
Решение
Информация из базы JANIS: период полураспада
𝑇8= 4.468
Период полураспада
млрд лет.
238
U значительно больше перио-
238
U
дов полураспада его дочерних элементов. Следовательно,
после длительного срока наступает равновесие, и можно
воспользоваться соответствующей формулой для соотно-
шения числа ядер (1 – уран, 2 – радон):
1
𝑁
𝑁
𝑇
1/2
1
=
2
.
2
𝑇
1/2
При этом уменьшением числа ядер
238
U за счет распада
можно пренебречь.
Удельную активность, создаваемую
222
Rn, можно рас-
считать по следующей формуле:
2
𝐴
𝑎 =
где
ℎ
– его высота,𝑙– длина,𝑠– ширина.
=
𝑉
𝑉
𝜆2– постоянная распада радона,𝑉– объем помещения,
𝜆2𝑁
ln 2
2
=
2
𝑇
1/2
Число ядер урана
𝑁1𝑇
1/2
·
𝑉
1
𝑇
1/2
ln 2 · 𝑁
=
𝑉 𝑇
1
1/2
1
ln 2 · 𝑁
=
ℎ𝑙𝑠𝑇
1
1/2
𝑁1связано с концентрацией𝑛следу-
ющей формулой:
ln 2
1
1/2
ℎ · 𝑙 · 𝑠 · 𝑇
𝑁1= 𝑛𝑉
𝑑
– максимальная глубина породы, с которой газ еще мо-
породы
= 𝑛 · 2 · (ℎ𝑙 + ℎ𝑠 + 𝑠𝑙)𝑑 =
жет выходить. И тогда:
1
𝑎 · 𝑇
𝑛 =
1/2
· ℎ · 𝑙 · 𝑠
,
ln 2 · 2 · (ℎ𝑙 + ℎ𝑠 + 𝑠𝑙)𝑑
· 𝑎
1
,
,
66
120 · 4.47 · 109· 365 · 24 · 3600 · 3 · 4 · 2.5
𝑛 =
ln 2 · 2 · (3 · 2.5 + 3 · 4 + 2.5 · 4)0.025
= 4.96 · 1020м−3= 4.96 · 1014см−3.
=
10.3.
Определите, при какой высоте цилиндрического со-
суда диаметром 1 м, внутрь которого помещена жид-
кая соль с делящимися материалами, достигается критич-
ность. Коэффициент размножения бесконечной среды из
данной соли в одногрупповом диффузионном приближе-
нии 1.018. Длина диффузии тепловых нейтронов в данном
растворе 1.4 см. Значение первого корня функции Бесселя
нулевого порядка
𝛼 = 2.4048
.
Решение
Материальный параметр для цилиндрической геомет-
рии:
κ2=
𝑅
2
𝛼
+
𝐻
2
𝜋
.
Из условия критичности следует:
𝐾
𝐾 =
∞
1 + κ2𝐿
2
= 1.
Откуда
𝐻 =
𝐾∞− 1
𝜋
𝛼
𝑅
.
2
−
2
𝐿
Подставляя численные значения, получаем ответ:
𝐻 =
1.018 − 1
(1.4 · 10−2м
𝜋
2.4048
−
2
)
0.5
= 0.34
2
м
м.
67
10.4.
Критическая сборка, содержащая 170 кг металличе-
ского урана, вырабатывает 150 Вт тепловой энергии. Экс-
периментально определили, что средняя плотность потока
тепловых нейтронов в сборке равна
6·1081/(с·см2). Рассчи-
тайте массовое обогащение содержащегося в сборке ура-
на по изотопу 235. Ответ дать в процентах с точностью
до сотых. Необходимые для расчета данные при энергии
0.0253 эВ взять из базы данных JANIS.
Решение
Вырабатываемая критической сборкой мощность𝑃бу-
дет равна:
𝑃 = 𝐸
,
𝑑𝑡
𝑑𝑁
где𝐸– энергия, выделяющаяся на одно деление,
𝑑𝑁/𝑑𝑡
число делений тяжелых ядер в секунду.
С учетом средней плотности потока тепловых нейтро-
нов𝛷в единицу времени будет захватываться следующее
число нейтронов с последующим распадом ядра:
𝑑𝑁
= 𝛷 (𝜎𝑓(
𝑑𝑡
где
𝜎𝑓– микроскопическое сечение деления и
235
U
) · 𝑁
235
+ 𝜎𝑓(
U
238
U
) · 𝑁
238
) ,
U
𝑁
– число
ядер соответствующего изотопа.
Из базы JANIS находим:
238
𝜎𝑓(
U
) = 1.85 · 10−5барн (т.е. захватом нейтронов с по-
следующим распадом ядра для
235
𝜎𝑓(
U
) = 586.74
238
U можно пренебречь).
барн,
Следовательно,
𝑑𝑁
𝑑𝑡
=
𝑃
, 𝛷 =
𝐸
𝐸 · 𝜎𝑓(
235
𝑃
U
) · 𝑁
235
.
U
–
68
Число ядер
𝑚
235
где
U
235
– масса
U:
235
𝑁
U,
235
U
𝑀
235
=
235
𝑚
U
· 𝑁
𝐴
U
235
𝑀
U
– молярная масса
,
число Авогадро.
Обозначим𝑥массовое обогащение по изотопу
𝑚
235
= 𝑥 · 𝑚U. Итоговое выражение для массового
U
гда
обогащения:
235
𝑥 =
𝑃 · 𝑀
𝐸 · 𝛷 · 𝜎𝑓(
235
U
U
) · 𝑚U· 𝑁
.
𝐴
Подставляя численные значения, получаем ответ:
𝑥 =
200 · 106эВ
· 235г/
· 1.6 · 10
−19
моль
Кл
· 6 · 10
8
с·cм
150
Вт
1
×
586.7 · 10
−24см2
𝑥 = 0.031
· 170 · 103г
или
· 6.02 · 10
𝑥 = 3.1
%.
23
1
моль
235
U,
235
×
1
2
= 0.031
𝑁𝐴–
U. То-
.
10.5.
Вычислите длину свободного пробега нейтронов при
энергии 0.0253 эВ в легкой воде с примесью 10 массовых
процентов тяжелой воды при плотности смеси 1.01 г/см3.
Необходимые для расчета данные взять из базы данных
JANIS.
Решение
Молярная масса смеси:
𝑀
смеси
𝑀
= 0.9 · 18
смеси
= 0.9 · 𝑀
г/моль
+ 0.1 · 𝑀
H2O
+ 0.1 · 20
г/моль
D2O
= 18.2
,
г/моль
.
69
Концентрация молекул воды:
𝑛
воды
𝜌
=
смеси
𝑀
· 𝑁
смеси
𝐴
=
1.01г/
см3· 6.02 · 10231/моль
18.2
г/моль
= 3.34 · 10221/см3.
Доли изотопов водорода:
𝑥H= 0.9,𝑥D= 0.1
.
Концентрация ядер водорода, дейтерия и кислорода:
𝑛H= 2 · 𝑥H· 𝑛
𝑛D= 2 · 𝑥D· 𝑛
= 2 · 0.9 · 3.34 · 1022= 6.01 · 10221/см3,
воды
= 2 · 0.1 · 3.34 · 1022= 6.68 · 10211/см3,
воды
𝑛O= 𝑛
воды
.
Микроскопические сечения взаимодействия из базы
данных JANIS:
𝜎Н= 30.41
барн;
𝜎D= 4.24
барн;
𝜎O= 3.91
барн.
Макроскопическое сечение
𝛴
= 𝜎Н· 𝑛Н+ 𝜎D· 𝑛D+ 𝜎O· 𝑛O,
tot
𝛴
= (30.41 · 6.01 + 4.24 · 0.668 + 3.91 · 3.34)×
tot
−24см2
×10
· 1022см−3= 1.99
см−1.
=
Длина свободного пробега тепловых нейтронов
𝜆 = 1/𝛴
10.6.
В магнитное поле в вакууме, равное 0.045 Тл, пер-
пендикулярно его направлению влетает мюон
ческой энергией
𝑇 = 400
= 1/1.99
tot
см−1= 0.5
см.
𝜇−с кинети-
МэВ. Оцените, сколько кругов в
среднем он сделает до распада. Потерями энергии мюона
пренебречь.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]