Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий студенческих олимпиад по направлению «Ядерные физика и технологии». Учебное пособие
.pdf
8. Теоретический тур
«Я – профессионал», 2020
(бакалавриат)
8.1.
Свежеприготовленный препарат содержит 5 мг
изотопа24Na и 20 мг56Mn. Чему будет равна удельная
активность этого препарата (в Бк/г) через 7 ч?
Решение
Запишем зависимость активности от времени для каж-
дого изотопа по отдельности:
−𝑡/𝑇
𝐴1= 𝐴102
𝐴2= 𝐴202
1/2_1
−𝑡/𝑇
1/2_2
5 · 10−3г
= 𝜆1𝑁102
= 𝜆2𝑁202
· 6.02 · 10231/моль
𝐴1=
24
г/моль
· 14.99 · 3600
= 1.17 · 1015Бк,
20 · 10−3г
· 6.02 · 10231/моль
𝐴2=
56
г/моль
= 2.45 · 1015Бк.
Общая удельная активность
𝐴1+ 𝐴
𝑎 =
𝑚1+ 𝑚
(1.17 + 2.45) · 1015Бк
2
=
2
(5 + 20) · 10−3г
Общая формула для расчета:
𝑁𝐴ln 2
𝑚12
𝑎 =
𝑚1+ 𝑚
𝜇1𝑇
2
−𝑡/𝑇
1/2_1
=
−𝑡/𝑇
1/2_2
=
· 2.58 · 3600
−𝑡/𝑇
1/2_1
+
1/2_1
𝑚1𝑁𝐴ln 2
𝜇1𝑇
1/2_1
𝑚2𝑁𝐴ln 2
𝜇2𝑇
1/2_2
ln 2
2
2
2
−7/14.99
−𝑡/𝑇
−𝑡/𝑇
=
c
ln 2
−7/2.58
2
=
c
= 1.45 · 1017Бк/г.
1/2_2
𝑚22
−𝑡/𝑇
.
𝜇2𝑇
1/2_2
1/2_1
1/2_2
,
.
41
8.2.
Найдите отношение энергий, выделяемых в реакциях
𝑝 + 𝑒−→H,
𝑝 + 𝑛 →D.
Для расчетов второй реакции воспользуйтесь данными
табл. П.1.6 приложения.
Решение
Для оценки энергии, выделяемой в первой реакции,
воспользуемся формулой из теории Бора (формулой кван-
тования энергии электрона в атоме водорода):
Учитывая, что
𝑄1= 13.6
эВ.
𝐸𝑛= −
4
𝑍2𝑚𝑒
2(4𝜋𝜀0)2~2𝑛
= −13.6
2
𝑍 = 1,𝑛1= 1и𝑛2= ∞
𝑍
2
эВ.
2
𝑛
, получаем
Для второй реакции воспользуемся данными из прило-
жения:
𝑄2= 𝑚(
1
H
)𝑐2+ 𝑚𝑛𝑐2− 𝑚(
1
𝑄2= (1.008665 + 1.007825 − 2.014102) · 931.5 = 2.22
2
D
)𝑐2.
1
МэВ
.
Находим отношение:
𝑄
𝑄
8.3.
Радиоактивный элемент56Mn с момента времени
𝑡 = 0
образуется с постоянной скоростью
2.22 · 106эВ
2
=
1
13.6
эВ
= 1.6 · 105,
𝑄
1
= 0.63 · 10−5.
𝑄
2
𝑞 = 105ядер
в секунду. В начальный момент времени число ядер
56
Mn было равно
56
Mn через 5 ч. Для расчетов воспользуйтесь данными
𝑁0= 1.5 · 1010. Определите число ядер
табл. П.1.6 приложения.
42
Решение
Запишем изменение числа ядер
𝑑𝑁
за время𝑑𝑡за счет
процесса образования и за счет процесса распада:
𝑑𝑁 = 𝑞𝑑𝑡 − 𝜆𝑁𝑑𝑡 = (𝑞 − 𝜆𝑁 )𝑑𝑡
.
Решим это уравнение с учетом начальных условий:
𝑁
𝑞 − 𝜆𝑁
𝑁
0
1
−
ln(𝑞 − 𝜆𝑁 )|
𝜆
𝑑𝑁
=
𝑡
𝑑𝑡
;
0
𝑁
𝑁
0
= 𝑡|
𝑡
;
0
(𝑞 − 𝜆𝑁 )
ln
= −𝜆𝑡
;
(𝑞 − 𝜆𝑁0)
(𝑞 − 𝜆𝑁 )
= 𝑒
−𝜆𝑡
;
(𝑞 − 𝜆𝑁0)
𝑁 =
𝜆𝑁 = 𝑞 − (𝑞 − 𝜆𝑁0)𝑒
𝑞
𝑞
−
𝜆
𝜆
𝑞𝑇
=
− 𝑁
1/2
0
1 − 2
𝑒
−𝜆𝑡
−𝑡/𝑇
𝑞
=
𝜆
1/2
1 − 𝑒
+ 𝑁02
−𝜆𝑡
−𝜆𝑡
;
−𝑡/𝑇
+ 𝑁0𝑒
1/2
.
−𝜆𝑡
=
ln 2
Подставим численные значения:
105c−1· 2.58 · 3600
𝑁 =
c
1 − 2
−5/2.58
+
ln 2
+1.5 · 1010· 2
8.4.
Вычислите длину свободного пробега тепловых ней-
−5/2.58
= 4.9 · 109.
тронов в тяжелой воде с примесью 1 массового процента
легкой воды при плотности 1.1 кг/см3. Для расчетов вос-
пользуйтесь данными таблицы П.1.7.
43
Решение
Доли изотопов водорода:
𝑥
Молярная плотность смеси
1
= 0.01,𝑥
H
2
H
= 0.99
.
𝑀
воды
= 2 · (𝑥
1
H
· 1 + 𝑥
2
· 2) + 16 = 19.98
H
г/моль.
Концентрация молекул воды
−1
𝑛
воды
=
𝜌 · 𝑁
𝑀
воды
1.1
𝐴
=
г/см3· 6.02 · 1023моль
19.98
г/моль
= 3.31 · 1022см−3.
Концентрация ядер водорода и кислорода:
𝑛
𝑛
1
H
2
H
= 2·𝑥
= 2·𝑥
1
·𝑛
H
2
·𝑛
H
= 2·0.01·3.31· 1022см−3= 0.66·1021см−3,
воды
= 2·0.99·3.31· 1022см−3= 6.55·1022см−3,
воды
𝑛O= 𝑛
воды
.
Макроскопическое сечение взаимодействия (см.
табл. П.1.7):
1
Σ
= 𝜎
tot
Σ
= (30.5 · 0.066 + 4.2 · 6.55 + 4.138 · 3.31) · 10
tot
1
· 𝑛
H
×1022см−3= 0.43
H
+ 𝜎
2
2
· 𝑛
H
+ 𝜎O· 𝑛O,
H
−24см2
см−1.
=
×
Длина свободного пробега тепловых нейтронов
𝑙 = 1/Σ
8.5.
В специальную зону реактора на тепловых нейтронах
= 1/0.43
tot
см−1= 2.32см.
для трансмутации помещена сборка, содержащая 1 т99Tc
тепл.
(
𝜎
𝑛𝛾
= 4.3
барн). В данном канале плотность потока
тепловых нейтронов составляетФ= 10141/(с·см2). Опре-
делите остаточное содержание99Tc за время облучения,
44
равное 20 годам (ответ округлить и указать в килограм-
мах).
Решение
Остаточное содержание нуклида под действием нейтро-
нов и за счет распада подчиняется закону
тепл.
𝐺 = 𝐺0· 𝑒
(−𝜆+𝜎
𝑛𝛾
·Ф)·𝑡
обл.
,
где𝐺– конечное количество нуклида,
чество нуклида,
𝜆 = ln 2/𝑇
– постоянная распада,
1/2
сечение реакции,Ф– плотность потока нейтронов,
𝐺0– начальное коли-
тепл.
𝜎
𝑛𝛾
𝑡
обл.
время облучения нейтронами.
Подставляем значения и получаем ответ:
𝐺 = 103· exp−
× exp4.3 · 10
−24см2
· 10
14
ln 2
2.1·105лет
1
2
с·см
· 20
лет×
· 365.25 · 24 · 3600 · 20
с=
= 762кг.
Как видно из сравнения величин в скобках в степени
экспоненты – распадом99Tc для данного случая можно
пренебречь.
8.6.
Возбужденное ядро
73
Ga𝑚переходит в основное
31
состояние, испуская𝛾-квант. Найдите скорость ядра
отдачи, если энергия перехода с возбужденного уровня в
основное состояние равна
𝑄 = 199
кэВ.
Решение
По закону сохранения энергии
–
–
𝑄 = 𝐸𝛾+ 𝑇Я.
По закону сохранения импульса
𝑝Я= 𝑝𝛾= 𝐸𝛾/𝑐.
45
Кинетическая энергия ядра
𝑇Я=
𝑝
2𝑀
=
𝑝
2𝑀
2
𝛾
=
Я
2
Я
Я
2
𝐸
𝛾
2𝑀Я𝑐
.
2
Тогда
𝑄 = 𝐸𝛾+ 𝐸
2
/2𝑀Я𝑐2≈ 𝐸𝛾.
𝛾
𝑇Я= 𝑄2/2𝑀Я𝑐2= 𝑀Я𝑣2/2.
Отсюда скорость ядра отдачи𝑣равна:
𝑣 = 𝑐
𝑄
𝑀Я𝑐
8.7.
Для подачи воды из конденсатора в парогенератор на
2.998 · 108м/с
=
2
72.925 · 931.5
· 0.199
МэВ
МэВ
= 879
м/с
.
атомных станциях используется питательный насос. Оце-
ните полезную работу, развиваемую насосом при сжатии
воды от давления в конденсаторе, равного 0.005 МПа, до
давления в парогенераторе, равного 6.5 МПа? На сколько
градусов при этом повышается температура воды? Счи-
тать, что плотность воды в конденсаторе равна 995 кг/м3.
Процесс сжатия в насосе считать адиабатичным.
Решение
Исходя из первого начала термодинамики, записанного
для воды, изменение внутренней энергии единицы массы
воды может быть осуществлено путем подведения ей теп-
ловой энергии𝑄или совершения над ней работы по сжа-
тию𝐴:
∆𝑈 = 𝑄 + 𝐴.
Так как насос сжимает воду крайне быстро, то процесс
можно считать адиабатным, т.е. без подведения и потерь
46
водой тепловой энергии (
𝑄 = 0
). Кроме того, жидко-
сти считаются практически несжимаемыми, следователь-
но, изменением их объема можно пренебречь и рассчиты-
вать работу по сжатию с помощью формулы
где
𝑉
– объем единицы массы жидкости при начальном
𝐴 = ∆𝑃 · 𝑉,
давлении.
𝐴 = (𝑃2− 𝑃1) ·
(6.5 − 0.005) · 106· 1
=
𝜌
995
= 6527.6
Дж
.
кг
𝑚
Учитывая, что сжатие происходит адиабатно, вся рабо-
та по сжатию воды, в конечном счете, увеличивает внут-
реннюю энергию воды и, как следствие, вызывает ее на-
грев, который можно найти по формуле:
∆𝑇 =
∆𝑈
=
𝑐𝑚
4200
6527.6
Дж/кг
Дж/(кг·K
) · 1
кг
= 1.55
K.
Начальное решение о выборе плотности воды при тем-
пературе в конденсаторе оказалось корректным, так как
величина нагрева жидкости невелика и не вызывает силь-
ного изменения ее свойств.
8.8.
Максимальная энергия электронов при𝛽-распаде51Ti
составляет
𝑇
𝛽
макс
= 2.47
МэВ. Оцените толщину желез-
ной пластинки, которая сможет ослабить поток электро-
нов от этого элемента в 10 раз, если известно, что для
среды толщиной меньше максимального пробега ослабле-
ние плотности потока𝛽-частиц приближенно следует экс-
поненциальному закону. При этом линейный коэффици-
ент
𝜇𝑒поглощения электронов (в см−1) приближенно за-
висит от максимальной энергии𝛽-частиц
щим образом:
(0.5 МэВ
< 𝑇
𝛽
𝜇𝑒= 𝜌 · 22 · 𝑇
< 7
макс
МэВ),𝜌– в г/см3.
−4/3
𝛽
макс
см−1,
𝑇
𝑇
𝛽
макс
𝛽
макс
следую-
– в МэВ
47
Решение
Закон ослабления пучка электронов слоем однородного
вещества толщиной𝑥:
−4/3
−𝜇𝑒𝑥
= 51.4
,
см−1.
𝐽(𝑥) = 𝐽0𝑒
𝜇𝑒= 7.8 · 22 · 2.47
Из условия задачи:
𝐽(𝑥) = 𝐽0𝑒
ln 10
𝑥 =
𝜇
𝑒
8.9.
Тепловая критическая сборка, в составе которой
ln 10
=
51.4
имеется уран с массовым обогащением по изотопу
−𝜇𝑒𝑥
= 𝐽0/10,
= 0.045см= 0.45мм.
−1
см
235
U
36 % вырабатывает 200 Вт энергии. Определите массу
урана, если средняя плотность потока тепловых нейтро-
нов
2 · 10111/(с·см2). Для решения задачи используйте
табл. П.1.7.
Решение
Вырабатываемая критической сборкой мощность𝑃бу-
дет равна:
𝑃 = 𝐸
,
𝑑𝑡
𝑑𝑁
где𝐸– энергия, выделяющаяся на одно деление,
𝑑𝑁/𝑑𝑡
число делений тяжелых ядер в секунду.
С учетом средней плотности потока тепловых нейтро-
новФв единицу времени будет захватываться следующее
число нейтронов с последующим распадом ядра:
𝑑𝑁
=Ф· (𝜎𝑓(
𝑑𝑡
235
U
) · 𝑁
235
+ 𝜎𝑓(
U
238
U
) · 𝑁
238
) ,
U
48
–
где
𝜎𝑓– микроскопическое сечение деления и
𝑁
– число
ядер соответствующего изотопа. По данным табл. П.1.7,
235
𝜎𝑓(
U
) = 585
барн,
нейтронов с последующим распадом ядра для
𝜎𝑓(
238
U
) = 1.2·10−5барн (т.е. захватом
238
U можно
пренебречь). Следовательно,
Число ядер
235
𝑚
– масса
U
𝑑𝑁
𝑑𝑡
235
235
U,
𝑁
=
235
U:
𝑁
𝑀
𝑃
=Ф· 𝜎𝑓(
235
𝐸
𝑃
=
U
𝐸 · 𝜎𝑓(
235
=
U
235
– молярная масса
U
𝑚
235
𝑀
235
U
235
U
U
· 𝑁
U
) · 𝑁
) ·
Ф
𝐴
,
235
.
Авогадро.
235
𝑚
𝑚
𝑀
235
U
235
U
· 𝑁
U
=
𝐴
=
𝐸 · 𝜎𝑓(
𝐸 · 𝜎𝑓(
𝑃 · 𝑀
235
U
𝑃
235
U
) ·
235
U
) ·Ф· 𝑁
Ф
𝐴
Обозначим массовое обогащение по изотопу
𝑥 = 36
%. Массу урана
𝑚𝑈можно рассчитать следующим
образом:
235
𝑚U=
𝑚
235
𝑥
𝑚
U
=
= 𝑥𝑚U,
U
𝐸 · 𝜎𝑓(
235
𝑃 · 𝑀
235
U
) ·Ф· 𝑁𝐴· 𝑥
U
U
235
,
.
,
U,
𝑁𝐴– число
235
U за
.
Расчет:
𝑚U=
2 · 1011c−1·
200
Вт
· 235
2 · 108эВ
· 1.6 · 10
−19
Кл
1
cм−2· 6.02 · 1023моль−1· 0.36
49
г/моль
· 585 · 10
−24см2
= 58
·
г.
8.10.
В капельной модели ядро с зарядом𝑍и массовым
числом𝐴рассматривается как сферическая капля несжи-
маемой заряженной ядерной жидкости радиуса
где
𝑟0= 1.4
учитывает вклад в энергию связи ядра
поверхностной
фм. В самом простом случае капельная модель
𝑊
объемной
𝑊
и электростатической энергии
пов
𝑅 = 𝑟0𝐴
1/3
𝑊об,
𝑊
кул
(кулоновское взаимодействие протонов):
2
𝑊 (𝐴, 𝑍) = 𝑊об− 𝑊
пов
− 𝑊
= 𝛼𝐴 − 𝛽𝐴
кул
2/3
− 𝛾
𝐴
𝑍
1/3
,
где𝛼,𝛽и𝛾– постоянные коэффициенты.
В капельной модели предполагается, что электриче-
ский заряд протонов равномерно распределен внутри сфе-
ры радиуса𝑅. В таком случае можно получить аналити-
ческое выражение для третьего слагаемого:
2
𝑍2𝑒
4𝜋𝜀0𝑅
.
𝑊
кул
=
3
·
5
,
Рассчитайте значение третьего коэффициента
(в МэВ). Определите значения коэффициентов
(в МэВ), если известны массы атомов
14
7
N и
𝛼
28
Si (для
14
и
расчета энергии связи этих ядер воспользуйтесь данными
табл. П.1.6).
Решение
Рассчитаем значение третьего коэффициента𝛾:
𝛾 =
5 · 4𝜋 · 8.85 · 10
𝑊
кул
3 · 1.6 · 10
=
3
·
5
−12
2
𝑍2𝑒
4𝜋𝜀0𝑅
3
𝛾 =
5
−19
2
Кл
· 1.4 · 10
2
Н·м
= 0.617
3
=
5
𝑒
·
4𝜋𝜀0𝑟
Кл
МэВ
·
4𝜋𝜀0𝑟
2
−15
2
𝑒
2
𝑍
·
,
1/3
𝐴
0
,
0
= 0.617 · 106эВ
=
м
.
50
𝛾
𝛽
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]