Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник заданий студенческих олимпиад по направлению «Ядерные физика и технологии». Учебное пособие
.pdf
Рассчитаем значения энергий связи указанных ядер:
𝑊 (𝐴, 𝑍) = 𝑍 · 𝑚
14
𝑊 (
N
) = (7 · 1.007825 + 7 · 1.008665 − 14.003074) · 931.5 =
7
28
𝑊 (
Si
) = (14 · 1.007825 + 14 ·1.008665 − 27.976927)· 931.5 =
14
1
𝑐2+ (𝐴 − 𝑍) · 𝑚𝑛𝑐2− 𝑀 (𝐴, 𝑍)𝑐2.
H
1
= 104.66
= 236.54
МэВ.
МэВ.
Составим систему уравнений:
⎧
⎪
⎨
𝛼 · 14 − 𝛽 · 14
⎪
⎩
𝛼 · 28 − 𝛽 · 28
2/3
2/3
− 0.617
− 0.617
7
14
14
28
2
= 104.66,
1/3
2
= 236.54.
1/3
Выразим и рассчитаем один из коэффициентов, напри-
мер𝛽:
2 · 104.66 − 236.54 + 0.617 ·
𝛽 =
28
= 17.51
2/3
− 2 · 14
МэВ.
2/3
2 · 7
1/3
14
2
−
28
14
2
1/3
=
Выразим второй коэффициент:
2
104.66 + 0.617 ·
𝛼 =
14
7
1/3
+ 17.51 · 14
14
51
2/3
= 15.64
МэВ.
9. Теоретический тур
«Я – профессионал», 2020
(магистратура, специалитет)
9.1.
Какая масса изотопа кобальта60Co была в источнике,
если среднее энерговыделение за счет𝛾-квантов за два
года его работы составило 15 Вт? Энергия𝛾-квантов и
интенсивность: 1.17 МэВ, 100 %; 1.33 МэВ, 100 %.
Решение
Энергия𝛾-квантов, выделившаяся в источнике за вре-
мя эксплуатации:
𝛾
-квантов на 1 распад (
число распавшихся ядер.
Тогда энерговыделение за счет𝛾-квантов
Число распадов
𝐸 = 𝑄𝑁
𝑄 = 1.17 + 1.33 = 2.5
𝑊 =
𝑁
= 𝑁0(1 − 2
расп
, где𝑄– суммарная энергия
расп
МэВ),
𝐸
𝑄 · 𝑁
=
𝑡
расп
𝑡
−𝑡/𝑇
1/2
.
)
,
𝑁
расп
–
где
𝑁0– первоначальное число ядер,
распада60Co. Из данных табл. П.1.6:
𝑚 · 𝑁
𝑁0=
𝐴
,
𝑀
где𝑚– масса источника,
𝑀
– молярная масса60Co,
число Авогадро.
Тогда
𝑀 · 𝑊 · 𝑡
𝑚 =
58.93
2.5 · 1.6 · 10
𝑚 =
𝑄 · 𝑁𝐴· (1 − 2
г
· 15
моль
−13
Дж
Вт
· 2 · 365 · 24 · 3600
· 6.02 · 10
23
−𝑡/𝑇
1
моль
52
𝑇
– период полу-
1/2
𝑇
= 5.27
1/2
.
1/2
)
с
· (1 − 2
−2/5.27
лет.
)
𝑁𝐴–
≈ 1
г.
9.2.
Серебряный слиток
109
Ag массой 10 г облучается в
47
реакторе на тепловых нейтронах в течение 300 с. Опреде-
лите массу накопленного изотопа
110
Ag сразу после облу-
47
чения, а также спустя 300 с после завершения облучения.
Плотность потока нейтронов в месте облучения составляет
10151/(c·см2). Данные для решения приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1. Данные для решения задачи 9.2
Изотоп Сечение
109
Ag 90.81 Стабилен
47
110
Ag 82.85 24.56
47
(𝑛, 𝛾)
, барн
𝑇
, c
1/2
Решение
Запишем уравнение для накопления изотопа
110
47
Ag с
учетом распада этого изотопа, а также учитывающее вы-
горание ядер мишени и выгорание накапливающихся ра-
дионуклидов при облучении мишени:
𝑑𝑁
= 𝜎
𝑑𝑡
·Ф· 𝑛0· 𝑒
109
𝑛0– начальное содержание ядер
−𝜎
109
·Ф·𝑡
− 𝜆 · 𝑁 − 𝜎
109
Ag,𝜎– сечения захвата
47
110
·Ф· 𝑁
,
соответствующего нуклида,Ф– плотность потока нейтро-
нов,𝑁– число накопленных ядер.
Проинтегрировав данное уравнение, получаем количе-
ство накопленных ядер за время облучения
𝑡
обл
:
𝑁 =
𝜆 − 𝜎
𝜎
109
109
·Ф· 𝑛
·Ф− 𝜎
0
110
·
Ф
𝑁 =
·𝑒
𝑚
𝑀
53
−𝜎
109
· 𝑁𝐴.
·Ф·𝑡
обл
− 𝑒
−(𝜆+𝜎
110
·Ф)·𝑡
обл
,
В результате расчета имеем на конец облучения массу
3.247 · 10−5г изотопа
110
47
Ag.
А чтобы посчитать массу через 300 с после облучения,
нужно использовать формулу радиоактивного распада. В
итоге имеем
9.3.
В ассимптотической области увеличения мощности
6.82 · 10−9г
110
47
Ag.
надкритического реактора мощность увеличилась в 5 раз
за 20 с. Какая реактивность введена в реактор, если доля
запаздывающих нейтронов 0.0065, время жизни мгновен-
ных нейтронов
𝜏з= 14
с?
𝜏
мгн
= 1
мс, а запаздывающих нейтронов
𝛽 − 𝜌
Асимптотический период реактора
𝑇 =
· 𝜏з.
𝜌
Решение
Период реактора𝑇– время, за которое мощность ядер-
ного реактора изменяется в𝑒раз:
=
𝑒
𝑒
𝑡/𝑇
0/𝑇
= 𝑒
𝑡/𝑇
= 5
.
𝑛(𝑡)
𝑛(0)
Откуда
𝑡
𝑇 =
ln 5
=
𝛽 − 𝜌
· 𝜏з.
𝜌
Получим
𝛽𝜏
𝜌 =
з
𝑡/ ln 5 + 𝜏
9.4.
В критических экспериментах исследовали свойства
0.0065 · 14
=
20/ ln 5 + 14
з
= 0.00344
.
жидкой соли с делящимися материалами. В цилиндриче-
ском сосуде с диаметром 1 м критичность была достигну-
та при высоте 0.5 м. Оцените коэффициент размножения
бесконечной среды из данной соли в одногрупповом диф-
фузионном приближении, если длина диффузии тепловых
54
нейтронов в данном растворе 1.5 см. Значение первого кор-
ня функции Бесселя нулевого порядка
𝛼 = 2.4048
.
Решение
Материальный параметр для цилиндрической геомет-
рии
κ2=
𝛼
𝑅
2
+
𝜋
𝐻
2
.
Из условия критичности следует:
𝐾
𝐾 =
∞
1 + κ2𝐿
2
= 1
.
Откуда
𝐾∞= 1 +
𝐾∞= 1 +
2.4048
0.5
2
𝛼
+
𝑅
2
𝜋
+
0.5
2
𝜋
𝐿2,
𝐻
2
0.0152= 1.014
.
9.5.
В капельной модели ядра энергию связи ядра (в МэВ)
с зарядом𝑍и массовым числом𝐴можно рассчитать по
следующей формуле (полуэмпирическая формула Вайц-
зеккера):
2
𝑊 (𝐴, 𝑍) = 15.6𝐴 − 17.2𝐴
где
𝜁 = +1
и любом𝑍,
при четных
𝜁 = −1
2/3
− 0.72
−
𝐴и𝑍,𝜁 = 0
при четном
𝑍
−
1/3
𝐴
23.6(𝐴 − 2𝑍)
2
𝐴
при нечетном
𝐴
и нечетном𝑍. Оце-
+ 34
𝐴
𝜁
3/4
,
𝐴
ните с помощью этой зависимости минимальную энергию
55
(в МэВ), которую необходимо затратить, чтобы вырвать
из ядра железа
57
Fe ядро углерода
26
12
6
C.
Решение
Запишем реакцию:
57
26
Fe
→
45
20
Ca
+
12
6
C
.
Минимальная энергия, которую необходимо затратить,
рассчитывается по разнице масс ядер:
𝑄 = 𝑀 (
12
C
)𝑐2+ 𝑀(
6
45
20
Ca
)𝑐2− 𝑀 (
57
26
Fe
)𝑐2.
Массу ядер можно оценить следующим образом:
57
𝑀(
Fe
𝑀(
)𝑐2= 26𝑚𝑝𝑐2+ 31𝑚𝑛𝑐2− 𝑊 (57, 26)
26
12
𝑀(
C
)𝑐2= 6𝑚𝑝𝑐2+ 6𝑚𝑛𝑐2− 𝑊 (12, 6)
6
45
Ca
)𝑐2= 20𝑚𝑝𝑐2+ 25𝑚𝑛𝑐2− 𝑊 (45, 20)
20
,
,
.
Тогда (все массы протонов и нейтронов сокращаются):
𝑄 = 𝑊 (57, 26) − 𝑊 (12,6) − 𝑊 (45,20).
Рассчитаем энергии связей указанных ядер:
2
𝑊 (12, 6) = 15.6 · 12 − 17.2 · 12
23.6(12 − 2 · 6)
−
12
2
34
+
3/4
12
𝑊 (57, 26) = 15.6 · 57 − 17.2 · 57
23.6(57 − 2 · 26)
−
2
= 497.6
2/3
− 0.72
= 91.0
2/3
− 0.72
МэВ,
6
12
МэВ,
26
57
1/3
1/3
−
2
57
2
𝑊 (45, 20) = 15.6 · 45 − 17.2 · 45
23.6(45 − 2 · 20)
−
2
= 390.3
2/3
− 0.72
МэВ.
45
20
1/3
45
56
−
−
Минимальная энергия равна:
𝑄 = 497.6 − 91.0 − 390.3 = 16.3
9.6.
В конце годового цикла работы реактора ВВЭР-1000
МэВ
.
30 % тепловой мощности выделяется за счет деления плу-
тония
топов
239
Pu тепловыми нейтронами. Найдите массу изо-
239
Pu в активной зоне. Принять, что средняя плот-
ность теплового потока нейтронов в активной зоне равна
5·10131/(с·см2), тепловая мощность равна 3000 МВт, энер-
гию деления изотопа
239
Pu принять равной 200 МэВ.
Решение
Связь энергии деления и мощности реактора будет
определяться соотношением
𝑑𝑁
𝜂𝑃 = 𝐸
,
𝑑𝑡
где𝐸– энергия, выделяющаяся на одно деление,
𝑑𝑁/𝑑𝑡
число делений тяжелых ядер в секунду.
С учетом средней плотности потока тепловых нейтро-
нов𝛷в единицу времени будет захватываться следующее
число нейтронов с последующим распадом ядра:
–
𝑑𝑁
= 𝛷 · 𝜎𝑓(
239
Pu
) · 𝑁,
𝑑𝑡
где
𝜎𝑓– микроскопическое сечение деления и
𝑁
– число
ядер соответствующего изотопа. По данным табл. П.1.7,
239
𝜎𝑓(
Pu
) = 747.8
барн. Следовательно,
𝑑𝑁
𝑑𝑡
=
𝜂𝑃
= 𝛷 · 𝜎𝑓· 𝑁.
𝐸
57
Число ядер
𝑁 =
.
𝛷 · 𝜎𝑓· 𝐸
Тогда масса изотопа
𝜂 · 𝑃 · 𝑀
𝜂𝑃
𝑚 =
𝛷 · 𝜎𝑓· 𝐸 · 𝑁
𝑀
– молярная масса
239
Pu,
𝑁𝐴– число Авогадро. Расчет:
0.3 · 3000 · 106· 239 · 10
𝑚 =
5 · 1013· 747.8 · 10
9.7.
В результате эксперимента было определено, что про-
−24
· 200 · 1.6 · 10
= 299
кг.
,
𝐴
−3
−13
· 6.02 · 10
23
=
бег электронов (от некоторого моноэнергетического источ-
ника) в железе
56
Fe составил
26
𝑅 = 0.9
мм. Вычислите кине-
тическую энергию электронов𝑇, если известна эмпириче-
ская зависимость пробега моноэнергетических электронов
в алюминии
𝜌Al𝑅Al=
𝑅Al(кинетическая энергия𝑇– в МэВ):
0.407 · 𝑇
0.542 · 𝑇 − 0.133
1.38
г/см2, 0.15 < 𝑇 < 0.8
г/см2, 0.8 < 𝑇 < 3
МэВ
МэВ
,
;
и связь пробега электронов𝑅в другом веществе с зарядом
𝑍
и массовым числом𝐴с пробегом в алюминии
𝜌𝑅 = 𝜌Al𝑅
𝑍Al/𝐴
Al
𝑍/𝐴
Al
.
27
13
Al:
Решение
Рассчитаем пробег в алюминии:
𝜌Al𝑅Al=
𝜌𝑅𝑍/𝐴
𝑍Al/𝐴
Al
= 7.8
г/см3· 0.09
см
26/56
13/27
= 0.677
г/см2.
58
Определим, по какой формуле необходимо проводить
расчет. Для этого подставим в любую из формул граничное
значение кинетической энергии:
(𝜌Al𝑅Al)гр= 0.542 · 0.8 − 0.133 = 0.30
г/см2.
Полученное ранее значение (0.677 г/см2) больше, поэто-
му необходимо проводить расчет по второй формуле:
0.677 + 0.133
𝑇 =
= 1.49
МэВ.
0.542
9.8.
Известны сечения взаимодействия𝛾-квантов с
энергией 2.5 МэВ в свинце (
эффекта
пар
𝜎К= 10.72
𝜎Ф= 1.20
𝜎П= 3.06
барн/атом, сечение образования
барн/атом, сечение Комптон-эффекта
барн/атом. Определите толщину свинцовой
208
Pb): сечение фото-
пластинки𝑥, после которой пучок𝛾-квантов указанной
энергии будет ослаблен в три раза.
Решение
Закон ослабления узкого моноэнергетичного коллими-
рованного пучка𝛾-квантов слоем однородного вещества
толщиной𝑥:
𝐽(𝑥) = 𝐽0𝑒
где
𝜇
(см−1) – линейный коэффициент ослабления
𝛾
-квантов в веществе. Коэффициент𝜇можно рассчитать,
−𝜇𝑥
,
зная перечисленные сечения и концентрацию ядер свинца
𝑛Я:
𝜌Pb𝑁
𝜇 = 𝑛Я(𝜎Ф+ 𝜎П+ 𝜎К) =
𝐴
(𝜎Ф+ 𝜎П+ 𝜎К)
𝑀
Pb
.
59
11.3
г/см3· 6.02 · 1023моль
𝜇 =
208
×10
Из условия задачи:
г/моль
−24см2
−1
= 0.49
(1.20 + 3.06 + 10.72)×
см−1.
𝐽(𝑥) = 𝐽0𝑒
−𝜇𝑥
= 𝐽0/3,𝑥 =
ln 3
𝜇
9.9.
Оцените площадь конденсатора-излучателя однокон-
=
0.49
ln 3
см
−1
= 2.24
см.
турного реактора, установленного на орбитальном спутни-
ке. Реактор содержит в своей конструкции 37 тепловыде-
ляющих элементов со средней линейной тепловой мощно-
стью 25.1 кВт/м, в которых находятся термоэмиссионные
преобразователи энергии с коэффициентом полезного дей-
ствия 23 %. Для охлаждения активной зоны высотой 80 см
используется калий-натриевый сплав, имеющий на входе в
активную зону температуру 600 К, на выходе – 950 К. Сте-
пень черноты поверхности конденсатора – 0.83, постоян-
ная Стефана-Больцмана –
5.67 · 10−8Вт/(м2·
К4). Считать,
что при прохождении теплоносителя через конденсатор его
температура уменьшается линейно.
Решение
Количество теплоты, которое следует отвести от актив-
ной зоны:
𝑄аз= 37𝑞𝑙· 𝐻аз· (1 − 𝜂) = 37 · 25.1 · 103· 0.8 · (1 − 0.23) =
= 5.72 · 105Вт.
Так как схема одноконтурная, то температура тепло-
носителя на выходе из активной зоны равна температуре
на входе в конденсатор, а температура на входе в актив-
ную зону равна температуре на выходе из конденсатора.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]