Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие управленческих решений в инновационной сфере. Хрестоматия. Учебно-методический комплекс
.pdf
Задачипринятияинновационныхрешений
у
у
л
л
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений). В самом общем виде классификация представлена в
табл. 2.4.
Таблица 2.4
Классификация задач нелинейного программирования
Вид F(x)
Нелинейная Отсутствуют
Нелинейная Отсутствуют
Нелинейная
или
инейная
Вид функции
ограничений
Нелинейные
или
инейные
Количество
переменных
1
Более 1
Более 1
Название задачи
Без
словная однопара-
метрическая оптимиза-
ция
Без
словная многопара-
метрическая оптимиза-
ция
Условная нелинейная оп-
тимизация
Общих способов решения, аналогичных симплексметоду линейного программирования, для нелинейного программирования не существует. В каждом случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x).
Задачи нелинейного программирования на практике
возникают довольно часто, когда, например, затраты растут
не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.
Многие задачи нелинейного программирования могут
быть приближены к задачам линейного программирования, и
найдено близкое к оптимальному решению. Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть
F(x) полином 2-й степени относительно переменных, а ограничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума
при наличии ограничений к аналогичной задаче
при отсутст-
вии ограничений, которая обычно решается проще.
61
(
)
(
)
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
Но в целом задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении
часто приходится прибегать к приближенным методам опти-
мизации. Мощным средством для решения задач нелинейного
программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.
Общая формулировка нелинейных задач:
Найти переменные
х1 , х2 , …, хn , удовлетворяющие сис-
теме уравнений
, х2 , …, хn ) = bi , i = 1, 2, …, m (2.1)
Ψ ( х
1
и обращающие в максимум ( минимум ) целевую функцию
Z = f ( х
, х2 , …, хn ) (2.2)
1
Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая. Данное предприятие для производства
какого-то продукта расходует два средства в количестве х
и х2
1
соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных сырья и др., а величины х
и х2 – за-
1
траты факторов производства. Факторы производства впредь
будем считать взаимозаменяемыми.
Объем производства (выраженный в натуральных или
стоимостных единицах) является функцией затрат производства Z = f ( х
, х2 ). Эта зависимость называется производст-
1
венной функцией. Издержки зависят от расхода обоих фак-
торов (х
держки выражаются формулой b = c
и х2) и от цен этих факторов (c1 и c2). Совокупные из-
1
+ c2 х2. Требуется при
1 х1
данных совокупных издержках определить такое количество
факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.
Математическая модель этой задачи определить переменные х
и х2, удовлетворяющие условиям.
1
+ c
х
c
х
1
1 х1
≥ 0, х
2
2
2
≥ 0,
= b
2.3
2.4
62
Задачипринятияинновационныхрешений
f
(
)
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
при которых функция
Z =
(х1, х
)
2
2.5
достигает максимума. Как правило, функция (2.5) может
иметь произвольный нелинейный вид.
Использую классические методы оптимизации, следует
четко представлять себе различие между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда количество переменных n не меньше 2 (n ≥ 2). Будем
полагать, что функция Z = f ( х
дифференцируема в точке Х* = (х
, х2 , …, хn ) = f (X) дважды
1
*, х2 *, …, хn* ), (Х* € D(f)) и в
1
некоторой ее окрестности.
Если для всех точек Х этой окрестности f (X*) ≥ f (X) или
f (X*) ≤ f (X), то говорят, что функция f (X) имеет экстремум в
X* (соответственно максимум или минимум).
Точка X* , в которой все частные производные функции
Z = f (Х) равны 0, называется стационарной точкой.
Необходимое условие экстремума. Если
в точке X*
функция Z = f (Х) имеет экстремум, то частные производные
функции в этой точке равны 0:
f '
(X*) = 0, i = 1, 2, ..., n.
x1
Следовательно, точки экстремума функции Z = f (Х)
удовлетворяют системе уравнений:
0xxxxf
),...,,(
n211
0xxxxf
),...,,(
n212
(2.6)
.......................................
0xxxxf
),...,,(
n21n
Для получения достаточных условий следует определить в
стационарной точке знак дифференциала второго порядка.
Дифференциала второго порядка обозначается d
f 'x
(X) найти частную производную по переменной хj , то по-
1
2
f (х1 , х2, …, хn )
63
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
лучим частную производную второго порядка по переменным
х
, хj , которая обозначается f ''
i
2
n
1i
(X). В этом случае
xi, xj
n
n
, ji
1j
xjxi
.)()(
xxXfXfd
Достаточные условия экстремума. Двух переменных:
если Δ > 0 и а
максимум: если Δ > 0 и а
нимум (в этих случаях Х
если Δ < 0, то экстремума нет;
если Δ = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
< 0 (а22 < 0), то в точке Х 0 функция имеет
11
> 0 (а22 > 0), то в точке Х 0 – ми-
11
0
= Х*);
Ранее шла речь о локальном экстремуме функции n переменных. Как правило, в практических задачах необходимо
определить наибольшее и наименьшее значения функции
(глобальный экстремум) в некоторой области. Говорят, что
функция z = f (X) имеет в точке X
0
заданной области D глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум
(наименьшее значение), если неравенство f(X) ≤ f(X
0
) или соответственно выполняется для любой точки X € D. Если область D
замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z =
=f (X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса).
Граница области D аналитически может быть задана
системой уравнений (
x
, ..., xn. Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции
2
условий) относительно переменных x1,
на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.
Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстре-
мум функции z = f (x
x
, x2, ..., xn удовлетворяют, уравнениям
1
, x2, ..., xn ) при условии, что переменные
1
, x2, ..., xn ) = 0, i = 1, 2, ..., m, m < n
φ
i (x1
(2.7)
Предполагается, что функции f и φi , имеют непрерыв-
ные частные производные по всем переменным. Уравнения
64
Задачипринятияинновационныхрешений
~
~
~
~),~
~
~
~
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
(2.7) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи (2.7), функция z = f (X) имеет
0
условный максимум (минимум), если неравенство f(X
0
) ≤ f(X)) имеет место для всех точек X, координаты кото-
(f(X
) ≥ f(X)
рых удовлетворяют уравнениям связи. Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей
нелинейного программирования. Один из способов определения условного экстремума применяется в том случае, если
из уравнений связи (2.7) m переменных, например x
, x2, ..., xn,
1
можно явно выразить через оставшиеся n – m переменных:
x
= ψi (x
i
, ..., xn ), i = 1, 2, ..., m,
m + 1
(2.8)
Подставив полученные выражения для xf в функцию z,
получи мz
= f (ψi (x
i
, ..., xn ), ..., ψm (x
m + 1
, ..., xn ), x
m + 1
m + 1
, ..., xn )
или
z = F(x
m + 1
, ..., xn )
(2.9)
Задача сведена к нахождению локального (глобального)
экстремума для функции (2.9) от n – m переменных. Если в
0
точке
0
(
0
функция z = f (x
((
o
функция имеет экстремум, то в точке
)
,,...
xxX
n
1m
0
1mi
, ..., xn ) имеет условный экстремум.
1
o
,,...
n
0
(,...),
,,...
1mm
0
o
n
1m
o
)
,,...
xxxxxxX
n
Метод множителей Лагранжа. Другой способ опреде-
ления условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x
, x2, ..., xn, что и целевая функция z. Пусть
1
решается задача определения условного экстремума функции
z = f (X) при ограничениях (2.7) Составим функцию
m
)()()( XXfXL
i
i
1i
(2.10)
65
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
которая называется функцией Лагранжа. X, – постоянные множители (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Ла-
гранжа можно придать экономический смысл. Если f (x
x
) – доход, соответствующий плану X = (x1, x2, ..., xn), а функ-
n
ция φ
, x2, ..., xn) – издержки i-го ресурса, соответствующие
i (x1
, x2, ...,
1
этому плану, то X, – цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(Х) – функция n + m переменных (x
, λ1, λ2, ..., λn). Определение стационарных точек этой функ-
x
n
ции приводит к решению системы уравнений
)(
XL
Легко заметить, что
x
i
)(
XL
i
t
i
,,...,,,
n21j0
(2.11)
.,...,,,
m21i0
т.е. в систему (2.11)
),()( XXL
i
, x2, ...,
1
входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения
условного экстремума функции z = f (X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в
простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума – исследования знака второго дифференциала d
ные приращения Δx
2
L(X) в стационарной точке при условии, что перемен-
– связаны соотношениями
n
i
i
j
x
1j
j
,,...,,, m21i0x
(2.12)
полученными путем дифференцирования уравнений связи.
Если количество переменных n = 2, нелинейные задачи
можно решать геометрически. Ограничения должны быть записаны в виде неравенств
φ
, x2 ) ≤ bi , i = 1, 2, ..., m,
i (x1
(2.13)
66
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
а целевая функция иметь вид
z = f(x
, x2 )
1
(2.14)
Как и в случае геометрического решения задач линейного программирования, сначала необходимо построить область
допустимых решений (ОДР) – множество точек плоскости,
удовлетворяющих неравенствам (2.13). Но в отличие от задач
линейного программирования здесь ОДР не обязательно будет выпуклой и может быть даже разрывной. Экстремум
функции может достигаться и внутри области, и на границе
После построения ОДР следует записать уравнения линий
уровня целевой функции – множество точек плоскости, в которых целевая функция постоянна: f(x
, x2 ) = C, и определить
1
направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений С. Затем, перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР,
найти точки области, в которых целевая функция принимает
оптимальное значение
Динамическое программирование (ДП) – это вычислительный метод для решения задач определенной структуры,
возникло
и сформировалось в 1950–1953 гг. благодаря работам
Р. Беллмана над динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к
глобальному максимуму.
Основные необходимые свойства задач, к которым воз-
можно применить этот принцип, такие:
1. задача должна допускать интерпретацию как
n-шаговый
процесс принятия решений;
2. задача должна быть определена для любого количества
шагов и иметь структуру, не зависящую от их количества;
3. при рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано
некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения
.
67
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении количества шагов;
4. выбор решения (управления) на k-м шаге не должен ока-
зывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.
Задача о выборе траектории, задача последовательного
принятия решения, задача об использовании рабочей силы,
задача управления запасами – классические
задачи динамиче-
ского программирования.
Постановка задачи динамического программирования
видна на примере инвестирования, связанного с распределением средств между предприятиями. В результате управления
инвестициями система последовательно переводится из начального состояния S
в конечное Sn. Предположим, что
0
управление можно разбить на n шагов и решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление представляет собой совокупность n пошаговых управлений. На каждом
шаге необходимо определить два типа переменных – переменную состояния системы S
Переменная S
определяет, в каких состояниях может оказать-
k
переменную управления xk .
k
ся система на рассматриваемом k-м шаге. В зависимости от состояния S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной x
и удовлетво-
k
ряют определенным ограничениям и называются допустимыми. Допустим
переводящее систему на состояния S
X
= (x1 , x2 , ..., xk , ..., xn ) – управление,
в состояние Sn , a Sk –
0
есть состояние системы на k-м шаге управления. Тогда последовательность состояний системы можно представить в виде
графа, представленного на рис. 2.5.
х1 х2
S0
S1
…
х
k-1
х
k
S
к-1
Sк
х
k+1
…
х
n
S
n
Рис. 2.5. Граф состояний системы
68
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
Применение управляющего воздействия x
шаге переводит систему в новое состояние S
сит некоторый результат W
(S, xk). Для каждого возможного
k
на каждом
k
1
(S, xk) и прино-
состояния на каждом шаге среди всех возможных управлений
выбирается оптимальное управление x*
, такое, чтобы резуль-
k
тат, который достигается за шаги с k-го по последний n-й, оказался бы оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана F
(S) и зависит от
k
номера шага k и состояния системы S. Задача динамического
программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление, переводящее систему из
начального состояния S
в конечное состояние Sn , при кото-
0
ром целевая функция принимает наибольшее (наименьшее)
значение F(S
,) => extr.
0
Более подробно особенности математической модели
динамического программирования выражаются в следующем:
1) задача оптимизации формулируется как конечный мно-
гошаговый процесс управления;
2) целевая функция (выигрыш) является аддитивной и
равна сумме целевых функций каждого шага:
n
k
1k
1kk
;),( extremumxSFF
3) выбор управления x
состояния системы k этому шагу S
на каждом шаге зависит только от
k
, и не влияет на
k-1
предшествующие шаги (нет обратной связи);
4) состояние системы S
после каждого шага управления
k
зависит только от предшествующего состояния системы
S
и этого управляющего воздействия xh (отсутствие по-
k-1
следействия) и может быть записано в виде уравнения
состояния: S
5) на каждом шаге управление x
= fk(S
k
, xk), k = 1, n;
k-1
зависит от конечного ко-
k
личества управляющих переменных, а состояние систе-
мы зависит S
– от конечного количества параметров;
k
6) оптимальное управление представляет собой вектор,
определяемый последовательностью оптимальных по-
69
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
шаговых управлений:
X
= (x*1 , x*2 , ..., x*k , ..., x*n ), коли-
чество которых и определяет количество шагов задачи.
Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления. В основе метода ДП лежит
принцип оптимальности, впервые сформулированный в 1953 г.
американским математиком Р.Э. Беллманом: каково бы ни было
состояние системы в результате какого-либо количества шагов, на
ближайшем шаге нужно выбирать
управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах
приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах,
включая выигрыш на данном шаге. При решении задачи на каж-
дом шаге выбирается управление, которое должно привести к
оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми, тогда оптимальным
управлением будет то управление, которое обеспечит максимальный выигрыш именно на данном
шаге. Однако например, при покупке новой техники взамен
устаревшей на ее приобретение затрачиваются определенные
средства, поэтому доход от ее эксплуатации в начале может
быть небольшой, а в следующие годы новая техника будет
приносить больший доход. И наоборот, если принято
решение
оставить старую технику для получения дохода в текущем году, то в дальнейшем это приведет к значительным убыткам.
Этот пример демонстрирует следующий факт: в многошаговых
процессах управление на каждом шаге надо выбирать с учетом
его будущих воздействий на весь процесс. Кроме того, при выборе управления на данном шаге
следует учитывать возможные варианты состояния предыдущего шага. Например, при
определении количества средств, вкладываемых в предприятие
в i-м году, необходимо знать, сколько средств осталось в наличия к этому году и какой доход получен в предыдущем (i – 1)-м
году. Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать следующие требования
1) возможные исходы предыдущего шага S
2) влияние управления x
на все оставшиеся до конца про-
k
:
k-1
;
цесса шаги (n-k).
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]