Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие управленческих решений в инновационной сфере. Хрестоматия. Учебно-методический комплекс
.pdf
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
/ 300 + Х2 / 100 + Х3 / 100 ≤ 100;
Х
1
Х
/ 80 ≤ 100.
3
Неотрицательность переменных не будем специально
указывать, поскольку в задачах линейного программирования
это предположение всегда принимается.
В соответствии с симплекс-методом введем так называемые «свободные переменные» Х
, Х5, Х6, соответствующие не-
4
доиспользованным мощностям, т.е. от системы неравенств перейдем к системе уравнений:
Х
/ 200 + Х2 / 300 + Х3 / 120 + Х4 = 100;
1
Х
/ 300 + Х2 / 100 + Х3 / 100 + Х5 = 100;
1
Х
/ 80 + Х6 = 100;
3
15 Х
+ 12 Х2 + 14 Х3 = F .
1
У этой системы имеется очевидное решение, соответствующее одной из вершин многогранника допустимых значений переменных:
= Х2 = Х3 = 0, Х4 = Х5 = Х6 = 100, F = 0.
Х
1
В терминах исходной задачи это означает, что ничего не
надо выпускать. Такое решение приемлемо только на период
летних отпусков.
В соответствии с симплекс-методом выбираем переменную, которая входит в целевую функцию F с самым большим
положительным коэффициентом. Это Х
.
1
Сравниваем частные от деления свободных членов в
первых трех уравнениях на коэффициенты при только что
выбранной переменной Х
:
1
100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .
Выбираем строку из системы уравнений, которой соответствует минимальное из всех положительных отношений. В
рассматриваемом примере – это первая строка, которой соответствует отношение 20 000.
Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х
с
1
единичным коэффициентом:
51
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
+ 2/3 Х2 + 2/1,2 Х3 + 200 Х4 = 20000 .
Х
1
Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и
сложим со второй строкой, чтобы исключить член с Х
, полу-
1
чим
7/900 Х
+ 4/900 Х3 – 2/3 Х4 + Х5 = 100/3.
2
Ту же преобразованную первую строку умножим на (-15)
и сложим со строкой, в правой части которой стоит F, получим:
– 11 Х3 – 3000 Х4 = F – 300000.
2 Х
2
В результате система уравнений преобразуется к виду, в
котором переменная Х
+ 2/3 Х2 + 2/1,2 Х3 + 200 Х4 = 20 000 ,
Х
1
7/900 Х
2 Х
2
входит только в первое уравнение:
1
+ 4/900 Х3 – 2/3 Х4 + Х5 = 100/3,
2
Х
/ 80 + Х6 = 100 ,
3
– 11 Х3 – 3000 Х4 = F – 300 000.
Очевидно, у новой системы имеется улучшенное по
сравнению с исходным решение, соответствующее другой
вершине выпуклого многогранника в шестимерном пространстве:
Х1 = 20 000; Х2 = Х3 = Х4 = 0; Х5 = 100/3; Х6 = 100, F = 300 000.
В терминах исходной задачи это решение означает, что
надо выпускать только кухни. Такое решение приемлемо, если допустимо выпускать только один вид продукции.
Повторим описанную операцию. В строке с F имеется
еще один положительный коэффициент – при Х
(если бы по-
2
ложительных коэффициентов было несколько – мы взяли бы
максимальный из них). На основе коэффициентов при Х
не при Х
, как в первый раз) образуем частные от деления со-
1
(а
2
ответствующих свободных членов на эти коэффициенты:
20 000 / (2/3) = 30 000; (100/3) / (7/900) = 30 000/7; 100/0 = + ∞.
Таким образом, нужно выбрать вторую строку, для которой имеем наименьшее положительное отношение 30000/7.
52
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы коэффициент при
Х
равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем
2
строкам, содержащим Х
, предварительно умножив их на
2
подходящие количества, т.е. такие, чтобы все коэффициенты
при Х
стали бы после сложения равны 0, за исключением ко-
2
эффициента второй строки, который уже стал равняться 1.
Получим систему уравнений:
Х
+ 9/7 Х3 + 1800/7 Х4 – 600/7 Х5 = 120 000/7;
1
Х
+ 4/7 Х3 – 600/7 Х
2
– 85/7 Х
– 19 800/7 Х4 – 1800/7 Х5 = F – 308 571.
3
/ 80 + Х6 = 100;
Х
3
+ 900/7 Х5 = 30 000/7;
4
Поскольку все переменные неотрицательны, то из последнего уравнения следует, что прибыль F достигает своего
максимального значения, равного 308 571, при Х
Из остальных уравнений следует, что при этом Х
=17 143, Х
= 30 000/7 = 4286, Х6 = 100. Поскольку в строке с F
2
= Х4 = Х5 = 0.
3
= 120 000/7=
1
не осталось ни одного положительного коэффициента при
переменных, то алгоритм симплекс-метода закончил свою работу, оптимальное решение найдено.
Практические рекомендации таковы: надо выпустить
17 143 кухни, вчетверо меньше, т.е. 4 286, кофемолок, самоваров не выпускать вообще. При этом прибыль будет максимальной и равной 308 571. Все производственное
оборудование будет полностью загружено, за исключением линии по
сборке самоваров.
Транспортная задача. Различные технико-экономи-
ческие и экономические задачи производственного менеджмента, от оптимальной загрузки станка и раскройки стального
листа или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса
и оценки темпов роста экономики страны в целом, приводят к
необходимости решения
тех или иных задач линейного программирования. В качестве очередного примера рассмотрим
так называемую транспортную задачу. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их
потребностей. Необходимо доставить товар со складов потре-
53
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
бителям. Можно по-разному организовать «прикрепление»
потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.
Например, может идти речь о перевозке песка – сырья
производства кирпичей. В Москву песок обычно доставля-
для
ется самым дешевым транспортом – водным. Поэтому в качестве складов можно рассматривать порты, а в качестве запасов
– их суточную пропускную способность. Потребителями являются кирпичные заводы, а их потребности определяются
суточным производством (в соответствии с имеющимися заказами). Для доставки необходимо загрузить автотранспорт,
проехать по определенному маршруту и разгрузить его.
Стоимость этих операций рассчитывается по известным правилам, на которых не имеет смысла останавливаться. Поэтому
затраты на доставку товара с определенного склада тому или
иному потребителю можно считать известными.
Рассмотрим пример транспортной задачи, исходные
данные к которой представлены в табл. 2.3, где, кроме объемов
потребностей
и величин запасов, приведены стоимости доставки единицы товара со склада i = 1, 2, 3, потребителю j, j = 1,
2, 3, 4. Например, самая дешевая доставка – со склада 2 потребителям 1 и 3, а также со склада 3 потребителю 2. Однако на
складе 2 имеется 80 единиц товара, а потребителям 1 и 3 требуется 50+70 =120 единиц, поэтому к ним придется вести товар и с
других складов. Обратите внимание, что в табл.3 запа-
сы на складах равны суммарным потребностям.
Надо спланировать перевозки, т.е. выбрать объемы Х
поставок товара со склада i потребителю j. Таким образом,
всего в задаче имеется 12 переменных. Они удовлетворяют
двум группам ограничений. Во-первых, заданы запасы на
складах:
ij
54
Задачипринятияинновационныхрешений
5 5
1 4
5 2
70 40
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
Таблица 2.3
Исходные данные к транспортной задаче
Показатель Потреби-
тель 1
Потреби-
тель 2
Потреби-
тель 3
Потреби-
тель 4
Запасы
на
складах
Склад 1
Склад 2
Склад 3
Потреб-
2 5
1 2
3 1
50 40
60
80
60
200
ности
X
+ Х
11
+ Х
X
21
X
+ Х
31
12
22
32
+ Х
+ Х
+ Х
13
23
33
+ Х
+ Х
+ Х
= 60;
14
= 80;
24
= 60.
34
Во-вторых, известны потребности клиентов:
+ Х21 + Х
X
11
X
+ Х22 + Х
12
X
+ Х23 + Х
13
X
+ Х24 + Х
14
= 50;
31
= 40;
32
= 70;
33
= 40.
34
Итак, всего 7 ограничений типа равенств. Кроме того,
все переменные неотрицательны – еще 12 ограничений.
Целевая функция – издержки по перевозке, которые не-
обходимо минимизировать:
F = 2 X
+ 5 Х
11
12
+3 X
+ 4 Х
+ Х
31
+ 5 Х
13
32
+ 5 Х
14
33
+ X
+ 2 Х
+ 2 Х
21
34
+ Х
22
→ min .
+ 4 Х
23
24
+
Кроме обсуждаемой, рассматриваются также различные
иные варианты транспортной задачи. Например, если доставка производится вагонами, то объемы поставок должны быть
кратны вместимости вагона.
Количество переменных и ограничений в транспортной
задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта.
Целочисленное программирование. Задачи оптимиза-
ции,
в которых переменные принимают целочисленные зна-
55
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
чения, относятся к целочисленному программированию. Рассмотрим несколько таких задач.
Задача о выборе оборудования. На приобретение
оборудования для нового участка цеха выделено 20 000
долл. США. При этом можно занять площадь не более 38 м
2
.
Имеется возможность приобрести станки типа А и станки
типа Б. При этом станки типа А стоят 5 000 долл. США, занимают площадь 8 м
2
(включая необходимые технологиче-
ские проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц
продукции за смену. Станки типа Б стоят 2 000 долл. США,
занимают площадь 4 м
2
и имеют производительность 3 тыс.
единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей
производительности участка.
Пусть Х – количество станков типа А, а У – количество
станков типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность
С участка (в тыс. единиц за смену):
С = 7 Х + 3 У → max .
При этом должны быть выполнены следующие ограничения:
по стоимости, в тыс. долл. США
5 Х + 2 У ≤ 20,
2
по занимаемой площади, м
8 Х + 4 У ≤ 38,
а также вновь появляющиеся специфические ограничения по
целочисленности, а именно, Х ≥ 0 , У ≥ 0 , Х и У – целые количества.
Сформулированная математическая задача отличается
от задачи линейного программирования только последним
условием целочисленности. Однако наличие этого условия
позволяет (в данном случае) легко решить задачу перебором.
Действительно, как ограничение
по стоимости, так и ограни-
56
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
чение по площади дают, что Х ≤ 4. Значит, Х может принимать лишь одно из пяти значений: 0, 1, 2, 3, 4.
Если Х = 4, то из ограничения по стоимости следует, что
У = 0, а потому С = 7 Х = 28.
Если Х= 3, то из первого ограничения вытекает, что У ≤ 2,
из второго У ≤ 3. Значит, максимальное С при условии
выпол-
нения ограничений достигается при У =2, а именно С = 21 + 6=
= 27.
Если Х= 2, то из первого ограничения следует, что У ≤ 5,
из второго также У ≤ 5. Значит, максимальное С при условии
выполнения ограничений достигается при У =5, а именно С =
=14 + 15 = 29.
Если Х= 1, то из первого ограничения имеем У ≤ 7, из
второго также У
≤ 7. Значит, максимальное С при условии вы-
полнения ограничений достигается при У = 7, а именно С = 7+
+ 21 = 28.
Если Х= 0, то из первого ограничения вытекает У ≤ 10, из
второго У ≤ 9. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У = 9, а именно, С = 27.
Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная
производительность С = 29 (
тыс единиц продукции за смену)
достигается при Х = 2, У = 5. Следовательно, надо покупать два
станка типа А и пять станков типа Б.
Задача о ранце. Общий вес ранца заранее ограничен.
Какие предметы положить в ранец, чтобы общая полезность
отобранных предметов была максимальна? Вес каждого предмета известен.
Есть много эквивалентных формулировок.
Например,
можно вместо ранца рассматривать космический аппарат –
спутник Земли, а в качестве предметов – научные приборы.
Тогда задача интерпретируется как отбор приборов для запуска на орбиту. Правда, при этом предполагается решенной
предварительная задача – оценка сравнительной ценности
исследований, для которых нужны те или иные приборы.
С точки зрения экономики предприятия и организации
производства более актуальна другая интерпретация задачи о
57
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
ранце, в которой в качестве «предметов» рассматриваются заказы (или варианты выпуска партий тех или иных товаров), в
качестве полезности – прибыль от выполнения того или иного
заказа, а в качестве веса – себестоимость заказа.
Перейдем к математической постановке. Предполагается, что имеется n предметов, и для каждого из них необходимо
решить, класть
шения вводятся булевы переменные Х
его в ранец или не класть. Для описания ре-
, k = 1,2,…, n (т.е. пере-
k
менные, принимающие два значения, а именно, 0 и 1). При
этом Х
нет. Для каждого предмета известны две константы: А
го предмета, и
= 1, если предмет размещают в ранце, и Хk = 0, если
k
вес k-
k –
полезность k-го предмета, k = 1,2,…, n . Мак-
Сk –
симально возможную вместимость ранца обозначим В. Оптимизационная задача имеет вид
C
+ С2 Х2 + С3 Х3 + …. + СnХ
1 Х1
А
+ А2 Х2 + А3 Х3 + …. + АnХ
1 Х1
→ max ,
n
≤ В.
n
В отличие от предыдущих задач, управляющие параметры Х
, k = 1,2,…, n , принимают значения из множества, со-
k
держащего два элемента – 0 и 1.
К целочисленному программированию относятся задачи
размещения (производственных объектов), теории расписаний, календарного и оперативного планирования, назначения персонала и др.
Существуют два распространенных метода решения задач целочисленного программирования
Метод приближения непрерывными задачами. В соответ-
ствии с ним сначала
решается задача линейного программирования без учета целочисленности, а затем в окрестности оптимального решения ищутся целочисленные точки.
Методы направленного перебора. Из них наиболее известен метод ветвей и границ. Суть метода такова. Каждому
подмножеству Х множества возможных решений Х
ставится в
0
соответствие количество – «граница» А(Х). При решении за-
дачи минимизации необходимо, чтобы А(Х
Х
входит в Х2 или совпадает с Х2 .
1
) ≥ А(Х2), если
1
58
Задачипринятияинновационныхрешений
вусловияхопределенностипоскалярномупоказателю
Каждый шаг метода ветвей и границ состоит в делении
выбранного на предыдущем шаге множества Х
Х
. При этом пересечение Х
2С
совпадает с
выделяют «ветвь» Х
. Затем вычисляют границы А(Х
ХС
С+1
– то из множеств Х
1С
и Х
пусто, а их объединение
2С
1С
на два – Х
С
) и А(Х2С) и
1С
1С
и
и Х2С, для которо-
го граница меньше. Алгоритм прекращает работу, когда диаметр вновь выделенной ветви оказывается меньше заранее заданного малого количества
Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации)
метод ветвей и границ реализуется по-своему. Есть много модификаций этого метода.
Понятие нелинейного программирования. В большин-
стве инженерных задач построение математической модели
не удается свести к задаче линейного программирования.
Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или
процессов связанны между собой физическими нелинейными
законами, такими, как
законы сохранения массы или энергии.
Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи
нелинейного программирования (НП).
В течение последних двух десятилетий из нелинейного
программирования выделились
выпуклое программирование,
квадратичное программирование,
целочисленное программирование,
стохастическое программирование,
динамическое программирование и др.
самостоятельные разделы:
59
Принятиеуправленческихрешенийвинновационнойсфере
Классификация методов нелинейного программирова-
ния.
Для решения задачи нелинейного программирования
было предложено много методов, которые можно классифицировать по различным признакам.
По количеству локальных критериев в целевой функции методы нелинейного программирования делятся:
на однокритериальные;
многокритериальные.
По количеству параметров методы делятся:
на однопараметрические или одномерные;
многопараметрические или многомерные.
По наличию ограничений методы нелинейного программирования делятся:
на без ограничений (безусловная оптимизация);
с ограничениями (условная оптимизация).
По типу информации, используемой в алгоритме поиска
экстремума, методы делятся:
на методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при
поиске экстремума целевой функции используются
только ее значения;
градиентные методы первого порядка, в которых при
поиске экстремума функции используются значения ее
первых производных;
градиентные методы второго порядка, в которых при
поиске экстремума функции наряду с первыми произ-
водными используются и вторые производные.
Ни один метод нелинейного программирования не
является универсальным. В каждом случае необходимо приспособлять применяемый метод к особенностям решаемой
задачи.
Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны
и (или) целевая функция, и (или) ограничения в ви-
де неравенств или равенств.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]