Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принципы работы аналоговых электроизмерительных приборов. Учебно-методическое пособие
.pdf
0,05. При определении точности измерения — это число берётся в качестве
абсолютной погрешности измерения диэлектрической проницаемости.
Правила округления:
При округлении последняя сохраняемая цифра не изменяется, если
первая отбрасываемая цифра меньше 5. Например, 7,127,1;
47,24 47; 10531050.
Последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если
первая отбрасываемая цифра больше 5. Например, 3,773,8;
12,91 13; 586,6590.
Если в числе, подлежащем округлению, первая отбрасываемая
цифра равна 5, то:
o Если за ней есть одна или несколько цифр отличных от нуля,
то сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например,
4,352 4,4; 8,50129; 475,08 480.
o Если за ней нет значащих цифр, то последняя сохраняемая
цифра остаётся неизменной, если она чётная, и увеличивается
на единицу, если она нечётная. Например, 74,5 74; 5,5 6;
0,035 0,04; 0,0007850,00078.
Правила округления погрешностей:
Если первая значащая цифра в погрешности 1, 2 или 3, то
в погрешности оставляют две значащие цифры. Если первая
значащая цифра в погрешности 4, 5, 6, 7, 8 или 9, то в погрешности
оставляют одну значащую цифру. Например, 0,01216 0,012;
8,217 8; 24272400.
Измеренное значение должно заканчиваться тем же младшим
разрядом, что и абсолютная погрешность.
При округлении погрешностей последняя сохраняемая цифра
увеличивается на единицу, если первая отбрасываемая цифра равна
3 или больше. Например, 7,3 8; 18,24 18; 0,17401 0,18.
Вычисления с приближёнными числами. При математических операциях
над приближёнными числами получается так же приближённое число, в котором
обычно некоторые цифры неверные. В конечном результате должны сохраняться
только верные цифры. В лабораторных отчетах, а также, если полученный
61
результат будет участвовать в дальнейших вычислениях, сохраняется
и сомнительная цифра.
Следовательно, при наличии неверных цифр, результат должен быть
округлён до разряда сомнительной цифры, т. е. неверные цифры отбрасываются.
Сохранение при вычислениях неверных цифр существенно усложняет расчёты.
Этого можно избежать, если исходные данные предварительно округлить так,
чтобы в окончательном результате отсутствовали неверные цифры.
Число знаков, которое надо оставить в исходных данных для того, чтобы
избавиться в результате от неверных и сохранить все верные цифры,
определяется правилами округления цифр для различных математических
операций. Рассмотрим эти правила подробнее.
Сложение (вычитание).
получается неверная, верной с сомнительной — сомнительная цифра. Разряд
сомнительной цифры результата определяется слагаемым, у которого разряд
сомнительной цифры выше, т. е. разряд сомнительной цифры алгебраической
суммы совпадает с разрядом сомнительной цифры слагаемого, сомнительная
цифра которого имеет самый высокий из всех слагаемых разряд.
Следовательно, для упрощения расчетов перед вычислениями все слагаемые
должны округляться при сохранении запасной цифры, до разряда сомнительной
цифры слагаемого, у которого разряд сомнительной цифры самый старший.
Пример:
соединенных трёх сопротивлениях R
всей цепочке если известно, что вольтметр класса точности 1,0 с пределом 3
показывает падение напряжения 2,54 В, вольтметр класса точности 1,0
с пределом 30 В, показывает соответственно 26,2 В, а вольтметр класса точности
вольтметрами измеряют падение напряжения на последовательно
При сложении верной цифры с неверной
, R2 и R3. Необходимо найти напряжение на
1
2,0 с пределом на 150 В показывает 82,5 В. Приведённые абсолютные
погрешности вольтметров соответственно равны 0,03 с, 0,3 В и 3 В. Разряд
старшей сомнительной цифры — единицы. Все слагаемые, руководствуясь
правилом подсчёта цифр, следует округлить до единиц. В результате получим
U 2 26 82 110 В.
Предельная абсолютная погрешность определяется погрешностью
вольтметра с пределом 150 В. Погрешности, вносимые другими вольтметрами,
являются несущественными. Окончательный результат следует записать в виде
𝑈110 3 B. Сомнительная цифра результата стоит в разряде единиц.
62
Деление и умножение. При умножении верной цифры на неверную
получается неверная цифра, сомнительной на верную — сомнительная цифра.
В произведении или частном будет столько верных цифр, сколько их было
в исходном данном (сомножителе, делимом, делителе) с наименьшим числом
верных цифр. Для упрощения расчетов во всех исходных данных перед началом
вычислений следует оставить столько значащих цифр, сколько их в исходном
данном с наименьшим числом значащих цифр. При последовательном
умножении нескольких чисел промежуточные результаты необходимо округлять, оставляя одну лишнюю запасную цифру.
Пример: определить мощность, потребляемую нагрузкой, если
миллиамперметр класса точности 1,0 с пределом 15 мА показывает 5,3 мA,
а вольтметр класса 1,0 и пределом 300 В показывает 127,5 В. Абсолютные
погрешности, вносимые приборами, соответственно равны 0,15 мА и 3 В.
В числе, дающем напряжение на нагрузке, последняя цифра неверная,
предпоследняя — сомнительная. В числе, определяющем ток, последняя цифра
сомнительная. Число, характеризующее ток, содержит две значащих цифры,
напряжение — три.
Осуществляя операцию умножения, мы должны оставить в сомножителях
по две значащих цифры. Округлив получаем: 𝐼5,3 мА и U1,3∙10 В.
Мощность на нагрузке равна: 𝑃𝐼𝑈5,3∙10
∙1,3∙10689 мВт.
Согласно правилам округления, только первые две цифры в результате
значащие, последняя цифра — неверная. Отбрасывая неверную цифру и
округляя получаем: 𝑃690 мВт. Вычисления можно вести, не опасаясь внести
в результат заметную ошибку.
Возведение в степень. В степени берётся столько значащих цифр, сколько
их в основании. Это следует из правил округлений при умножении. Поскольку
возведение в степень — это перемножение одинаковых сомножителей.
Извлечение корня. Результат должен содержать столько верных цифр,
сколько их в подкоренном выражении.
Пример: зная номинальную величину сопротивления
𝑅 340 кОм
с относительной ошибкой измерения 10% и мощность 𝑃 2 Вт, определить ра-
бочее напряжение. Абсолютная ошибка для сопротивления — 34 кОм. Сохраняя
только верные цифры, получаем: 𝑈√𝑈𝑅
√2∙34∙10√68 ∙ 10 830 В.
63
Логарифмирование. Мантисса логарифма некоторого числа должна
содержать такое же количество значащих цифр, как и само число.
Задания для контроля знаний к главе 2
Задание № 2.1: Расскажите, на какие группы разделяют погрешности и чем
они отличаются. Приведите примеры источников погрешностей каждой группы.
Задание № 2.2: Расскажите, что такое абсолютная и относительная
погрешность, чем они отличаются и для чего необходима каждая из них.
Задание № 2.3: Что такое статистическая погрешность измерения?
Расскажите, как она определяется.
Задание № 2.4: Расскажите, что такое погрешность класса точности, как
она переделяется и с чем связано её возникновение. Расскажите, что такое
погрешность отсчёта, из-за чего она возникает и чем отличается от погрешности
отсчёта?
Задание № 2.5: Определите верные, сомнительные и неверные цифры
результатов измерений. Округлите измеренные значения и погрешность.
Запишите конечный результат оценки физической величины.
a) Результат измерения величины 𝐺: 0,387;
абсолютная погрешность δ𝐺: 0,247.
b) Результат измерения величины 𝐹: 1,754;
абсолютная погрешность δ𝐹: 0,128.
c) Результат измерения величины 𝑇: 4,35012;
абсолютная погрешность δ𝑇: 0,1087.
d) Результат измерения величины 𝑉: 0,998;
абсолютная погрешность δ𝑉: 0,22.
e) Результат измерения величины 𝑀: 12,509;
абсолютная погрешность δ𝑀: 7,357.
64
Задание № 2.6: Определите статистическую погрешность, погрешность
𝑿
класса точности и погрешность отсчёта. Подумайте, какой вопрос может
возникнуть при анализе предоставленных в задании результатов?
a) Результаты измерения величины Z: 7,388 ед.; 7,397 ед.; 7,377 ед.;
7,389 ед.; 7,381 ед.
Класс точности прибора: 1,5.
Предел измерения: 15 ед.
Цена деления: 0,5 ед.
b) Результаты измерения величины D: 13,614 ед.; 13,589 ед.; 13,620 ед.;
13,608 ед.; 13,593 ед.
Класс точности прибора: 2,5.
Предел измерения: 30 ед.
Цена деления: 1 ед.
c) Результаты измерения величины Y: 25,74 ед.; 26,02 ед.; 25,81 ед.;
25,99 ед.; 25,78 ед.
Класс точности прибора: 0,5.
Предел измерения: 100 ед.
Цена деления: 1 ед.
Задание № 2.7: Студенту необходимо определить величину 𝐸, исходя из
формулы 𝐸𝑋𝐶𝑆. Ниже приведены таблицы измерений величин 𝑋, 𝐶 и 𝑆,
а также соответствующие погрешности класса точности и цены деления.
Найдите формулы для определения абсолютной и относительной погрешности.
Запишите результат определения величины 𝐸 с учётом погрешности.
Величина Х
№
изм
, ед.
1 12,43
Величина C
№
𝑪
изм
, ед.
1 22,37
Величина S
№
𝑺
изм
, ед.
1 4,25
2 12,52
3 12,49
4 12,55
5 12,74
2 21,98
3 22,22
4 22,31
5 20,05
2 4,08
3 4,17
4 4,21
5 3,87
65
Погрешность класса
Погрешность класса
Погрешность класса
точности δ
Цена деления δ
кл.т.
: 1,5
отсч.
: 0,5
точности δ
кл.т.
Цена деления δ
: 2,0
отсч.
: 0,2
точности δ
кл.т.
Цена деления δ
: 0,5
отсч.
: 1
Задание № 2.8: Студент провёл измерения физической величины 𝑈.
Основываясь на таблице полученных значений и фотографии измерительного
прибора, запишите окончательный результат с учётом погрешности. Найдите
относительную погрешность.
Измеренные значения:
№ Показания, В.
1 45,5
2 46,0
3 45,8
4 46,2
5 44,7
66
Задание № 2.9: Ответьте на вопросы:
a) Дано число 1756,00 0,01:
1. Сколько неверных цифр содержит число?
2. Сколько верных цифр содержит число?
3. Сколько значащих цифр содержит число?
b) Дано число 0,017 0,001:
1. Сколько незначащих цифр содержит число?
2. Сколько верных цифр содержит число?
Задание № 2.10: Выполните задания по анализу полученных данных:
a. В результате измерения тока получили значение 𝐼1,245 мА.
Измерения проводили прибором класса точности 1,0 с пределом
измерения 3 мА.
1. Определите последнюю верную цифру в полученном числе.
2. Правильно ли произведён отсчёт в рассматриваемом выше
примере?
3. Какой была бы последняя верная цифра в числе,
характеризующем ток, если бы прибор обладал классом
точности 0,2 и пределом 3 мА?
b. Измерение осуществлялось прибором класса 1,0 на пределе 15 мА.
Получен результат 𝐼1,25 мА. Какая цифра в полученном
результате является последней верной?
c. Вольтметром класса точности 2,0 с пределом 150 В измерено
напряжение 𝑈125 В. Какая цифра в полученном результате
является сомнительной?
Задание № 2.11: Определите результат математических действий
с приближёнными числами, ответьте на вопросы:
a. Найдите произведение двух чисел 0,073568 и 52,3 с учётом, что
последние цифры в числах — сомнительные. Сколько верных цифр
будет содержать произведение?
67
b. Найдите отношение чисел 0,037581 и 275,3 с учётом, что все
цифры — значащие, а последние цифры — сомнительные.
Определите, сколько верных цифр будет у частного.
c. Найдите произведение чисел 275,3 и 31, учитывая, что все цифры
у чисел — верные. Сколько значащих цифр стоит оставить
в исходных данных для выполнения операции умножения?
d. Найдите результат возведения в квадрат числа 0,02703, у которого
последняя цифра — сомнительная. Сколько верных цифр будет
содержать результат?
e. Найдите результат произведения чисел 0,075 и 232, учитывая, что
последние цифры чисел — сомнительные. Сколько верных цифр
будет содержать произведение?
Задание № 2.12: Определите результат математических действий
с приближёнными числами, ответьте на вопросы:
a. Извлеките квадратный корень из числа 527, у которого все числа —
значащие. Сколько верных цифр должно получиться в результате?
b. Извлеките кубический корень из числа 527, у которого все числа —
значащие. Сколько верных цифр должно получиться в результате?
c. Сколько значащих цифр будет содержать мантисса числа 27, если все
цифры числа — значащие?
d. Сколько значащих цифр содержит число, если его логарифм равен
2,275?
Задание № 2.13: Определите результат математических действий
с приближёнными числами, ответьте на вопросы:
a. Сложите числа 3,1; 17534; 0,018; 0,21; 254, у которых все цифры —
значащие, а последние цифры — сомнительные. Сколько верных
цифр будет содержать сумма чисел?
68
b. Сложите числа 3,1; 0,18; 0,294; 188, у которых все цифры —
значащи
е, а последние цифры — сомнительные. Сколько
верных
цифр будет содержать сумма чисел?
айдите разность чисел 125,8 и 173,4, у которых последние цифры
c. Н
сомнительные. Определите последнюю
верную цифру разности.
d. В таблице дана работа выхода электрона из в
4,54 электронвольта.
этого значения? Выразите её в миллив
Задание
№2. 14: Амперметром класса точности 2,0, пределом измерения
Чему равна предельно допустимая ошибка для
ольтах.
ольфрама
—
300 мА и ценой деления 50 мА измерена сила тока 𝐼100 мА. Определите
абсолютную погрешность измерения. Определите относительную погрешность
измерения. Чему была бы равна относительная погрешность измерения, если бы
измеренное значение равнялось 200 мА?
Задание №2. 15: С помощью амперметра с классом точности 2,0
и пределом измерения 100 мА определены значения силы тока 𝐼
50 мА и 𝐼
75 мА. Определите, чему равно отношение относительны погрешностей?
Задание №2. 16: Абсолютная погрешность эксперимента 16. В каком
разряде находится сомнительная цифра в числе, дающем значение физической
величины, определяемой в эксперименте?
Задание № 2. 17: Для определения параметров катушки применён метод
амперметра и вольтметра и ваттметра. При этом использовались амперметр
(𝐼
10 А, класс точности кл.т.1,5), вольтметр (𝑈
ном
ватт метр (𝑃
600 Вт, кл. т.1,0). Показания приборов: 𝐼10 А, 𝑈 150 В,
ном
200 В, кл.т.2),
ном
𝑃300 Вт. Найти максимально возможные относительные и абсолютные
погрешности измерения активного сопротивления и коэффициента мощности
катушки. Примечание: номинальными значениями называют максимально
допустимые значения для данного прибора.
69
Задание № 2.18: Расскажите алгоритм определения погрешности
косвенных измерений. Приведите пример определения погрешности косвенных
измерений для случая, когда мощность определяется методом вольтметра
и амперметра.
Задание № 2.19: Сопротивление нагрузки измеряют методом амперметра
и вольтметра. Вольтметр имеет класс точности 1,0, предел шкалы измерения
150 В и цену деления 2 В, а амперметр — класс точности 1,5, предел шкалы
измерения 30 А и цену деления 1 А. Определите величину сопротивления,
а также относительную и абсолютную погрешность, если при измерении
показание вольтметра было равно 110 В, а показание амперметра — 5 А.
Задание № 2.20: Получите формулу для определения абсолютной
и относительной погрешности косвенных измерений для случая, когда искомая
величина вычисляется по формуле:
𝐴
a.
b. 𝐴
c. 𝐴
;
;
;
d. 𝐴√𝑎𝑏;
e. 𝐴
𝐴ln𝑎
f.
;
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]