Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принципы работы аналоговых электроизмерительных приборов. Учебно-методическое пособие
.pdf
приходится учитывать различные факторы, вводить поправки к показаниям
приборов, дополнять теоретические модели.
Случайные погрешности — это результат флуктуаций и непостоянства
исследуемых объектов или явлений. Данную неточность никак нельзя избежать,
она будет присутствовать всегда, изменяя полученное значение в большую или
в меньшую сторону от истинного. Для уменьшения влияния данного фактора
нужно прибегнуть к многократности измерений. Это позволит скомпенсировать
отклонения измеряемой величины в разные стороны.
Для практики в большинстве случаев достаточно оценить ошибку
с точностью порядка 30%, пренебрегая ошибками, которые меньше одной трети
максимальной ошибки. Если эту точность взять за основу, то все ошибки,
меньше одной трети максимальной, нужно считать не вносящими заметного
вклада в окончательную ошибку.
§ 11. Статистические погрешности.
Абсолютная и относительная погрешность
Положим, что нами несколько раз была измерена некая физическая
величина 𝑥. В таком случае, наиболее точное (близкое к истинному) значение
будет определяться средним арифметическим полученных результатов:
𝑥
𝑥
𝑥⋯𝑥
𝑛
1
𝑥
𝑛
. (11.1)
Отклонение каждого i-ого результата от среднего будет являться
абсолютной погрешностью i-ого измерения:
|𝑥𝑥
δ𝑥
|
.
(11.2)
Среднее арифметическое всех абсолютных погрешностей:
δ𝑥
δ𝑥
δ𝑥⋯δ𝑥
𝑛
1
𝛿𝑥
𝑛
(11.3)
будет являться средней абсолютной погрешностью для среднего
арифметического 𝑥
.
Таким образом окончательный результат наших измерений величины 𝑥
будет определяться как окрестность значения 𝑥
в пределах от δ𝑥 до δ𝑥. Ответ
запишем:
51
𝑥𝑥
δ𝑥.
(11.4)
Данный пример познакомил нас с, так называемой, абсолютной
погрешностью измерения, то есть с той величиной, которая задаёт диапазон,
в границах которого может лежать истинное значение измеряемой величины.
Однако абсолютной погрешности недостаточно. В частности, бывает
трудно оценить точность измерения, имея на руках только полученное значение
и его абсолютную погрешность. Действительно, пусть, например, имеются
данные двух измерений длины с соответствующими абсолютными
погрешностями: 𝐿
2500 600 км и 𝐿0,025 0,008 нм. Встаёт вопрос,
какая из величин измерена точнее? Обыватель мог бы подумать, что второе
измерение выполнено с большей точностью, поскольку в первом случае длина
измеряется в километрах, да и погрешность в несколько сотен, а во втором
случае всё выражено в нанометрах, да ещё и погрешность с несколькими нулями
после запятой. Однако в действительности это предположение будет
ошибочным. Для того, чтобы убедиться в этом нужно определить
относительную погрешность, которая, в соответствии со своим названием,
определяется выраженным в процентах отношением абсолютной погрешности
и полученного значения:
Тогда, применив формулу, для первой величины мы получим δ𝐿
а для второй — δ𝐿
отн.
δ𝑥
отн.
100%.
отн.
32%. По своей сути относительная погрешность
(11.5)
24%,
показывает, какую долю от измеренного значения занимает погрешность. То
есть, относительная погрешность в 30% показывает, что измеренное значение
может быть больше или меньше истинного значения вплоть до 30% от своей
величины. Соответственно, относительная погрешность в 50% говорит о том,
что в действительности истинная величина может быть меньше или больше
измеренной вплоть до половины полученного значения.
§ 12. Точность измерений и измерительных приборов
Измерительные приборы принято характеризовать единицей цены
деления, а также пределом измерения. Когда мы проводим эксперимент
и замеряем какое-либо значение, то отслеживаем, сколько делений показывает
стрелка прибора (например, при измерении силы тока амперметром) или какую
52
часть прибора занимает измеряемый объект (измерение длины проволоки
𝐴𝐴
𝐴
с помощью линейки). Конечно, такую оценку невозможно провести абсолютно
точно. Это связано с множеством причин, в том числе с человеческим фактором.
Кроме того, возможны случаи, когда стрелка прибора не будет установлена на
какое-то конкретное значение, а будет находиться где-то между двумя
соседними делениями (рис. 24).
Рис. 24. Показания вольтметра
В такой ситуации, во-первых, можно попробовать определить, ближе
к какому из делений располагается стрелка и принять измеренное значение
равным значению, которому соответствует это деление. Во-вторых, если
определить ближайшее деление всё же не удаётся, нужно принять измеренное
значение равным наименьшему из двух соседних делений плюс половина цены
деления. Например, на рисунке стрелка прибора находится где-то между
значениями 0,6 и 0,8, цена деления прибора равна 0,2. Визуально видно, что
стрелка располагается ближе к делению, которое соответствует значению 0,6.
Таким образом, верным решением будет принять измеренную величину равной
0,6. В приведённом примере при выборе значения мы ошибаемся на половину
цены деления. В результате, измеренная нами величина будет иметь
погрешность равную половине цены деления измерительной шкалы и запишется
как 0,6 0,1. Такую погрешность принято называть погрешностью отсчёта
δ
. Таким образом, для измеренной прибором величины 𝐴 имеем:
отсч.
ц.д.
изм.
2
53
изм.
δ
отсч.
.
(12.1)
Важной характеристикой прибора является класс точности — это
комплексная характеристика, определяемая погрешностями, связанными
с конструктивными особенностями прибора. Определяется она как выраженное
в процентах отношение абсолютной погрешности к максимально возможному
значению измеряемой величины, то есть к используемому пределу измерения:
кл.т.
кл.т.
пред.изм.
100%.
(12.2)
Таким образом, зная класс точности прибора (обычно указывается
изготовителем) и его предел измерения можно определить погрешность класса
точности (паспортную погрешность) для всякого измерения,
осуществлённого с помощью данного прибора:
пред.изм.∗кл.т.
кл.т.
%
δ
.
(12.3)
Также стоит затронуть вопрос погрешности приборов с цифровым
дисплеем. Обычно понятие класса точности к таким приборам не применяется,
но тем не менее паспорт цифрового измерительного прибора должен содержать
информацию о допустимых погрешностях и (или) о формулах для их
вычисления. Однако в случаях, когда паспорт прибора отсутствует, можно взять
в качестве погрешности единицу наименьшего разряда чисел, выводимых на
дисплей. Например, если цифровой измерительный прибор показывает значение
8,784. То погрешность можно принять равной 0,001.
§ 13. Сложение погрешностей
Думается, что на данный момент читатель отчётливо представляет, что
видов экспериментальных погрешностей довольно много, причины их
возникновения различны и не взаимоисключаемы. В связи с этим встаёт
закономерный вопрос о том, как учесть погрешности от разных, независимых
источников.
Положим, что в результате измерения мы получили некое значение 𝑁
изм.
,
а также нам известна погрешность класса точности (класс точности прибора
и предел измерения) δ
и погрешность отсчёта (половина цены деления) δ
кл.т.
отсч.
.
Так как источники этих погрешностей независимы, то необходимо учитывать
обе величины. Результирующая погрешность будет определяться как корень
квадратный из суммы квадратов независимых погрешностей:
54
Соответственно:
δ𝑁δ
кл.т.
δ
отсч.
.
(13.1)
𝑁𝑁
изм.
δ𝑁.
(13.2)
Стоит отметить, что бывают случаи, когда при сложении погрешностей их
величины сильно отличаются друг от друга. В таком случае имеет смысл
облегчить себе задачу вычисления и просто пренебречь малыми погрешностями.
Считается, если одна погрешность меньше другой более чем в три раза ею можно
пренебречь.
§ 14. Погрешность косвенных измерений
Довольно часто определяемая в результате эксперимента величина не
измеряется напрямую, а находится путём измерения других величин
и применения их для конечного расчёта. Например, необходимо определить
сопротивление резистора, для этого измерим напряжение и силу тока на
выделенном участке, а затем произведём вычисления, пользуясь законом Ома
для участка цепи:
𝑈
𝑅
.
(14.1)
𝐼
В таком случае возникает закономерный вопрос: как определить погрешность
полученного значения? Ответ: используя погрешности, полученные при
определении величин напряжения и силы тока. В данном конкретном случае
будем иметь:
δ𝑅
𝑅
δ𝑈
𝑈
δ𝐼
𝐼
.
(14.2)
Но как же определить формулу, по которой можно найти погрешность при
косвенных измерениях в каждом конкретном случае, когда нам дана функция
нескольких переменных ψ𝑓𝑥
,…,𝑥? Для этого существует следующий
,𝑥
алгоритм:
Логарифмируем выражение ψ𝑓𝑥
,𝑥
,…,𝑥;
55
Находим полный дифференциал от обеих частей равенства
,,…,
𝑑ψ
,,…,
𝑑𝑥
;
Заменяем дифференциалы 𝑑𝑥
𝑑𝑥
,,…,
,𝑑𝑥,…,𝑑𝑥
погрешностями соответствующих величин δ𝑥
При всех абсолютных погрешностях δ𝑥
,δ𝑥,…,δ𝑥
𝑑𝑥⋯
абсолютными
,δ𝑥,…,δ𝑥
заменяем знаки
;
«минус» на знаки «плюс»;
Возводим каждое слагаемое в правой части в квадрат и берём
квадратный корень от правой части равенства.
В результате данных преобразований получим формулу для определения
относительной погрешности
. Для нахождения абсолютной погрешности
необходимо умножить полученную относительную погрешность на величину ψ.
Вернёмся к вычислению сопротивления резистора и рассмотрим всё на
данном примере. Мы измерили напряжение 𝑈 с погрешностью δ𝑈 и силу тока 𝐼
с погрешностью δ𝐼. Формула для вычисления сопротивления нам известна:
𝑈
𝑅
.
(14.3)
𝐼
Давайте определим формулу для вычисления относительной погрешности
сопротивления 𝑅. Для начала прологарифмируем имеющуюся формулу:
𝑈
ln𝑅ln
ln𝑈ln𝐼.
(14.4)
𝐼
Найдём полный дифференциал от обеих частей равенства:
𝑑𝑅
𝑅
𝑑𝑈
𝑈
𝑑𝐼
𝐼
.
(14.5)
Заменим все дифференциалы на абсолютные погрешности:
δ𝑅
𝑅
δ𝑈
𝑈
δ𝐼
𝐼
.
(14.6)
Заменим все знаки «минус» при абсолютных погрешностях на «плюс»:
δ𝑅
𝑅
δ𝑈
𝑈
δ𝐼
𝐼
.
(14.7)
Возведём все слагаемые в правой части в квадрат и возьмём квадратный корень:
56
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
δ𝑅
𝑅
δ𝑈
𝑈
δ𝐼
𝐼
.
(14.8)
Мы получили выражение для определения относительной погрешности. Для
нахождения абсолютной погрешности необходимо умножить всё выражение на
𝑅:
δ𝑅
𝑅.
(14.9)
Нахождение формулы в каждом конкретном случае довольно
ресурсоёмкий, но необходимый процесс. С целью облегчить этот процесс для
наших читателей мы рассмотрим несколько наиболее часто встречаемых типов
выражений.
Выражение формата:
𝑎𝑏.
(14.10)
Логарифмируем:
ln
ln𝑎 𝑏.
(14.11)
Берём полный дифференциал:
∂ln
𝑑𝐴
∂
∂ln𝑎𝑏
∂𝑎
𝑑𝑎
∂ln𝑎𝑏
∂𝑏
𝑑𝑏.
(14.12)
При взятии частных производных пользуемся правилом нахождения
производной сложной функции:
𝑑𝐴
𝑑𝑎
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
𝑑𝑏
.
(14.13)
Заменяем дифференциалы на погрешности:
δ
δ𝑎
𝑎 𝑏
δ𝑏
𝑎 𝑏
. (14.14)
Заменяем знаки «минус» на «плюс»:
δ
δ𝑎
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
δ𝑏
.
(14.15)
Возводим слагаемые правой части в квадрат и берём корень:
57
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
Иначе можно записать:
δ
δ𝑎
𝑎𝑏
δ𝑏
𝑎𝑏
.
(14.16)
δ𝑎
𝑎𝑏
δ
δ𝑏
√
δ𝑎
δ𝑏
𝑎𝑏
.
(14.17)
До этого мы также рассматривали пример определения формулы
относительной погрешности для выражения формата 𝐴
на примере закона
Ома. Для случая произведения двух величин 𝐴𝑎∙𝑏 ситуация будет
практически аналогична. Отличие будет лишь на шаге логарифмирования,
поскольку логарифм частного это разность логарифмов, а логарифм
произведения — сумма логарифмов. Все дальнейшие преобразования будут
идентичны.
Рассмотрев два приведённых случая: 𝐴
или 𝐴𝑎∙𝑏, а также случай
𝐴𝑎𝑏, мы можем определять формулы относительных погрешностей для
случаев комбинации этих выражений, по типу: 𝐴
𝑎 𝑏; 𝐴
. Действительно, для всех этих случаев после логарифмирования
; 𝐴
; 𝐴
; 𝐴𝑐∙
мы будем получать сумму слагаемых типа: ln 𝑎 и ln𝑎 𝑏. Все дальнейшие
действия не будут выходить за рамки рассмотренных нами выше.
В заключение, для полноты картины рассмотрим несколько случаев для
тригонометрических выражений.
Выражение формата:
cos𝑎.
(14.18)
Логарифмируем:
ln
lncos𝑎.
(14.19)
Берём полный дифференциал:
𝑑𝐴
sin𝑎
𝑑𝑎tg𝑎𝑑𝑎.
(14.20)
cos𝑎
Заменяем дифференциалы на погрешности:
58
δ
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
tg𝑎δ𝑎.
(14.21)
Заменяем знаки, возводим в квадрат, берём квадратный корень и получаем:
δ
tg𝑎δ𝑎.
(14.22)
Рассмотрим выражение:
tg𝑎.
(14.23)
Логарифмируем:
ln
lntg𝑎.
(14.24)
Дифференцируем:
1
tg𝑎
cos
𝑑𝑎
𝑎
sin𝑎cos𝑎
𝑑𝐴
𝑑𝑎
𝑑𝑎
1
sin2𝑎
2
2𝑑𝑎
sin2𝑎
.
(14.25)
Заменяем дифференциалы на погрешности, заменяем знаки, возводим в квадрат
и берём квадратный корень:
2δ𝑎
. (14.26)
δ
sin2𝑎
§ 15. Приближённые вычисления
Вычисления следует производить с точностью, необходимой для практики,
т. е. согласовать с точностью измерений. Ошибка, полученная в результате
вычислений, должна быть несущественной для результата, т. е. она должна быть
на порядок меньше ошибки измерений. Вычисления с большей степенью
точности, чем та, с которой определены сами величины, над которыми
производятся операции, не способствуют повышению точности.
Поэтому при обработке результатов эксперимента необходимо
придерживаться правил математических действий над приближенными числами.
Основные понятия.
Любое число записывается при помощи
определенной комбинации знаков (цифр). Положение цифры в числе определяет
её разряд. Разряд целых чисел отсчитывается влево от запятой, отделяющей
дробную часть числа от целой. Первая цифра слева от запятой стоит в разряде
единиц, вторая — десятков, третья — сотен и т. д.
59
Значащие цифры. Все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от
нуля, называются значащими цифрами. Нули, стоящие в середине или в конце
числа (справа) являются значащими цифрами, так как обозначают отсутствие
единиц в соответствующем разряде. Цифры множителя 10
не учитываются.
Пример: числа 136 и 0,0136 содержат три значащих цифры: 1, 3 и 6, так же,
как и число 15,0, цифры: 1, 5, 0. Число 0,00720 содержит три значащие цифры: 7,
2, 0, а число 90,062 содержит пять значащих цифр: 9, 0, 0, 6, 2.
Верные цифры. При записи величины, которая измерена приближённо,
в виде числа, разряд последней верной цифры числа определяется абсолютной
ошибкой, допущенной при измерении величины. Цифра в числе верная, если
абсолютная погрешность меньше половины единицы разряда этой цифры.
Цифра, располагающаяся правее последней верной цифры, называется
сомнительной. Разряд её совпадает с разрядом первой значащей цифры
абсолютной погрешности. Все цифры, расположенные правее сомнительной —
неверные. Результат измерения, записанный в виде числа, следует округлить до
разряда сомнительной цифры.
Пример: при измерении напряжения вольтметром класса точности 1,0,
с пределом измерения 150 В, результат отсчёта составил 127,5 В. Шкала вольтметра
содержит 150 делений. Отсчет был произведен с точностью до половины деления.
Абсолютная погрешность измерения, обусловленная классом точности
измерительного прибора, равна 1,5 В. Следовательно, в полученном числе цифра 7,
стоящая в разряде единиц — сомнительная, т. к. её разряд совпадает с разрядом
первой значащей цифры погрешности. Цифра 5, стоящая в разряде десятых —
неверная. Последней верной цифрой является цифра 2, стоящая в разряде десятков,
т. к. погрешность меньше половины единицы разряда десятков (т. е. меньше 5).
Полученный результат должен быть записан в виде 128 В.
Оценка погрешностей табличных данных.
В справочниках и таблицах,
как правило, приводятся только верные цифры числа. Следовательно,
предельная абсолютная ошибка для величины, приводимой в таблице, не должна
превышать половины разряда последней цифры числа, приводимого в таблице.
Пример: для диэлектрической проницаемости слюды таблица дает
значение ε 7,0. Все приведённые цифры — верные. Предельная ошибка не
должна превышать половины единицы разряда последней верной цифры т. е.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]