Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
k
()()(
(
(
)
[
(
[
(
lltt
== ;.
AA
AeA
kkkkk
k
Кроме того, воспользуемся тем, что Ω(k) является решением дисперсионного уравнения и поэтому обладает свойством Ω(-k)=-Ω(k). Тогда в силу действительности поля E можно преобразовать уравнения (7.40) к виду
∂
⎛
⎜
∂
⎝
+γ−
t
l
()
гр
∂
⎞
kv
⎟
∂
r
⎠
α−=
∫
ΔΩ−∗
tittlll
kkkkkkk
2121
, (7.42)
kk
ddeAAA
21,,
где введено обозначение
ltt
)
kkk
Ω−Ω−Ω=ΔΩ=ΔΩ
kkk
21
21,,
. (7.43)
Величина ΔΩ играет важную роль. Она характеризует расстройку частот
взаимодействующих волн. Заметное взаимодействие происходит только для
тех волн, для которых расстройка частот мала, или, иначе говоря, выполнены условия фазового синхронизма. В случае сильной расстройки частот правые части являются быстро осциллирующими функциями времени и в среднем по времени взаимодействие ра
l
=α
,,
kkk
21
Подобным образом записывается уравнение для
вно нулю. Далее
2
Le
∂
⎛
m
⎜
e
ω∂
⎝
∗
)
ke
2
+−δω
⎞
()()()( )
,2
ωεω
⎟
⎠
eekkk
kk
21
l
Ω=ω
21
ttl
ΩΩ
k
t
A
. Удобно записать
k
. (7.44)
kkk
21
его в двух формах
∂
⎛
⎜
∂
⎝
∂
⎛
⎜
∂
t
⎝
+γ−
t
+γ−
t
()
kv
гр
t
()
kv
гр
∂
⎞
⎟
∂
r
⎠
∂
⎞
⎟
∂
r
⎠
α=
∫
α=
∫
ΔΩ
titlttt
kk
ddeAAA
, (7.45)
kkkkkkk
22111
ΔΩ∗
kkkkkkk
12122
2,,,11
titlttt
kk
ddeAAA
, (7.46)
1,,,22
где
2
()()()
ke
t
kkk
,,,1
Le
=α
21
∂
⎛
m
e
2
⎜
ω∂
⎝
⎞
()
,2 kkk
ωεω
⎟
1
⎠
tl
Ω+Ω+−δω
221
()
[]
t
()
k
Ω=ω
1
]
2
ΩΩ
∗
)
eekkkkk
kk
12
, (7.47)
tlt
()
2
2
()()()
ke
t
kkk
,,,2
Le
=α
21
∂
⎛
m
e
2
⎜
ω∂
⎝
⎞
()
,2 kkk
ωεω
⎟
2
⎠
tl
Ω−Ω+−δω
()
[]
t
()
k
Ω=ω
2
121
]
2
∗
eekkkkk
kk
tlt
()
ΩΩ
)
21
. (7.48)
1
Хотя система уравнений (7.40), (7.41) эквивалентна системе уравнений
(7.42), (7.45) и (7.46), удобно исследовать последнюю, которую иначе в ли-
тературе называют уравнениями связанных волн.
81
7.10. Когерентное взаимодействие трех волн
(
(
()()(
)
()()(
(
Полученные нами в предыдущей главе уравнения, описывающие взаимодействие трех волн, не предполагают каких либо ограничений на зависимость амплитуд волн от волнового вектора, кроме общих законов сохранения энергии и импульса в процессе нелинейного взаимодействия. В этом
смысле можно сказать, что спектр волн может быть п
роизвольным. Однако в
процессах нелинейного взаимодействия трех волн имеется выделенный случай так называемого когерентного взаимодействия, когда спектральное распределение каждой из трех волн (или, точнее сказать, волнового пакета)
имеет достаточно узкий, сильно выраженный максимум вблизи некоторого
фиксированного волнового вектора. В пределе бесконечно узкого волнового
пакета для амплитуды волны можно запи
)
i
k
kk
сать
)
ii
2,1,0; =−δ= iAA
. (7.49)
При этом мы переобозначили амплитуды, входящие в уравнения (7.42),
(7.45), (7.46), индексом i по следующему правилу:
ttl
10
k
k
k
Для пакетов конечной ширины амплитуды A
2
;; === .
k
,1
k
, входящие в правую часть
i
AAAAAA
k
,2
(7.49), имеют смысл средних амплитуд. Проинтегрируем уравнения (7.42),
(7.45), (7.46) по k, k
, k2. В предположении, что все величины зависят только
1
от времени, получим
∂
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎞
γ−
∂
t
∂
⎞
γ−
⎟
∂
t
⎠
∂
γ−
∂
t
β−=
⎟
⎠
β=
⎞
⎟
β−=
⎠
ti
ΔΩ∗
eAAA
21000
ti
ΔΩ−
(7.50)
eAAA
20111
ti
ΔΩ∗
eAAA
01222
ltt
)
kkkk −Ω−Ω−Ω=ΔΩ
.
2102211
Константы нелинейной связи β выражаются через коэффициенты α в
соответствии с формулой
kkk
ii
210
)
. Здесь дельта функ-
kkk
+−δβ=α
210,,,
ция выражает закон сохранения импульса при нелинейном взаимодействии.
В общем случае амплитуды и константы нелинейной связи являются
комплексными величинами. Представим их в известной тригонометрической
форме
θ
i
φ
i
ii
i
jk
jki
kjieheuA
2,1,0,,;, ==β=
. (7.51)
Подставим (7.51) в (7.50) и разделяя полученные уравнения на действительную и мнимую части, после несложных преобразований получим
82
u
∂
0
t
∂
u
∂
1
t
∂
u
∂
2
t
∂
uuhu
uuhu
uuhu
θ+Φ=γ−
()
12211200
θ+Φ=γ−
()
02200211
()
θ+Φ=γ−
01100122
,cos
(7.52)
,cos
,cos
Φ∂
∂
t
В случае устойчивой непоглощающей среды (γ
uu
21
h
12
210
() () ()
u
0
ΔΩ+φ−φ−φ=Φ
.
t
uu
20
h
0212
u
1
uu
10
h
0102
u
2
=0, i=0, 1, 2) все кон-
i
θ+Φ−θ+Φ−θ+Φ−ΔΩ=
01
;sinsinsin
станты связи, входящие в правую часть уравнений (7.50) вещественны. Это
означает, что фаза θ
константы связи β
принимает два значения θjk=0, π и определяет знак
jk
, который мы обозначим индексом sjk. В этом случае сис-
i
тему уравнений (7.52) можно переписать в виде
∂
u
0
∂
t
∂
u
1
∂
t
∂
u
2
∂
t
Φ∂
∂
t
⎛
⎜
⎜
⎝
()
Φ=
uuhs
211212
uuhs
200202
;cos
()
Φ=
;cos
(7.53)
()
Φ=
uuhs
100101
hs
;cos
⎞
uu
21
1212
u
0
uu
20
hs
0202
++−ΔΩ=
u
1
uu
10
hs
⎟
()
.sin
0101
u
Φ
⎟
2
⎠
Система уравнений (7.53) имеет несколько интегралов движения. Для
того чтобы получить такой интеграл движения умножим первое уравнение
на
hus , а второе уравнение на
12012
hus . После этого вычтем из перво-
02102
го уравнения второе и получим
2
u
s
∂
0
12
−
t
h
∂
12
2
u
s
∂
02
1
t
h
∂
02
s
12
h
12
s
2
u
0
2
02
h
02
const0 Mu
==−⇒=
. (7.54)
1
1
Аналогично, используя второе и третье или первое и третье уравнения, получим еще два интеграла движения
2
s
u
∂
1
02
−
t
h
∂
02
2
u
s
∂
01
2
−
t
h
∂
01
2
s
u
∂
2
01
t
h
∂
01
2
u
s
∂
0
12
t
h
∂
12
s
02
h
02
s
01
h
01
s
2
u
1
2
u
2
2
01
h
s
12
h
12
const0 Mu
2
01
2
const0 Mu
0
==−⇒=
==−⇒=
, (7.55)
2
. (7.56)
3
83
Интегралы движения (7.54)−(7.56) известны в нелинейной оптике как соот-
~;~;~
ношения Мэнли-Роу и выражают собой законы сохранения и преобразования энергии взаимодействующих волн. Кроме того, существуют еще три
интеграла движения, которые связывают амплитуды и фазу Φ.
s
uuu
sin
210
ΔΩ
−Φ jlku
2
2
kl
h
kl
jj
2,1,0,
=≠≠Γ=
. (7.57)
Прежде чем перейти к дальнейшему анализу системы уравнений (7.53),
сделаем еще одно замечание, которое касается также и уравнения (7.52). Обратим внимание на то, что перенормировав амплитуды
u
, можно преобразо-
i
вать уравнения (7.52) и (7.53) к такому виду, когда все константы нелиней-
h
ной связи
амплитуды, связанные с амплитудами
в правой части будут равны единице. Для этого введем новые
ij
u
следующими соотношениями:
i
hhuuhhuuhhuu === . (7.58)
021222120111020100
Подставляя (7.58) в уравнения (7.53), получим уравнения, в которых
правые части отличаются, по сути, только знаками
s
. Без ограничения общ-
ij
ности можно сказать, что все трехволновые взаимодействия распадаются на
два типа: а)
s
= s01 = 1, s12= s = ±1. Из соотношений Мэнли-Роу следует, что
02
s
= s01 = -s12 и б) s02 = s01 = s12. При этом можно положить, что
02
2
2
2
() () ( )
2
[]
0
0
2
() ( )
[]
1
1
2
() ( )
[]
2
000
utuutuutustx −=−=−= . (7.59)
2
Умножим второе уравнение на u
и, используя интеграл (7.57) и (7.59),
1
получим
2
∂
⇒
u
1
∂
t
∂
x
∂
t
2
[]
()
0
uuuuuu
0210
2
()
[]
1
222212
()
sin12cos2
[]
2
()
0002
2
⇒Φ−±=Φ=
ΔΩ
⎧
+Γ−+++±=
⎨
2
⎩
2
()
[]
+
uxuxuxusx
1
Или, возводя последнее уравнение в квадрат, приходим к уравнению, аналогичному уравнению движения частицы единичной массы в потенциальном
поле π(
При этом
является кубическим многочленом относительно
x)
2
1
∂
x
⎞
⎛
⎜
2
∂
⎝
()
0
=π+
x
⎟
t
⎠
.
x играет роль скорости, а π(x) – потенциальной энергии, которая
x
84
2
⎫
.0
⎬
⎭
⎧
() () () () ()
⎨
⎩
⎡
2
() () () () () ()
⎢
1
⎢
⎣
1
2
4
⎡
2
3
0
⎢
⎣
2
2
0
2
2
4
( ) () () () () ()
1
2
1
2
2
0
1
2
−ΓΔΩ+ΔΩ+Γ+ uuuuu
1
Области нелинейного взаимодействия отвечают такие
π(
x)<0. Для волн, для которых условие фазового синхронизма выполнено
2
0002
2
2
000000
2
2
0
1
ΔΩ−++−−=π
4
2
()
ΔΩ
−++−
2
2
1
⎤
2
2
xsusuusxx
−
⎥
⎦
2
()
ΓΔΩ−
0
1
⎫
2
(7.60)
.00000
⎬
2
⎭
x, при которых
⎤
+
xuuuuuusu
⎥
⎥
⎦
строго, т.е. расстройка частоты взаимодействующих волн ΔΩ=0, из интеграла движения следует, что
0Г = , и функция π(x) имеет три действительных
корня
2
01
2
12
2
.;;
uxuxsux −=−=−= (7.61)
23
s=-1
π(x)
-(u2)
2
-(u1)
2
x
а
Соответственно вид функции π(
(u0)
2
π(x)
Рис. 7.1
x) зависит от знака s, и если мы упоря-
дочим корни в порядке возрастания, т.е. пусть
ведение функции π(
Отрицательному знаку
2
1
2
uxu <<− , и взаимодействие носит периодический характер, т.е. волны
0
x) можно представить кривыми на рис. 7.1.
s отвечает конечное изменение переменной
-(u2)
x
1>x2>x3
2
-(u1)
, то качественное по-
s=1
2
б
2
-(u0)
x
обмениваются энергией так, что амплитуда каждой волны остается конечной. При этом если начальная амплитуда одной волны была большой, то с
течением времени она будет уменьшаться, а амплитуды двух других волн
нарастать, т.е. энергия этой волны будет переходить в энергию двух других
волн. Однако через неко
торый промежуток времени процесс взаимодействия
сменит знак и энергия двух других волн будет переходить в энергию этой
волны.
85
Если знак
(
)
()(
δ−=
γ
рактер. При этом
s положителен, то взаимодействие носит апериодический ха-
2
0
∞→<− xu
, причем амплитуды всех трех волн становят-
ся бесконечными за конечное время. Такая неустойчивость носит название
взрывной неустойчивости.
7.11. Параметрические неустойчивости
Рассмотрим прохождение интенсивной поперечной волны, которую будем называть волной накачки, через слой плазмы. При этом будем считать,
что в плазме существуют слабые продольная и поперечная волны, для которых выполнено усло
вие синхронизма с волной накачки ΔΩ=0. Если толщина
слоя плазмы мала или время взаимодействия отвечает начальной стадии развития нелинейного взаимодействия трех волн, то можно считать, что в течение взаимодействия амплитуда волны накачки практически не изменяется. В
этих условиях взаимодействие волн будет носить характер неустойчивости.
Действительно, обратимся снова к ур
авнениям (7.50). Поперечным волнам
отвечают волны с индексами "1" и "2". Пусть для определенности волне накачки отвечает волна с индексом "1". Рассмотрим вначале случай, когда поглощение волн отсутствует. Так как амплитуда волны накачки постоянна, то
система трех уравнений связанных волн редуцируется до двух уравнений,
которые с учетом вышесказанного приобретут вид
A
∂
0
t
∂
A
∂
2
t
∂
Будем искать решение уравнений (7.62) в виде
∗
AA
β−=
;
210
(7.62)
∗
AA
β−=
.
012
t
0
eAAγ=
2,0
, с действитель-
2,0
ным значением γ. Тогда вместо (7.62) получим
0
0
() ()
0
2
0*
)
;0
=β+γ
AAA
10
2
AAA
12
0
(7.63)
0*
0
=β+γ
и условие существования нетривиальных решений алгебраической системы
уравнений (7.63) дает следующее уравнение для γ
2
2
120
2
. (7.64)
AA ββ±=γ⇒ββ=γ
1202,1
Т.е. амплитуды волн экспоненциально нарастают во времени с инкрементом, пропорциональным интенсивности волны накачки. Причем данная
неустойчивость имеет абсолютный характер и развивается при любой амплитуде волны накачки.
Рассмотрим теперь, как изменится неустойчивость в случае, когда нарастающие во времени волны затухают с декрементом
ii
0<
. В этом
случае уравнения (7.52) имеют вид
86
∂
(
(
)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎞
δ+
⎟
t
∂
⎠
∂
⎞
δ+
⎟
t
∂
⎠
Снова подставляя решение в виде
∗
AAA
β−=
;
21000
(7.65)
∗
AAA
β−=
.
01222
)
t
0
eAAγ=
2,0
, после несложных пре-
2,0
2
()
2
12020
0
=δδ−ββ−γδ+δ+γ A
,
20
решение которого имеет вид
()() () ()
δ+δ
−=γ AA
2,1
±
2
δ+δ
2020
2
20
120
δ+δ
−=δδ−ββ+
20
2
+ββ±
120
2
δ−δ
20
.
4242
Условие развития неустойчивости γ>0 дает следующее требование на
амплитуду волны накачки:
2
δδ>ββ A
. (7.66)
120
20
Таким образом, учет затухания нарастающих волн приводит к тому, что
развитие неустойчивости носит пороговый характер.
Рассмотренные выше неустойчивости получили название параметрических неустойчивостей, так как амплитуда (или точнее интенсивность) волны
накачки играет в их развитии роль параметра.
87
8. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В
БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ
В предыдущем разделе была рассмотрена теория так называемой слабой
нелинейности, в рамках которой взаимное влияние различных волн друг на
друга описывается в приближении трехволнового взаимодействия. Когда
спектр взаимодействующих волн представляет собой достаточно широкие
волновые пакеты, можно говорить о турбулентности электромагнитных волн
в плазме и пост
роить теорию слабой турбулентности на языке статистического описания распределений волн по волновым числам или пространственному масштабу. Т.е. характеризовать стохастические электромагнитные
поля функциями распределений плотности энергии поля по волновым векторам и получить уравнения эволюции спектров во времени и пространстве.
Проблема турбулентности, т.е. описание стохастического взаимодейст-
вия боль
шого числа "движений" различного масштаба, является центральной
для многих разделов физики – газодинамики, теории жидкости, плазмы. Характер турбулентности существенным образом зависит от дисперсии образующих ее волн, т.е. от зависимости фазовой скорости от длины волны. В
отсутствие дисперсии, например для звуковых волн в газе или жидкости,
основной тип нелинейных волн – эт
о простые волны или волны Римана, в
которых нелинейность проявляется в укручении и опрокидывании фронта
волны (превращении звуковых волн в ударные). Еще один пример недиспергирующей среды – несжимаемая жидкость. Турбулентность в такой
среде может быть представлена как наложение вихрей различного масштаба. Нелинейные процессы приводят к непрерывному дроблению масштабов вихр
ей, до таких масштабов, когда существенной становится вязкость
жидкости, что приводит к быстрой диссипации энергии вихрей с малым
масштабом.
В средах с дисперсией (плазма, волны на поверхности воды) по мере
укручения волнового фронта важную роль начинают играть дисперсионные
эффекты. Дисперсия или расплывание волновых пакетов останавливает укручение, так как высшие г
армоники, образующиеся за счет нелинейности,
движутся со скоростью, отличной от скорости движения основной волны.
Турбулентность в таких средах можно рассматривать как результат суперпозиции и взаимодействия волновых движений, вообще говоря, нелинейных.
Важная особенность волн в плазме связана с тем обстоятельством, что в
динамике таких волн существенную роль играет взаимодействие с резонансными частица
ми, имеющими скорость, близкую к фазовой скорости волны.
Такое взаимодействие в равновесной плазме, как это мы видели в разделе 4,
приводило к бесстолкновительному затуханию продольных волн (затухание
Ландау). В неравновесной плазме, например плазме, в которой распространяется пучок, резонансное взаимодействие является причиной развития неустойчивости, в частности пучковой неустойчивости.
88
Эти особенности волн плазмы приводят к существенным отличиям тео-
(
(
рии слабой турбулентности волн в плазме, в частности ленгмюровской турбулентности, от турбулентности в жидкости. Важным выводом теории слабой турбулентности является передача энергии ленгмюровских волн с короткой длиной волны, возбуждающихся в области генерации, в длинноволновые колебания. Это явление известно как пар
адокс образования ленгмюровского конденсата, так как длинноволновые колебания в бесстолкновительной плазме затухают экспоненциально слабо. Таким образом, непрерывный приток энергии в длинноволновую плазменную турбулентность и отсутствие эффективных механизмов стока обуславливают накопление длинноволновых плазмонов – квантов плазменных колебаний и образование их
конденсата в области малых волновых чисел
0≈k . Попытки решения этого
парадокса в рамках слабой турбулентности, например за счет нелинейной
трансформации длинноволновых плазмонов в электромагнитное излучение,
не увенчались успехом, так как не обладали должной степенью универсальности.
8.1. Модуляционная неустойчивость
Реальный путь решения парадокса был предложен Галеевым, Ораевским и Сагдеевым. Он основан на использовании модуляционной неустойчивости интенсивных плазменных ко
лебаний и обусловленного такой неус-
тойчивостью механизма диссипации плазмонов.
Еще в 1964 г. было показано, что достаточно интенсивный газ плазмо-
нов неустойчив относительно вариаций плотности плазмы. Физический ме-
Плазмоны
Плазма
|E|
δn
ханизм возникновения неустойчивости весьма прост и поясняется на
рис. 8.1. В местах скопления плазмонов плазма выталкивается под действием силы высокочастотного давления. Об
разующиеся при этом вариации плотности плазмы квазинейтральны и изменяются со временем,
определяющимся инерцией ионов,
т.е. достаточно медленно.
Уравнения движения плазмонов
Рис. 8.1.
на фоне таких вариаций плотности
могут быть записаны в гамильтоновой форме
)
r
)
kr
ω∂
d
=
∂
dt
d
,
k
dt
89
ω∂
k
p
−=
. (8.1)
r
∂
3
(
δ
В этих уравнениях
()
r
p
2
⎛
π
4
⎜
=ω
⎜
m
⎝
ne r
e
e
⎞
()
⎟
⎟
⎠
21
⎛
() ()
1
+ω=ω
⎜
⎝
− локальная ленгмюровская частота. Из (8 .1) следует,
⎞
22
rkrk − частота плазмонов,
⎟
Dep
2
⎠
что в местах провала плотности плазмы – кавернах – образуются потенциальные ямы для плазмонов. В результате в кавернах происходит дальнейшее
нарастание плотности плазмонов и углубление ими плотности плазмы. Таким образом, развивается неустойчивость автомодуляции распределения
плазмонов. Отсюда и название − модуляционная неустойчивость.
Качественный анализ неустойчивости можно провести, не пр
ибегая к
громоздким решениям дисперсионных уравнений. Действительно, рассмотрим равновесный газ плазмонов. По аналогии с максвелловским распределением частиц по скоростям в термодинамически равновесной плазме (3.16)
можно записать следующий закон распределения плазмонов по волновым
числам
⎞
2
k
⎟
⎟
2
⎟
2
k
⎠
2
− дисперсия волновых
k
=
()
k , (8.2)
N
()
2
– равновесная плотность плазмонов,
где N
0
N
0
2
π
k
⎛
⎜
−
exp
⎜
23
⎜
⎝
чисел. Пусть теперь в плазме, в которой возбуждены ленгмюровские колебания, возникло возмущение плотности
)
r,tn
. Если такое возмущение яв-
ляется достаточно медленным, то плазмоны на его фоне приобретают квазистатическое распределение
⎛
2
N
N
()
k , (8.3)
=
0
exp
23
2
()
2
π
k
k
⎜
⎜
⎜
2
⎝
1
−−
6
⎞
n
δ
⎟
⎟
222
n
⎟
rkk
0
De
⎠
которое является очевидным аналогом больцмановского распределения частиц во внешнем потенциальном поле Φ(r) (3.34). Эта аналогия становится
очевидной, если учесть, что при наличии вариации плотности
()
r,tnδ энер-
гия отдельного плазмона равна
Здесь ω
⎛
3
()
k . (8.4)
– ленгмюровская частота, соответствующая невозмущенной плот-
p0
⎜
1
0
⎜
⎝
22
rk
Dep
⎞
δ
n
⎟
++ω=ω
⎟
22
n
0
⎠
ности плазмы, т.е. постоянный уровень, от которого отсчитывается энергия
плазмонов. Два последующих слагаемых в этой формуле имеют смысл кинетической и потенциальной энергии плазмона.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]