Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
Простые формулы для ω(k) можно получить для случая низкочастотных
Ω
<<ω
<<Ω
ω
волн ω<<Ω
в промежуточной области частот
для спектров альвеновской и магнитогидродинамической волн
i
k
2
=ω
222
ϑ
cos
v
A
2
v
A
1
+
2
c
2
;
22
k
v
A
=ω
, (5.12)
2
v
A
1
+
2
c
2
,
Ωω
ei
, для спектра спи-
eLe
ральных волн (геликона)
22
ck
Ω
e
=ω cos
2
ω
Le
ϑ
(5.13)
и в области высоких частот для обыкновенной и необыкновенной волн,
спектры которых в пределе
Здесь угол ϑ − угол между векторами B
>>ω стремятся к виду
Le
2222
ck ω+→ω . (5.14)
Le
и k.
0
График функций всех пяти ветвей колебаний изображен на рис. 5.3 для
плазмы с ω
и ϑ≠0, π/2.
Le>Ωe
Рис. 5.2
Рис. 5.3
61
6. ПЛАЗМЕННЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
(
6.1. Двухпотоковая неустойчивость
До сих пор мы рассматривали равновесную плазму (холодную или максвелловскую). Наличие любой неравновесности кардинально меняет ее
свойства. Плазма становится неустойчивой, и колебания (которые в равновесной плазме, как мы видели выше, затухали либо из-за столкновений частиц плазмы, либо в бесстолкновительном пределе из-за черен
ковского по-
глощения на тепловых частицах) могут раскачиваться.
Исследуем колебания плазмы, состоящей из некоторого числа направленных потоков, движущихся друг относительно друга в отсутствие внешнего магнитного поля. Для простоты пренебрежем хаотическим тепловым
движением заряженных частиц и их столкновениями между собой, т.е. будем рассматривать плазму в холодном, бесстолкновительном пр
еделе. Для
описания колебаний в такой плазме используем гидродинамическую модель
плазмы (3.29).
Относительное движение особенно влияет на ветвь ленгмюровских колебаний, т.е. потенциальных колебаний поля. Поэтому электрическое поле в
правой части уравнения движения (3.29) будем считать чисто потенциаль-
ным E=-∇ψ. Начальное состояние плазмы характеризуется плотностью
()
и скоростью
α
V составляющих ее потоков. Представляя возмущения ско-
0
n
рости V' и плотности n' в виде плоских бегущих волн ∼exp(-iωt+ikr) и линеаризуя систему уравнений (3.29) относительно возмущений получаем
⎫
()
() () ()
()
−ω
()
′
−
nn
00
()
()
αα
−ω
2
′
0
π=ψ
∑
α
αααα
′
()
VkkV
e
α
kVkV
m
α
()
α
′
nek
α
⎪
;0
=
⎪
⎪
(6.1)
;
ψ=
⎬
⎪
⎪
.4
⎪
⎭
Выражая из уравнений непрерывности и движения системы (6.1) возмущения плотности заряда частиц сорта α через потенциал ψ и подставляя
полученное значение в третье уравнение, получаем искомое дисперсионное
уравнение
)
2
2
α
1
−
4
∑
()
α
α
kne
π
α
0
kVm
−ω
0
α
()
0
=
. (6.2)
2
Рассмотрим случай, когда электронная компонента плазмы состоит из
двух потоков, движущихся друг относительно друга. Причем плотности каждого потока одинаковы, а скорости равны по величине, но противополож-
)(0α
62
ны по направлению. Таким образом, индекс α принимает два значения и на-
()()()(
)
чальное состояние описывается следующим образом:
2
1
0
0
1
, . (6.3)
0
0
2
VVVnnn ≡−=≡=
0
В этом случае дисперсионное уравнение (6.2) принимает вид
2
ω
−
()()
− проекция волнового вектора на направление скорости потока. Это
где k
||
2
−ω
||
2
ω
LeLe
−
VkVk
+ω
||
, (6.4)
01
=
2
уравнение сводится к биквадратному уравнению по ω. Его корни равны
2
() ()
||
22
+ωω±ω+±=ω
LeLeLe
2
. (6.5)
||
Анализируя поведение решений (6.5), легко увидеть, что при выполнении условия
ω<2
Le
k
||
, (6.6)
V
всегда существуют два чисто мнимых корня, один из которых с Imω>0 отвечает нарастанию колебаний во времени. В частности, при k
V<<ωLe получа-
||
ем, что
Im =ω . (6.7)
Vk
||
В случае неустойчивой плазмы принято называть мнимую часть частоты колебаний инкрементом неустойчивости и обозначать греческой буквой γ. Таким образом мы получили, что плазма, состоящая из двух электронных потоков, неустойчива относительно возбуждения в ней плазменных колебаний, длина волны которых удовлетворяет условию (6.6). Эта неустойчивость получила название двухпотоковой неустойчивости, и ее максимальный инкр
емент достигается для колебаний с длиной волны
ω
3
Le
⋅≡=
kk
max||
2
(6.8)
V
и равен
ω
Le
=γ
max
. (6.9)
2
Так как в рассмотренном случае двух потоков частота нарастающих колебаний чисто мнимая, то процесс, соответствующий возмущенному движению плазмы, является апериодическим.
Бом и Гросс так поясняют механизм двухпотоковой неустойчивости.
Малое возмущение электрического поля вызывает в соответствующей точке
пространства модуляцию скорости пучка. Это, в свою очередь, приводит к
возникновению возмущения плотности пучка, его п
63
ространственную моду-
ляцию (эффект бунчировки) в направлении движения каждого пучка. В ре-
(
(
зультате создается потенциал больший первоначального. Поле, обязанное
тому или иному пучку, модулирует другой пучок, который затем снова подпитывает источник модуляции. Это приводит к нарастанию амплитуды возмущения, т.е. к неустойчивости.
6.2. Пучковая неустойчивость
Рассмотрим теперь случай прохождения пучка малой пло
покоящуюся плазму. Плотность плазмы будем обозначать n
пучка и его скорость соответственно n
и V. Дисперсионное уравнение (6.2)
1
тности через
, а плотность
0
для такой системы запишется в виде
2
ω
LeLe
α−
()
−ω
Vk
||
, (6.10)
01
=
2
где введен параметр α=n
2
ω
−
2
ω
, а ленгмюровская частота ωLe относится к лен-
1/n0
гмюровской частоте плазмы.
Считая параметр α малым, а величину k
V не слишком близкой к ωLe,
||
получим, решая (6.10), что два из четырех корней соответствуют ленгмюровским колебаниям с частотой ω
Видно, что при k
V<ωLe корни (6.11) комплексны, причем один из них соот-
||
, а два других равны
Le
ω
α±=ωVkVk
||
Le
⎛
ω
⎜
−
1
⎜
||
⎝
. (6.11)
2
⎞
Le
⎟
⎟
⎠
ветствует неустойчивости с инкрементом
ω
α=γ
Колебания типа (6.11) имеют групповую скорость
Le
. (6.12)
2
⎛
⎞
ω
Le
⎜
⎟
1
⎜
⎝
−
⎟
Vk
||
⎠
ω∂
V
g
=
k
∂
, близкую к
скорости потока, поэтому эти колебания можно назвать сносовыми.
При k
V≈ωLe частота ленгмюровских колебаний приближенно совпадает
||
с частотой сносовых колебаний. В этом случае уравнения (6.11) и (6.12) неприменимы. Соотношения, характеризующие раскачку колебаний при
V-ωLe|, можно получить следующим путем. Будем полагать, что в ну-
γ > |k
||
левом приближении по параметру α частота колебаний
)
0
ω≈ω
Le
и
)
1
Vk
−ω>>ω , (6.13)
Le ||
64
где ω
(
=
α
−→−
ω
(1)
− поправка к частоте. Тогда из (6.10) для ω
)
1
ω
2
ω
Le
2
ω
Le
α−
)(
ω
(1)
следует
0
=
. (6.14)
2)1(
Отсюда получаем для добавки к частоте нарастающих возмущений
31
()
1
Re
()
1
На границе применимости этих формул
αω
Le
−=ω
; (6.15)
34
2
31
3Imα
ω=γ≡ω
Le
⎛
ω
Le
⎜
⎜
Vk
||
⎝
. (6.17)
34
2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
31
1 α≈−
выражения (6.12) и
(6.17) дают значения γ, одинаковые по порядку величины. Выражение (6.17)
определяет максимальный инкремент пучковой неустойчивости плазмы.
Видно, что даже для малых отношений плотности пучка к плотности плазмы
этот инкремент может быть значительным, так как ∼α
1/3
. Этот эффект увели-
чения инкремента обусловлен своеобразным резонансом собственных колебаний покоящейся плазмы и сносовых колебаний пучка. В этом смысле пучковую неустойчивость можно назвать резонансной в отличие от двухпотоковой неустойчивости, рассмотренной в подразделе 6.1.
6.3. Неустойчивость относительного движения электронов и ионов
В заключение рассмотрим задачу движения электронов со скоростью V
осительно неподвижных ионов. Тогда уравнение (6.2) запишется в виде
отн
2
ω
LiLe
. (6.19)
01
=
−
2
2
ω
Поскольку
2
ω
−
()
Vk
−ω
||
122<<=ωω
Mm , то уравнение (6.19) с точностью до
ieLeLi
переобозначений совпадает с дисперсионным уравнением (6.10) для плазмы
с пучком малой плотности таким, что
Mm
(6.20)
ie
В этом смысле эффективная плотность ионов равна (m
e/Mi)n0
. Соотношения, характеризующие электронно-ионную неустойчивость, можно получить, используя результаты подраздела 6.2, если сделать следующие преобразования:
→ω ,
||
65
VVVk
. (6.21)
Это связано с тем, что в рассматриваемом здесь случае движущейся является "более плотная" компонента. В результате находим, что частота сносовых колебаний типа (6.11)
ω
±=ω
При |k
V|<ωLe она становится чисто мнимой, т.е. при этом условии развивает-
||
Li
. (6.22)
2
⎞
⎛
ω
Le
⎟
⎜
1
−
⎟
⎜
Vk
||
⎠
⎝
ся неустойчивость с инкрементом
ω
=γ
Li
. (6.23)
2
⎞
⎛
ω
Le
⎟
⎜
⎜
⎝
1
−
⎟
Vk
||
⎠
Условие резонанса между сносовыми колебаниями ионов (ω≈0) и элек-
тронными ленгмюровскими колебаниями (ω=k
V+ωLe) имеет вид k||V=-ωLe.
||
Поскольку в нулевом приближении по α частота колебаний равна нулю, то
для полной вещественной части частоты резонансных возмущений имеем
(ср. с (6.15))
31
⎞
⎛
ω
m
eLe
⎟
Re
⎜
−=ω
⎜
34
2
⎝
. (6.24)
⎟
M
i
⎠
Инкремент этих колебаний равен
31
⎞
⎛
m
3
e
⎟
ω=γ
⎜
Le
⎜
34
2
⎝
. (6.25)
⎟
M
i
⎠
Рассмотренную здесь неустойчивость часто называют также неустойчи-
востью Бунемана.
66
7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАЗМЕ
7.1. Роль нелинейных эффектов в физике плазмы
Рассматривая плазму, как новое четвертое состояние вещества, мы неоднократно подчеркивали, что весьма существенную роль в понимании ее
физических свойств играют так называемые коллективные процессы. В частности, именно они определяют затухание электромагнитных волн в бесстолкновительной, горячей, равновесной (максвелловс
кой) плазме (затухание Ландау). В неравновесной плазме коллективные эффекты приводят к
развитию разнообразных неустойчивостей, ряд из которых был рассмотрен
выше. Как правило, развитие неустойчивости сопровождается ростом напряженности электрических полей, которая может достигать больших значений. Таким образом, даже в отсутствие интенсивных внешних полей из-за
развития неустойчивости в плазме мо
гут самопроизвольно возникать относительно сильные поля. Обычно на начальной стадии развития неустойчивости электромагнитные поля являются слабыми и поэтому инкременты их
нарастания могут быть описаны в рамках линейной электродинамики, рассмотренной в предыдущих разделах.
Вместе с тем недостаточность линейного приближения очевидна, так
как оно не дает ответа на основной во
прос: могут ли играть неустойчивости
заметную роль или их развитие приводит лишь к незначительному искажению начальных параметров плазмы. Важно, например, знать, какая доля
энергии тратится на развитие неустойчивости. Сам факт наличия неустойчивости говорит о неприменимости линейного приближения для описания
свойств плазмы, ибо экспоненциальный рост возмущений быстро делает их
амплитуду достаточн
о большой, и тем самым нарушается основное условие,
при котором были получены линейные дисперсионные уравнения. Однако
если рост напряженности поля возмущения быстро ограничивается нелинейными эффектами, останавливающими дальнейший рост возмущений, и
плазма переходит в новое квазистационарное состояние, слабо отличающееся от исходного неустойчивого, то можно говорить о слабой роли рассмат-
ваемой неустойчивости. Наоборот, если конечное состояние резко отлича-
ри
ется, например по температуре, от исходного, то можно говорить о существенном вкладе энергии и, например, о нагреве плазмы. С этой точки зрения
только нелинейные эффекты могут дать ответ о практической значимости
той или иной неустойчивости. Это, в первую очередь, касается нагрева и
жания плазмы, которые могут найти практическое приложение.
удер
7.2. Классификация нелинейностей плазмы
Нелинейные явления в плазме весьма разнообразны. Поэтому прежде
чем переходить к изложению вопросов нелинейных взаимодействий, следует
дать хотя бы грубую их классификацию. Нелинейные процессы можно клас-
67
сифицировать по величине электромагнитных полей, характерным време-
=
=
τ
нам, за которые взаимодействия оказываются существенными, и, наконец,
по характерным длинам.
Весьма важным является разделение нелинейных процессов на слабые и
сильные нелинейности. Слабыми нелинейностями называют такие, которые
могут быть описаны первыми членами разложения по амплитуде электромагнитного поля, связанного с данным типом исследуемого проце
сса. Как
правило, поля в плазме являются переменными. Поэтому полю можно приписать некоторую частоту ω. Заряженная частица плазмы сорта α, движущаяся в таком поле, будет совершать периодические колебания. Амплитуда
Ee
α
скорости этих колебаний равна
v . Здесь E
~
0
=
i
ω
m
α
амплитуда напряжен-
0
ности переменного электрического поля.
Существенное значение имеет отношение v
к характерной скорости v∗
~
исследуемого процесса в плазме. Если рассматривать некий волновой процесс, то он может характеризоваться фазовой скоростью
. При нали-
vv
ф*
чии теплового движения частиц (в случае, если рассматриваемый процесс
зависит от теплового движения) характерной скоростью может служить
средняя скорость теплового движения частиц
слабой нелинейности состоит обычно в малости параметра
Если v
ной. Ясно, что для внешних полей v
ходя v
оказывается сравнимым с v∗, то нелинейность называют силь-
~
может быть весьма большим, превос-
~
.
Tα
mT==∗vv . Условие
vv
.
∗
~
ααTα
Значительно более подробно сейчас изучены слабые нелинейности. Это
связано с тем, что в данном случае могут быть использованы простые методы разложения по амплитудам полей.
Другая классификация связана с характерным временем нелинейного
процесса. Обозначим его через τ. Это время может быть больше или меньше,
нежели характерные времена τ
роль играет время между двумя соударениями
процесса, протекающего в плазме. Важную
*
v/1
, где v − эффектив-
c
ная частота столкновений. Если нелинейное взаимодействие протекает за
времена, много меньшие времени между двумя столкновениями, то оно наиболее эффективно. Такое нелинейное взаимодействие называют бездиссипативным взаимодействием. Если нелинейное взаимодействие слабо и
v/1>>τ , нелинейное взаимодействие называют диссипативным. Наиболее
существенной в последнем случае является зависимость эффективной частоты столкновений от амплитуды полей. Диссипативные нелинейности исследовались ранее всего в связи с проблемами распространения радиоволн. Ниже мы будем рассматривать преимущественно бездиссипативные нелинейности.
68
Следующим существенным пунктом является сравнение характерных
(
()()(
длин L, на которых происходит нелинейное взаимодействие, с характерным
размером системы L
мы, если речь идет об ограниченной плазме. Если L<<L
. В качестве L* может служить, например, размер плаз-
*
, фактически нали-
*
чие границ может оказаться малосущественным и нелинейное взаимодействие протекает так, как если бы границы отсутствовали, т.е. в безграничной
плазме. Нужно отметить, что, как правило, с ростом амплитуды полей L падает. Наибольший интерес представляют такие L
, для которых L<<L*. В
*
дальнейшем будут рассмотрены в основном нелинейные эффекты в безграничной плазме.
7.3. Нелинейное уравнение для полей в плазме
Чтобы проиллюстрировать основные особенности нелинейного взаимодействия волн в плазме, начнем рассмотрение с наиболее простого случая
холодной плазмы. Как было показано в подразделе 3.4, в этом случае динамика плазмы может быть описана в ра
мках двухжидкостной гидродинамики
уравнениями (3.32). Пусть рассматриваемые нелинейные эффекты являются
слабыми, такими, что в первом приближении можно говорить о взаимодействии линейных волн.
Пусть в плазме имеется некоторое число волн. Обозначим их поля через
, E2, … Указанные поля вызывают в плазме ток и разделение заряда бла-
E
1
годаря тому, что частицы плазмы начинают смещаться в указанных полях.
Индуцированные ток и плотность заряда вычисляются по формулам (3.33). В
первом приближении эти токи являются линейными функциями поля
)
1
Ejj σ==
, (7.1)
где E= E
+ E2+ … Знак
1
(1)
означает то, что выражение (7.1) соответствует
эффекту первой степени (линейному) по полю. Заметим, что в линейном
приближении справедлив принцип суперпозиции, т.е. поля E
, E2, … незави-
1
симо возбуждают токи в плазме и результирующий ток равен сумме указанных токов. Однако (7.1) соответствует лишь первому приближению по полю.
Запишем разложение тока, возбуждаемого в плазме, по степеням поля в
виде
)
321
…+++=
Индекс
(2)
указывает на то, что эта часть тока содержит квадратичные
выражения по полному полю,
(3)
– кубические, и т.д. Заметим, что уже для
jjjj (7.2)
квадратичных по полю эффектов принцип суперпозиции нарушается. Решение конкретных электродинамических задач может быть получено, если выражение для нелинейного тока (7.2) подставить в уравнения Максвелла (2.1),
которые мы преобразуем, исключив из них магнитное поле B, к виду
69
t
2
(
()(
ω−ωδ−−δωω
=
(
[
∂
+
E
rotrot
Используя (7.2) в (7.3), получим некие нелинейные уравнения относи-
тельно поля E, описывающие электродинамические эффекты взаимодействия
волн. В условиях, когда допустимо разложение нелинейного тока по степеням
напряженности электрического поля, нелинейность будем называть слабой.
7.4. Нелинейные колебания зарядов холодной плазмы
При рассмотрении нелинейных эффектов ограничимся лишь теми из
них, которые описываются током, квадратичным по по
случай, когда фазовые скорости волн, участвующих в нелинейном взаимодействии, много больше тепловых скоростей. В этом случае плазму можно
считать холодной, и в линейном приближении ток определяется в основном
движением электронов. В случае нелинейного тока в приближении холодной
плазмы также основной вклад вносят лишь электроны плазмы. Поэтому для
писания динамики частиц плазмы применим уравнения двухжидкостной
о
гидродинамики (3.30) и (3.32). Удобно эту систему записать в другой эквивалентной форме, разложив все величины, входящие в эти уравнения, в интегралы Фурье. При этом надо воспользоваться следующим свойством Фурье преобразования произведения двух функций F и G:
() {}
k
∫
1
π
()
r =
∫
4
где
F r
= ;,
k
()
2
F(r,t). Аналогично G
Соотношение (7.4) нетрудно записать в симметричной форме, использовав δ-функцию и представив
Тогда, подставляя (7.5) в (7.4), получим
ti
−ω
etF
– Фурье образ функции G(r,t).
k
− 221
()
где
()
−−δ=λ kkkkk ddddkkkdkdkd . (7.7)
Применяя преобразование Фурье к уравнению движения электронов
(3.32) и уравнению непрерывности (3.30), получим
2 kkkkkk
kr
)
2
∂
c
−
kkk
11
)
в виде
kkG−
1
()
kkk
21
∫
k
∫
e
dii
m
∫
∂π
jE
41
−=
kk
21
vk . (7.9)
kkk
21
. (7.3)
22
t
∂
c
лю E. Рассмотрим
ω=ω==⋅
,;;
kk kdddkdkGFGF
]
λ+=∫λ+ω−
d
2121
, (7.4)
ω−
212121212121
111
dtddxdx
− Фурье образ функции
−−δ=
dkkkkGG
. (7.5)
λ=⋅ dGFGF
, (7.6)
e
ee
λ=ω dnn
BvEvkvv ; (7.8)
∫
cm
)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]