Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
стью парных столкновений. Она недопустима лишь при очень больших кон-
r
(
центрациях заряженных частиц, когда энергия кулоновского взаимодействия
становится сравнима с тепловой энергией. При этом свойства плазмы существенно отличаются от свойств идеального газа, для которого применима
модель парных столкновений.
Оценим концентрацию, определяющую этот переход. Для оценки будем
считать плазму состоящей из электр
онов и однозарядных ионов. Приравнивая потенциальную энергию кулоновского взаимодействия средней энергии
теплового движения заряженных частиц с температурой T, получим
2
e23
T~
, (1.11)
31
−
4
π
⎞
где
ражение для
⎛
nr − среднее расстояние между частицами. Подставляя вы-
=
⎟
⎜
3
⎠
⎝
r в (1.11) и используя определение дебаевского радиуса (1.4),
после несложных алгебраических преобразований получим условие перехода к неидеальной плазме в виде
4
π
=
3
1
~rnN
. (1.12)
D
3
Иными словами, до тех пор пока число частиц в дебаевской сфере много больше единицы, свойства плазмы могут быть описаны в рамках приближения о парных столкновениях. Саму плазму в этом случае называют иде-
альной плазмой.
Отметим в заключение, что для движения частиц в плазме в период между столкновениями практически всегда мо
жно использовать классическое
описание. Действительно, максимально допустимая неопределенность в координате частиц при описании их движения определяется средним расстоянием
r между ними. Соотношение неопределенности позволяет найти свя-
занную с ней неопределенность импульса
31
nrp == ≈≈δ (1.13)
(
= − постоянная Планка). Чтобы можно было применять классическое опи-
сание, эта неопределенность должна быть много меньше среднего импульса
частицы
mTpp ≈<<δ . (1.14)
Используя (1.13), получаем условие применимости классического опи-
сания движения электронов в плазме в виде
23
)
Tm
ee
(1.15)
3
=
или
10
Tn << (n, см
n <<
2323
e
-3
; T, эВ). Это условие выполняется практически для
всех видов газовой плазмы, и в том числе для термоядерной плазмы. Поэто-
11
му можно сказать, что плазма
− классический объект. Иногда говорят о
квантовой твердотельной плазме, имея в виду поведение носителей тока в
твердых телах – электронов в металлах или электронов и дырок в полупроводниках. Для такой плазмы условие типа (1.15) не выполняется, и ее свойства должны описываться в рамках квантовой механики. Мы, однако, в нашем курсе не будем рассма
тривать такую плазму.
1.5. Параметры плазмы
Приведем параметры некоторых типичных видов плазмы. Начнем с
плазменных объектов в космосе. Большинство звезд, включая Солнце, имеют, как известно, температуры, при которых вещество находится в плазменном состоянии. Межзвездный газ полностью ионизован, и, несмотря на относительно малую концентрацию заряженных частиц в межзвездном газе, его
также можно считать плазмой, так ка
к характерный пространственный масштаб его даже при таких низких концентрациях на много порядков больше
дебаевского радиуса. Плазма распространена и в ближнем космосе. Она заполняет магнитосферу Земли и образует ионосферные слои. Возмущения магнитосферы, связанные с потоками заряженных частиц от Солнца (с так называемым солнечным ветром), также оказываются плазменными. В табл. 1.
приведены параметры плазмы для некоторых из этих космических объектов.
Таблица 1.1
Параметры плазмы некоторых космических объектов
n
L,
Объект Газ
Ионосфера
(слой E)
Ионосфера
(слой F)
Фотосфера
Солнца
Солнечная
корона
Межзвездная
среда
Здесь L – характерный размер плазмы; H – напряженность магнитного поля; λe – длина
свободного пробега электронов; ρ
Воздух 10
Воздух 10
H
5⋅10
H
H 10
H,
см
Э
6
1 1012-1013105 10-8-10-70.03 102-1030.3 1
6
-1071 109-10
10
1(103)- 10
1011-
1(102)- 104-1081 100 108 1-100 30(0.3)
12
10
18
- - 10-3-10 0.1-1 0.01-1 108-1012102-104 -
a
– ларморовский радиус электронов.
He
n
e
-3
см
12 105
η
-10610-7-10-40.03-0.1 103-1050.2 1
14
1 1
T
эВ
,
e
5⋅10
r
λe
D
см
-2
5⋅10-4 3(3⋅10-3)
ρ
He
В технике и экспериментальных исследованиях широко используются
различные виды газовых разрядов. Это, прежде всего, стационарные или
импульсные электродные разряды – так называемые тлеющие разряды с холодными электродами, происходящие при относительно невысоких токах, и
дуговые разряды, характеризующиеся большими токами и сильным разогревом электродов. Разряды такого типа давно используются как источники
света в л
юминесцентных лампах, в радиотехнике, в технике коммутации
1
12
токов, для обработки материалов. Они также используются для накачки активной среды газовых лазеров. Газоразрядные источники плазмы – плазмотроны – в последнее время получили широкое распространение и во многих
технологических работах, прежде всего для осуществления высокотемпературных химических реакций (в так называемой плазмохимии). При этом наряду с традиционными электродными разрядами испо
льзуется плазма, создаваемая высокочастотными полями (ВЧ и СВЧ- разряды), под действием
излучения мощных лазеров (лазерные разряды). В табл. 1.2 приведены типичные параметры некоторых видов газоразрядной плазмы.
Плазма – объект многих экспериментальных исследований. В последние
годы в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза широко ведутся исследования удержания плазмы магнитным полем и ее нагр
ева. Ими
охватывается большой диапазон условий, соответствующих различным схемам,
− от квазистационарных до импульсных систем однократного действия.
Широкие исследования плазмы ведутся также в связи с проблемами магнитогидродинамического и термоэлектронного преобразования энергии, создания плазменных реактивных двигателей, движения космических летательных аппаратов через атмосферу. Не имея возможности представлять характеристики всех видов плазмы, используемых в исследованиях, приведем параметры плазмы лишь в типичных современны
х экспериментах по термоядерному синтезу и параметры, ожидаемые в термоядерных реакторах будущего (табл. 1.3).
Табл. 1.1
− 1.3 имеют иллюстративный характер. Большинство парамет-
ров даны с точностью до порядка.
Таблица 1.2
Параметры газоразрядной плазмы
p,
Тип разряда
Низкого
давления
мм рт.ст
A,
см
-2
1 1 10 10
10
Тлеющий 1 1 10
I, А P,
Вт/см
-2
10
ne,
2
см
-1
1010
Дуговой 1 1 10 10-100 1013
Сверхвысоко-
частотный
Высокого
давления
Сверхвысокого
давления
Стационарная
лазерная
10 1 - 10 10
10
10
10
3
5
3
1 1 10
-1
10
1 103-104 1017
-1
10
- 10
2
4
1015
1017
-3
11
3⋅10-4
3⋅10
3⋅10
12
3⋅10
3⋅10
3⋅10
3⋅10
Te Ta
η
3-7
-7
1-3
-4
0.5-2 10
-6
1-3
-5
0.5-1 0.5 10
-5
0.5-1 0.5-1 10
-3
1-3 1-3 10
эВ см
3⋅10-2
10
3⋅10-2
-1
10-2
10
5⋅10-2
плазма
Здесь p – давление газа; А – радиус плазмы; I – ток разряда; P – мощность, вводимая в
единицу объема плазмы; T
– температура электронов; Ta − температура газа; λe – длина свобод-
e
ного пробега электронов.
λ
1
e
-2
-3
-4
10-5
-6
10-7
-4
10-7
r
D
3⋅10-3
5⋅10-2
3⋅10
5⋅10
-4
-3
13
Таблица 1.3
р
Параметры плазмы в экспериментах по управляемому термоядерному синтезу
r
Тип эксперимента
a,
см
H,
кЭ
Токамак 20 40
n
см
5⋅10
,
e
-3
13
Te Ti,
3⋅103
Тэта – пинч 1 100 1017 103
Лазерный
имент
экспе
1 - 2·10
23
3·103 5·103 - 10-5
эВ
10
5⋅10
3
10
3
10
λ
e
,
τ
E
с
-2
-5
10
100
6
5⋅10-3 5⋅10-3
5⋅10
5⋅10
D
см
-5
-8
ρHi
ρ
He
0.1
-3
10
0.03
- -
Квазистационарный
термоядерный
300 50 10
14
104 104 5 105 10-3 10-3 0.5
реактор
(проект)
Лазерный
термоядерный
реактор
0.01-1 - 10
22
-10
24 104
104 10-8-10-910-4-10
-1010-6
-10
-7
- -
(проект)
Здесь a – радиус плазмы; H – напряженность магнитного поля; τE − время удержания
энергии в плазме; T
электронов; ρ
, Ti – электронная и ионная температура; λe – длина свободного пробега
e
, ρHi – электронный и ионный ларморовский радиус.
He
Представленные в данной таблице данные получены для плазмы, создаваемой в водороде или дейтерии. Степень ионизации плазмы близка к единице.
Приведенные данные охватывают широкий диапазон параметров плазмы, используемой в лабораторных исследованиях и в технике. Можно, однако, выделить из него наиболее распространенные области основных параметров. Для низкотемпературной плазмы эт
10
18
−10
10
температурной плазмы в экспериментах по управляемому термоядерному
синтезу это область концентраций 10
ператур 100 эВ
см-3 и область электронных температур от 1−10 эВ. Для высоко-
12
24
−10
−10 кэВ.
о область концентраций
см-3 и область электронных тем-
14
2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ
2.1. Уравнение электромагнитного поля в среде
Выше мы дали определение плазмы как среды, состоящей из заряженных частиц, но в целом квазинейтральной. Отсюда, в частности, следует, что
особенности плазмы могут проявиться лишь тогда, когда распределение заряженных частиц в ней становится неоднородным и возникают макроскопические электромагнитные по
ля. Электромагнитные поля в плазме могут создаваться и внешними источниками, однако существенно, что эти поля вызывают движение заряженных частиц и влияют на их распределение, индуцируя в ней токи и заряды, которые сами создают электромагнитные поля, изменяя полное поле в плазме. Происходит так называемое самосогласованное
воздействие заряженных частиц и по
ля друг на друга.
Сформулируем уравнения электромагнитного поля в плазме как в материальной среде. Эти уравнения должны учитывать индуцированные заряды
и токи. Они могут быть записаны как для плазмы, так и для любой другой
материальной среды в виде
rot
rot
∂
E
=
B
E
+
∂
∂
1
B
−=
tc
∂
π
π
441
+
0
cctc
E
44div
⎫
,,
=
0div
Bjj
⎪
⎪
(2.1)
⎬
⎪
,,
πρ+πρ=
0
⎪
⎭
где B − вектор магнитной индукции; E − вектор напряженности электрического поля; j и ρ − соответственно плотности тока и заряда, индуцируемых в
среде; j
и ρ0 − плотности тока и заряда внешних источников поля. Уравне-
0
ния (2.1) известны как уравнения Максвелла в среде.
В дальнейшем будем считать внешние источники поля либо заданными,
либо отсутствующими (j
=0, ρ0=0). В последнем случае, образуя диверген-
0
цию от первого уравнения системы (2.1), получим
1
∂
divrot =
div
= jEB
∂
4
π
+
ctc
0div
.
Подставляя сюда значение divE из последнего уравнения системы (2.1),
находим, что индуцированные заряды и токи удовлетворяют уравнению непрерывности, выражающему закон сохранения количества электричества в
среде
ρ∂
j
0div =+
t
∂
. (2.2)
Физический смысл напряженности электрического поля E и магнитной
индукции B в среде, как и в вакууме, определяется выражением для силы
Лоренца, действующей со стороны поля на пробный заряд e, движущийся со
скоростью v:
15
1
⎧
+= vBEFce
⎨
⎩
Таким образом, влияние среды характеризуется появлением (по сравнению с уравнениями поля в вакууме) еще одной векторной величины
j − плотности индуцированного тока в среде; плотность же индуцируемого
заряда в среде выражается через ток с помощью уравнения непрерывности
(2.2). Однако удобнее вместо j ввести другую векторн
ваемую вектором электрической индукции и определяемую соотношением
() () ( )
Тогда уравнения (2.1) можно записать в виде
∂
41
D
∂
1
−=
t
=
∫∫
∞−
t
=
∫∫
∞−
+
∂
B
∂
tc
′
σ
′
ε
t в данной точке пространства r может
=
rot
B
rot
E
Система уравнений (2.1) или (2.5) не является замкнутой до тех пор, пока не задана связь плотности индуцированных токов и зарядов с напряженностью электрического поля E и магнитной индукции B (или, что то же самое, величины D с E и B). Поскольку магнитную индукцию можно выразить
с помощью третьего уравнения системы (2
ческого поля E, то, на самом деле, достаточно задать связь между векторами
j и E (либо D и E).
Установление этой связи является задачей той или иной конкретной модели среды. В частности, для плазмы мы получим такую связь, исходя из
уравнений, описывающих движение частиц плазмы. Однако уже из об
физических соображений, не задаваясь какой-либо конкретной моделью
среды, можно утверждать, что в линейной электродинамике эта связь должна иметь вид
() ( )( )
Или для величин D и E
() ( )( )
В этих соотношениях, называемых
ной электродинамики
заряды) в данный момент времени
зависеть от значения поля во все предыдущие моменты времени в произвольной точке пространства. Именно в этом проявляется частотная (времен-
, учтено, что состояние среды (индуцированные токи и
⎫
. (2.3)
[]
⎬
⎭
ую величину D, назы-
t
′′
π+=
∫
∞−
π
0
ctc
D
.1) через напряженность электри-
материальными уравнениями линей-
td,t,t,t rjrErD 4 . (2.4)
⎫
=
,,
0div
Bj
⎪
(2.5)
⎬
⎪
πρ=
.,
4div
0
⎭
′′′′′
d,tE,t,ttd,tj rrrr,r . (2.6)
jiji
′′′′′
d,tE,,t,ttd,tD rrrrr . (2.7)
jiji
щих
16
ная) и пространственная дисперсия среды. Физически частотная дисперсия
()()(
связана с инерцией зарядов и процессами релаксации поля в среде, а пространственная дисперсия
− с передачей действия поля из одной точки среды
в другую из-за теплового движения частиц плазмы и связанных с ними процессов переноса.
Задачей конкретной модели среды как раз и является нахождение явного выражения этих функций. Но прежде чем перейти к определению их вида,
изучим общий вид и общие свойства фун
кциональных связей (2.6) и (2.7).
2.2. Тензор диэлектрической проницаемости
Рассмотрим случай однородной в пространстве и времени среды. Однородность означает, что среда не меняет своих свойств во времени под
действием внешних причин, не связанных с действием электромагнитного
поля. В этом случае ядра интегральных соотношений (2.6) и (2.7) являются
функциями только разности моментов времени и координат, т.е. зависят
только от
t-t' и r-r'. Тогда
() ( )( )
() ( )( )
i
t
=
∫∫
∞−
t
=
∞−
′
′
∫∫
′
−
−σ
′
−ε
jiji
−
jij
′′′′
dtEtttdtj rrrrr ,,, ; (2.8)
′′′′
. (2.9)
rrrrr d,tE,tttd,tD
Представим произвольное электромагнитное поле в среде как совокупность плоских монохроматических волн, зависимость которых от времени и
координат описывается функцией exp(-
iωt+ikr) (ω − частота, k − волновой
вектор плоской волны). В силу линейности уравнений поля достаточно рассмотреть лишь одну компоненту разложения. Такая же зависимость принимается и для всех других величин, входящих в уравнения поля.
Соотношение (2.8) при этом запишется в виде
∞
() ()( )()
∫∫
0
Здесь введены обозначения t
=t-t', r1=r-r'.
1
exp rkkrrk d,Eiti,tdt,j
Отсюда сразу же следует, что связь между амплитудами j
ω−ωσ=ω
jiji
. (2.10)
111111
(ω,k) и Ej(ω,k)
i
имеет вид
)
, (2.11)
kkk ,E,,j
ωωσ=ω
jiji
где
∞
() ()( )
∫∫
0
exp rkrrk diti,tdt,
111
ijij
−ωσ=ωσ
. (2.12)
111
17
Величина σ
()()(
()(
k
k
(ω,k) называется тензором комплексной проводимости
ij
среды. Аналогично вводится тензор комплексной проницаемости среды:
)
, (2.13)
kkk ,E,,D
ωωε=ω
jiji
где
∞
() ()( )
∫∫
0
exp rkrrk diti,tdt,
111
ijij
−ωε=ωε
. (2.14)
111
Зависимость этих тензоров от ω определяет частотную (временную)
дисперсию, а зависимость от волнового вектора k − пространственную дисперсию электромагнитного поля в среде. С учетом выражения для электрической индукции (2.4) из (2.11) и (2.13) легко установить связь между тензорами диэлектрической проницаемости и проводимости
i
π
() ()
,
Необходимо отметить, что функции влияния σ
4
+δ=ωε
ω
kk ,
ωσ
. (2.15)
ijijij
(t,r) и εij(t,r) являются
ij
действительными функциями пространственно-временных переменных, так
как они связывают между собой действительные величины − напряженность
электрического поля и индуцируемый ток. Этого нельзя сказать о тензорах
проводимости и диэлектрической проницаемости даже как о функциях действительных переменных ω и k. Однако из действительности функций σ
и ε
(t,r) следуют определенные свойства для величин σij(ω,k) и εij(ω,k). В
ij
самом деле, из выражений (2.12) и (2.14) имеем
где Reε
(ω,k) и Imεij(ω,k) − соответственно действительная и мнимая часть
ij
компонент тензора ε
(ω,k).
ij
*
−ω−ε=ωε
,,
ijij
() ( )
() ( )
ijij
ImIm
ijij
⎫
)
kk
;
⎪
(2.16)
−ω−ε=ωε
,,
kk
;ReRe
⎬
⎪
−ω−ε−=ωε
,,,
kk
⎭
В случае изотропной среды, т.е. среды, свойства которой одинаковы во
всех точках пространства и в любых направлениях, тензор диэлектрической
проницаемости может быть функцией только лишь одного единственного
вектора k, причем лишь четной функцией, не меняющейся при замене
−на
. Тензор εij(ω,k) при этом может выражаться лишь через единичный
тензор δ
и тензор kik
ij
, так как других тензоров второго ранга из одного
j
единственного вектора k составить нельзя. Поэтому для изотропной среды
тензор ε
(ω,k) можно представить в виде
ij
⎛
() () ()
⎜
⎜
⎝
kk
ji
−δ=ωε k . (2.17)
ijij
k
⎞
tr
⎟
⎟
⎠
kk
ji
l
k
22
k
k
,,,
ωε+ωε
Таким образом, мы видим, что в изотропной среде из 9 компонент тензора диэлектрической проницаемости независимыми являются только две:
18
(t,r)
ij
tr
k
ε
(ω,k) и εl(ω,k), называемые поперечной и продольной диэлектрической про-
ницаемостью соответственно. Смысл такого названия легко понять, если
kk
учесть, что тензор
относительно волнового вектора компоненту электрического поля (kE).
Следовательно, величина ε
нию к продольному полю. Тензор же
деляет поперечную компоненту электрического поля [kE], т.е. ε
ji
при умножении на вектор E выделяет продольную
2
l
(ω,k) характеризует свойства среды по отноше-
kk
⎛
⎜
ij
⎜
⎝
⎞
ji
⎟
−δ
при умножении на E вы-
2
⎟
k
⎠
tr
(ω,k) характеризует электромагнитные свойства среды по отношению к поперечному
полю.
2.3. Энергия электромагнитного поля в среде
Рассмотрим вопрос об энергии электромагнитного поля в материальной
среде. Внешние источники, создающие поле в среде, естественным образом
изменяют его энергию, что связано с взаимодействием поля с источниками
или, иными словами, поле совершает работу над внешним
и источниками.
Вычислим эту работу. Для этого умножим в (2.5) первое и третье уравнение скалярно соответственно на E и B и вычтем одно уравнение из другого.
В результате получим
1
D
∂
⎛
E −
⎜
∂
π
⎝
B
∂
B
+
∂
tt
c
⎞
−=
⎟
⎠
div
44
π
[]
EjEB
0
. (2.18)
Проинтегрируем это соотношение по некоторому объему V, ограниченному некоторой поверхностью S. В правой части (2.18) преобразуем объемный интеграл от первого слагаемого в интеграл по поверхности, используя
теорему Гаусса. Получаем
1
π
D
∂
⎛
d
Er
⎜
∂
⎝
B
∂
B
+
tt
∂
c
⎞
−=
⎟
44
⎠
π
[]
−
ddS
∫∫∫
VSV
. (2.19)
rEjEB
0
Переходя в (2.19) к пределу неограниченной среды, заметим, что так как
на бесконечности поля обращаются в ноль, то поверхностным интегралом
можно пренебречь. На самом деле, вкладом этого интеграла можно пренебречь и в том случае, когда электромагнитные поля имеют вид плоских монохроматических волн, формально не обращающихся в ноль на бесконечности.
Это связан
о с тем, что при переходе к пределу неограниченной среды, поверхностный интеграл растет гораздо медленнее объемных интегралов, и им
можно пренебречь.
Второе слагаемое в правой части (2.19) есть не что иное, как работа
электромагнитного поля в единицу времени над внешними источниками.
19
Эта работа, естественно, компенсируется изменением энергии поля W. Та-
(
()(
[
()(
{
k
(
ким образом, имеем
dW
1
=
π
dt
4
Рассмотрим далее поля, входящие в выражение (2.20) как плоские монохроматические волны. Учитывая тот факт, что поля являются действительными функциями времени и пространственной координаты, запишем
∂
⎛
d
Er
⎜
⎝
()()
Аналогично записываются и остальные величины. Подставляя такие
разложения в (2.20) и производя усреднение по времени, получим после несложных преобразований
ω
dW
где V − достаточно большой объем среды.
Подставляя далее в (2.22) материальное уравнение среды в виде (2.13),
получим выражение для среднего количества энергии, выделяющейся в единице объема среды в единицу времени (иными словами, мощность поглощаемой энергии электромагнитного поля)
q
=
Соотношение (2.23) позволяет сделать весьма важный вывод: в среде, в
которой тензор диэлектрической проницаемости при действительных ω и k
является эрмитовым, т.е.
чает, что монохроматическая волна в такой среде не поглощается. Таким
образом, можно сказать, что за поглощение электромагнитного поля в среде
ответственна антиэрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости.
Соотношение (2.23) принимает особо простой вид для изотропных сред,
когда тензор диэлектрической проницаемости имеет вид (2.17). Тогда для
изотропной среды из (2
i
=
d
∫
dt
V
4
π
V
i
dW
1
dt
i
ω
[]
π
ω
==
∫
V
π
4
() ()
.23) с учетом (2.17) получаем
∂
D
∂
B
+
⎞
B
⎟
∂
tt
⎠
ω
i
=−
π
44
() ()
∗∗
ωε−ωε
kk
∗
jiij
.EE,,
jijiij
)
kk ,,
ωε=ωε
, тепло не выделяется. Это озна-
dA
−=−=
d
. (2.20)
rEj
0
∫∫
dt
VV
krkr
itiiti
−ω+∗+ω−
)
kEkErE
e,e,t,
ω+ω= . (2.21)
∗∗∗∗
)
DEEDDEEDr
V
−
, (2.22)
∗∗
]
EE,,d
kkr
=ωε−ωε
jijiij
(2.23)
ω
q
=
2
π
l
)
k
где
электрической проницаемостей при действительных ω и k.
,Im ωε и
tr
()
,Im ωε − мнимые части продольной и поперечной ди-
()() ()
2
k
20
trl
,Im,Im
ωε+ωε
22
}
[]
kEkE kk
, (2.24)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]