Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
Первое слагаемое этого выражения определяет поглощение продольно-
=
ω
()(
го поля в среде, а второе слагаемое – поперечного поля. Кроме того, из данного соотношения следует очень важное свойство тензора диэлектрической
проницаемости для изотропной среды, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Очевидно, что в такой среде все электромагнитные
волны должны поглощаться, поэтому
l
()
0,Im >ωε k
и
tr
()
0,Im >ωε k
. Нарушение любого из этих неравенств при-
0>q . Тогда из (2.24) следует, что
водит к тому, что возможна перекачка энергии из среды в энергию электромагнитной волны. В такой среде возникшее флуктуационным образом поле
может нарастать во времени. Это возможно лишь в том случае, когда среда
находится в термодинамически неравновесном состоянии. Следует отметить, что нарушение какого-либо нер
авенства является необходимым, но
недостаточным условием развития неустойчивости и роста возмущения поля. Для развития неустойчивости необходимо, чтобы в той области ω и k,
где нарушается какое-либо из указанных выше неравенств, электромагнитная волна могла бы распространяться в среде.
2.4. Электромагнитные волны
Как известно из общего курса физики, в отсу
тствие внешних источников поля в вакууме уравнения Максвелла имеют нетривиальное решение в
виде бегущих плоских электромагнитных волн, электрическое и магнитное
поле которых зависит от времени и координат в виде exp(-iωt+ikr), где ω −
частота, k − волновой вектор. В вакууме ω и k − действительные величины,
связанные со
отношением
ck
. (2.25)
Уравнение, связывающее между собой частоту и волновой вектор вол-
ны ω(k), называют дисперсионным уравнением. Соотношение (2.25) является
таким уравнением для электромагнитных волн в вакууме.
Получим дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в среде.
Если среда непоглощающая, то, как мы видели выше, тензор диэлектрической проницаемости будет эрмитовым тензором, т.е.
*
jiij
как и в вакууме, ω и k − действительные величины. В поглощающей среде ω
и k − комплексные величины. Для плоских монохроматических волн уравнения (2.5) записываются в виде
[]
[]
ω
() ()
−=
i
c
ω
−=
c
kBkkB
jij
()
kBkE
21
⎫
0
=ωε
,,E,
⎪
(2.26)
⎬
⎪
0
=ωε
.E,k,
jiji
⎭
)
kk ,,
ωε=ωε и,
Эта система легко преобразуется к системе трех однородных алгебраи-
(
k
(
ческих уравнений для компонент поля E
⎧
⎪
2
⎨
⎪
⎩
2
ω
−−δ
kkk k . (2.27)
2
c
⎫
⎪
ωε
()
=
E,
⎬
jijjiij
⎪
⎭
0
Из курса линейной алгебры известно, что система однородных алгебраических уравнений имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение в
том и только том случае, когда определитель матрицы однородного уравнения равен нулю, т.е. в нашем случае условие существования в среде распространяющихся электромагнитных волн запишется в виде
2
2
ω
−−δ=Λ k,
kkk
c
()
ijjiij
2
0
=ωε
. (2.28)
Уравнение (2.28) и является уравнением, определяющим зависимость
между частотой и волновым вектором, т.е. дисперсионным уравнением. В
случае изотропной среды, тензор диэлектрической проницаемости которой
представим в виде (2.17), система (2.27) распадается на два независимых
уравнения (при ω≠0):
ll
)
;0,
=ωε
E
⎡
⎢
⎢
⎣
()
kEk
l
где
E =
k, т.е. E
l
− компонента электрического поля вдоль волнового вектора
2
− продольное поле, а Etr=E-El − компонента электрического поля,
перпендикулярная к вектору k, т.е. E
k
2
ω
2
−
k
2
c
tr
⎤
()
ωε
k
E
⎥
⎥
⎦
− поперечное поле.
(2.29)
trtr
,0,
=
Естественно, дисперсионное уравнение (2.28) для изотропной среды
также распадается на два независимых дисперсионных уравнения:
l
)
,0,
=ωε
k
2
ω
2
k
tr
2
c
()
−
(2.30)
,0,
=ωε
k
первое из которых является уравнением существования продольных волн, а
второе − поперечных волн в среде.
В общем случае анизотропной среды дисперсионное уравнение (2.28) не
распадается на уравнения для продольных и поперечных волн. Следовательно, электромагнитные волны в анизотропных средах не являются ни чисто
продольными, ни чисто поперечными. Условие продольности поля в анизотро
пной плазме должно исследоваться в каждом конкретном случае отдель-
22
но. Однако можно отметить, что продольное поле, по определению, является
()(
ωΦ−=ω
()(
(
=ωε=ω
()(
∑
γ
потенциальным, и для плоской монохроматической волны получаем
)
kkkE ,i,
.
При этом из последнего уравнения системы (2.26) получаем
)
,
jiji
и дисперсионное уравнение продольных, или по-другому потенциальных
волн в анизотропной среде имеет вид
0=ωΦωε kk ,k,k
()
ε kk ,kk,
Скалярную величину ε(ω,k), определяемую соотношением (2.31), называют продольной диэлектрической проницаемостью анизотропной среды.
Легко видеть, что для изотропной среды, когда тензор ε
(2.17), величина ε(ω,k) совпадает с ε
Дисперсионное уравнение (2.28) допускает два способа решения: так,
для действительного значения волнового вектора k уравнение (2.28) допускает существование комплексного решения для частоты ω. Данный подход к
решению дисперсионного уравнения отвечает начальной задаче, когда в начальный момент времени
в последующие моменты времени
ресуемся изменением начального распределения электромагнитного поля во
времени. Находя корни дисперсионного уравнения ω
зависит от времени по закону
0=t поле было создано внешними источниками, и
l
(ω,k).
0>t они перестали работать, и мы инте-
()
n
Таким образом видно, что если для всех корней дисперсионного уравнения мнимая часть Imω
мени. При этом величину δ
соответствующего монохроматического возмущения. Ясно, что при этих
условиях с течением времени основной вклад в величину поля дает слагаемое , соответствующее минимальному значению декремента затухания. Если
среди корней дисперсионного уравнения существуют такие, что Imω
то соответствующий член суммы (2.31) описывает незатухающие собственные колебания среды. Наконец если существует хотя бы один корень с
Imω
(k) > 0, то колебания данного типа будут нарастать во времени. Это
n
возможно лишь в том случае, когда среда находится в неустойчивом состоянии. В этом случае величину
ния (или неустойчивости) колебания. Следует отметить, что появление кор-
(k) < 0, то члены ряда (2.32) уменьшаются во вре-
n
= |Imωn(k)| называют декрементом затухания
n
= Imωn(k) называют инкрементом нараста-
n
)
. (2.31)
ijji
0
(ω,k) имеет вид
ij
(k) получаем, что поле
n
ω−
)
ti~,t kkE exp (2.32)
n
(k) = 0,
n
23
ней дисперсионного уравнения с положительной мнимой частью является
()()(
∑
достаточным условием неустойчивости среды.
Другой подход к решению дисперсионного уравнения (2.28) заключается в нахождении комплексной проекции k(ω) на заданное направление в
предположении, что частота ω и две другие ортогональные проекции
k(ω) − действительные. Этот подход отвечает граничной задаче, когда определяется п
ространственное изменение поля при его известном значении на
некоторой поверхности. Пространственное изменение поля при этом определяется выражением
)
ω+ω−
iti~,t rkrE exp , (2.33)
n
(ω) удовлетворяет дисперсионному уравнению (2.28).
где k
n
В общем случае k
(ω) − комплексная величина, и если Imknθ(ω) > 0
n
(здесь θ - угол между заданным направлением и вектором k
n
(ω)), то волна
n
будет затухать в данном направлении, в противном случае волна будет нарастать. Однако сделать однозначный вывод об устойчивости среды на основании знака мнимой части Imk
(ω) нельзя. Для этого надо строго решить
nθ
граничную задачу и провести тщательный анализ дисперсионных кривых
(ω). Вопрос об устойчивости среды более естественно исследовать, исхо-
k
nθ
дя из начальной задачи. Если известно, что среда устойчива, т.е. Imω
Imk
(ω) характеризует пространственное затухание данной "моды" в данном
nθ
направлении. Для неустойчивой среды Imk
(ω) является характеристикой
nθ
< 0, то
n
пространственного усиления волны заданной частоты.
24
3. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПЛАЗМЫ
(
=
(
3.1. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем
В процессе развития представления о плазме как о газе заряженных частиц менялись и методы ее количественного описания. Самые первые и наиболее простые модели представляют плазму как систему не взаимодействующих между собой заряженных частиц, свободно движущихся во внешних по
находятся в беспорядочном тепловом движении, необходимо решить
уравнений движения с заданием такого же числа начальных условий, т.е.
координат и скоростей частиц. Естественно, что данная задача является
практически невыполнимой, так как число уравнений слишком велико даже
для очень малых, но макроскопических объемах среды. В связи с этим получили развитие методы впрямую использующие факт очень большого числа
частиц в сист
частиц вводится понятие функции распределения, характеризующей вероятность нахождения частицы в определенном состоянии в заданный момент
времени t в заданной точке пространства r. Если состояние частицы сорта α
характеризуется импульсом p
импульсом
фазовом пространстве p, r и t, т.е.
представляет число частиц сорта α в элементе фазового объема dpdr, а плотность частиц в точке r и t дается выражением
пределения.
физической величины, например среднюю скорость и среднюю энергию
частиц сорта α
уравнение. Для сильно разреженного газа в первом приближении взаимодействием между частицами можно пренебречь, считая их полностью неза-
лях. При этом, если плазма состоит из N
еме. Это так называемые статистические методы.
В кинетической теории газов для описания статистического ансамбля
и ее энергия однозначно определяется этим
α
Ε
(p), то функция распределения является функцией координат в
α
αα
() ( )
= . (3.1)
αα
∫
Часто это соотношение называют условием нормировки функции рас-
Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любой
()
α
∫
rV
t,
()
=
α
r
()
t,Ε
=
α
Для нахождения функции распределения используют кинетическое
r
()
α
() ( )
∫
α
α
25
частиц сорта α, которые
α
)
t,,ff rp
. Величина
prpr dt,,ft,n
prpv
dt,,f
;
t,n
r
t,n
()
(3.2)
prpp
dt,,fΕ
.
α
∑
α
)
N
α
rprp ddt,,f
висимыми. В этом случае изменение распределения частиц в объеме фазово-
∂
∂
∂
∑
го пространства около точки p, r возникает лишь только в результате втекания и вытекания частиц через поверхность, ограничивающую такой объем.
Если рождения или гибели частиц в объеме не происходит, то функция
(p,r,t) не меняется во времени (теорема Лиувиля). Следовательно,
f
α
()
rp
dt
f
t,,df r
+
=
∂
t
df
p
ααα
∂
dt
p
α
df
α
αα
+⋅
∂
dt
r
α
. (3.3)
0=⋅
Это уравнение называют уравнением Лиувиля или уравнением непрерывности для функции распределения.
Заметим также, что в соответствии с уравнениями движения частиц
d
p
α
dt
d
r
,
F
α
v
==
, (3.4)
dt
кинетическое уравнение (3.3) можно переписать в виде
∂
Величина F
представляет собой силу, действующую на частицу сор-
α
та α. Для заряженных частиц, имеющих заряд e
∂
f
+
v
∂
∂
t
r
∂
ff
αα
+
α
0=
F
α
∂
. (3.5)
p
α
, сила Fα определятся фор-
α
мулой Лоренца
1
⎧
+=
⎨
αα
⎩
⎫
[]
vBEFce
, (3.6)
⎬
⎭
поэтому кинетическое уравнение (3.5) для заряженных частиц сорта α окончательно примет вид
f
∂
∂
f
∂
v
+
t
∂
⎧
αα
e
α
r
⎨
⎩
[]
++
c
f
∂
⎫
α
vBE
⎬
∂
⎭
. (3.7)
01=
p
α
Здесь E(r,t) и B(r,t) − электрическое и магнитное поле в точке нахождения частицы.
При получении уравнения (3.7) предполагалось, что эти поля заданы.
В действительности они должны определяться из решения уравнений поля
(2.1), в которых плотность зарядов ρ и токов j вычисляются по известной
функции распределения все
х сортов частиц
=ρ ;
α
=
∑
α
()
α
α
∫
()
α
α
∫
dt,,fe
prp
(3.8)
.dt,,fe
prpvj
Суммирование в формулах (3.8) осуществляется по всем сортам заряженных частиц в плазме.
Введенные вышеуказанным способом поля E и B являются самосогласованными, поскольку из уравнения (3.7) получается такое распределение
частиц f
, которое вызывает появление электромагнитных полей, поддержи-
α
26
вающих это распределение. Поэтому уравнение (3.7) совместно с уравнениями (2.1) и (3.8) называют кинетическим уравнением с самосогласованным полем или уравнением Власова.
3.2. Уравнение Больцмана
Выше при выводе кинетического уравнения для функции распределения
мы пренебрегали взаимодействием частиц между собой, считая их свободными. Другими словами, ограничились нулевым приближением по параметру взаимодействия η пре
дставляющим собой отношение потенциальной
энергии взаимодействия частиц к их кинетической энергии. Учет корреляций в движении частиц приводит к тому, что правая часть уравнения (3.5)
уже отлична от нуля и равна так называемому интегралу столкновений
f
∂
∂
αα
v
+
t
∂
r
∂
∂
F
+
α
p
∂
fff
∂
⎞
⎛
α
α
α
=
⎜
⎝
. (3.9)
⎟
t
∂
⎠
st
Интеграл столкновений описывает изменение функции распределения
вследствие столкновений частиц. При этом в первом порядке по параметру
взаимодействия η он учитывает парные столкновения; слагаемые более высокого порядка описывают тройные, четверные и т.д. столкновения. В газах
благодаря малости параметра η можно ограничиться рассмотрением только
парных столкновений, записав интеграл столкновений в виде су
f
∂
⎞
⎛
α
=
⎟
⎜
∂
⎝
∑
t
⎠
st
β
αβ
f
∂
⎞
⎛
⎜
⎝
, (3.10)
⎟
t
∂
⎠
st
ммы
в которой отдельные слагаемые описывают столкновения частиц сорта α с
частицами сорта β (в том числе столкновения частиц сорта α между собой).
Кроме того, ограничимся рассмотрением так называемых упругих столкновений, когда внутренняя структура заряженных частиц не меняется. В общем случае в плазме могут происходить также и неупругие столкновения,
приводящие к во
збуждению или ионизации частиц плазмы. Однако при исследовании линейных электродинамических процессов в плазме основную
роль играют именно упругие процессы.
Прежде чем мы перейдем к обсуждению вопроса о виде интеграла
столкновений для газа и для ансамбля заряженных частиц, обратим внимание на ряд свойств, которыми обладает интеграл столкновений независимо
от ег
о конкретного вида. Если не учитывать процессы, превращающие частицы одного сорта в частицы другого сорта (ионизацию, диссоциацию и т.д.),
то столкновительные члены удовлетворяют условиям
αβ
f
∂
⎞
⎛
⎟
⎜
∫
t
∂
⎠
⎝
st
0=
pd
; (3.11)
α
27
αα
(
f
∂
⎞
⎛
⎟
⎜
α
∫
t
∂
⎠
⎝
st
2
α
∫
2
m
αα
f
∂
⎞
⎛
⎟
⎜
t
∂
⎠
⎝
α
st
0=
pp d
; (3.12)
α
0
=
ppd
. (3.13)
α
Действительно, интеграл (3.11), умноженный на dr, дает изменение
полного числа частиц сорта α в элементе объема dr в результате их столкновений с частицами сорта β. Но при упругих столкновениях такого изменения
нет. Интегралы (3.12) и (3.13) дают изменение соответственно импульса и
энергии частиц сорта α в результате их столкновений между собой. Но та
как при столкновениях импульс и энергия сохраняются, то эти интегралы
равны нулю. Аналогично для упругих столкновений между различными частицами α, β, когда сохраняются суммарные импульсы и энергия, справедливы соотношения
αβ
∂
f
⎞
⎛
⎟
⎜
α
∂
t
⎠
⎝
2
f
∂
p
m
⎞
⎛
α
⎟
⎜
t
∂
⎠
⎝
α
αβ
+
d
∫∫
+
p
d
α
∫∫
βα
∂
f
⎞
⎛
⎟
⎜
βα
∂
t
⎠
⎝
stst
2
p
f
∂
⎛
β
⎜
22
t
m
∂
⎝
β
0=
pppp d
; (3.14)
β
βα
⎞
⎟
⎠
stst
0
=
p
d
. (3.15)
β
Согласно общим положениям статистической физики, в состоянии теплового равновесия частицы любого газа имеют максвелловское распределение по скоростям
f
0
() ()
ff
M0
pp
N
==
()
2
π
mT
2
⎛
−
⎜
exp
−
23
⎜
2
⎝
m
mT
⎞
)
Vp
⎟
. (3.16)
⎟
⎠
Здесь индекс α для краткости опущен; m – масса частицы данного сорта;
T − температура газа; V – его скорость как целого. Так как мы выражаем
температуру плазмы в энергетических единицах, постоянная Больцмана в
формулах фигурировать не будет. Если подставить максвелловское распределение в кинетическое уравнение (3.9), то легко убедиться, что его левая
часть об
ратится в нуль. Таким образом, каков бы ни был конкретный вид
интеграла столкновений при подстановке в него максвелловского распределения, он должен обращаться в нуль. Более того, можно доказать, что если
газ предоставить самому себе так, что его функция распределения изменяется вследствие столкновений, то при любых начальных условиях функция
распределения со в
ременем стремится к максвелловской – это знаменитая
H-теорема Больцмана. Процесс приближения функции распределения к максвелловской при столкновениях называют релаксацией. Релаксация происходит за время порядка среднего интервала между столкновениями.
Рассмотрим процесс столкновения частицы α с частицей β. Пусть p
и p'
, p'β − соответственно импульсы сталкивающихся частиц α и β до и по-
α
28
α
к
, pβ
сле столкновения, а W(p
(
)
(
(
)
Δ′′′′−=Δ
(
)
(
(
)
Δ′′′′′′
(
p
↔p'α+p'β. Тогда за время Δt изменение функции распределения частиц
α+pβ
сорта α, имеющих импульс p
с частицами сорта β, имеющими начальный импульс p
В то же время частицы с импульсом
пульсом
сорта
p
в результате обратного процесса – столкновения с частицами
α
β, имеющими начальный импульс p'
′
=
Δ
,p'α,p'β) − вероятность упругого рассеяния
α,pβ
, из-за их ухода в точку p'α при столкновениях
α
, составит величину
β
)
p'
будут приходить в точку с им-
α
. Это изменение равно
β
)
tdddff,,,Wf
ppppppppp .
βαβββααβαβαα
tdddff,,,Wf
ppppppppp .
βαβββααβαβαα
Чтобы получить полную скорость изменения функции распределения
частиц сорта
ным состояниям частиц сорта
частиц сорта
α, надо сложить Δf
и Δf'α и проинтегрировать по всем началь-
α
β и всем возможным конечным состояниям
α и β (т.е. таким состояниям, в которых сохраняется импульс и
энергия сталкивающихся частиц). В результате для скорости изменения
функции распределения частиц сорта
сорта
β получим выражение
αβ
∂
f
⎛
⎞
⎜
∂
⎝
−=
⎟
t
⎠
st
()
[]
α из-за их столкновений с частицами
∫
()
()
()
()
−
pppp
′′′′
⋅
,,,Wddd
ppppppp
βαβααββ
(3.17)
′′
.ffff
ββααββαα
Прямой подстановкой в (3.17) максвелловского распределения (3.16)
можно убедиться что интеграл столкновений обращается в ноль для любых
частиц
α, β, имеющих одинаковую температуру T. Выражение (3.17) с уче-
том законов сохранения энергии и импульса сталкивающихся частиц известно как
интеграл упругих столкновений Больцмана. Задача теории интегралов
столкновений как раз и состоит в определении конкретного вида вероятности рассеяния.
Для потенциала взаимодействия двух частиц, зависящего только от
мгновенного расстояния между ними
U(|r
|) в борновском приближении
α-rβ
квантовой теории возмущения, можно получить следующее выражение для
интеграла столкновений:
αβ
2
∂
f
⎛
⎜
∂
t
⎝
U(k) − фурье-образ потенциала взаимодействия.
где
π
⎞
=
⎟
⎠
∫
=
st
k
d
p
d
β
3
2
π
()
()
[]
2
()
k
U
()
⎛
()
⎜
δ
⎜
⎝
2
kp
=
−
α
α
()
2
)
kp
=
+
β
+
()
+−−×
ffff
ββααββαα
p
β
,
kpkppp
==
2
2
α
α
⎞
p
β
⎟
×
−−
(3.18)
⎟
2222
mmmm
β
⎠
Выражение (3.18) в рамках применимости борновского приближения
является общим, так как получено без каких-либо ограничений закона взаимодействия частиц (кроме малости энергии взаимодействия по сравнению с
кинетической энергией частиц). Упростим это выражение при переходе к
29
классическому пределу
()(
∑
=k<< p
, pβ, т.е. в предположении малости переда-
α
ваемого при рассеянии импульса "кванта взаимодействия". Разлагая подынтегральное выражение (3.18) по
модуля
k, получаем
∂
⎛
⎜
∂
⎝
αβ
f
⎞
=
⎟
∂
⎠
st
=k и учитывая, что U(k) зависит только от
⎡
∂
∂
pt
α
i
αβ
()
β
ij
∫
f
,Id
α
ppp
⎢
βα
∂
p
α
⎢
⎣
∂
f
−
β
ff
αβ
∂
p
β
jj
⎤
, (3.19)
⎥
⎥
⎦
где
2
3
() ()()
2
−δ
uuu
jiij
2
u
∫
kukk
3
() ()()
2
=δππ=
kkUdI
jiij
2
2
(3.20)
δπ
,Ukd
kukk
а
u=v
αβ
∫
2
π
=
2
− относительная скорость сталкивающихся частиц.
α-vβ
Используя полученное выражение для интеграла столкновений в форме
(3.20) в кинетическом уравнении (3.9), получаем следующее уравнение для
функции распределения частиц сорта
∂
=
∂
f
+
v
∂
∂
t
⎛
∂
⎜
D
⎜
∂
p
i
α
⎝
α:
∂
ff
αα
r
ij
∂
α
+
F
∂
f
α
p
α
=
α
j
∑
∂
p
α
β
⎞
⎟
−
,fA
i
α
⎟
⎠
αβ
∂
f
⎞
⎛
⎜
⎝
=
⎟
∂
t
⎠
st
(3.21)
где
=
β
=
∑
∫
β
αβ
ijij
β
∫
αβ
()
ppp
,IdA
iji
β
βα
)
pppp
,f,IdD
βββα
(3.22)
f
∂
β
p
∂
j
β
соответственно коэффициенты диффузии и трения в пространстве скоростей.
Кинетическое уравнение в форме (3.21) также называют
Фокера-Планка
. Полученные интегралы столкновения в форме (3.19) и ки-
уравнением
нетическое уравнение (3.21) пригодны (в рамках оговоренных при их получении условиях) для описания любого газа, поскольку в них не конкретизирован вид потенциала взаимодействия
U(r). До сих пор мы исследовали об-
щие свойства статистического ансамбля частиц. Ниже мы зададимся конкретным видом потенциала взаимодействия, отвечающего статистическому
ансамблю заряженных частиц
− ионов и электронов.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]