Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
−
⎡
⎢
⎢
⎣
M
−=δ
8
Zm
⎛
2222
⎜
131
rk
++ω=ω
DiLi
⎜
⎝
4
⎡
ωπ
i
e
⎢
+
33
⎢
k
Te
⎣
⎤
⎞
⎛
1
⎟
⎜
1
+
⎥
⎟
⎜
⎥
⎠
⎝
⎦
⎞
⎛
T
M
eei
⎟
⎜
Z
m
⎟
⎜
T
i
⎠
⎝
При этом учтено условие квазинейтральности плазмы N
Z − заряд ионов. Из условия ω>>k
v
сразу же следует, что волны со спек-
Ti
тром (4.22) возможны только в неизотермической плазме (T
r
ти длин волн k
<<1. Найденный спектр частот слабозатухающих продоль-
Di
1
⎞
1
⎟
;
2222
⎟
rkrk
DeDe
⎠
23
⎛
ω
⎜
exp1
−
⎜
2
k
⎝
e
(4.22)
2
⎤
⎞
⎟
⎥
.
22
⎟
⎥
vv
Ti
⎠
⎦
=ZNi, где
e
>>Ti) и в облас-
ных колебаний существенным образом зависит от ионной компоненты плазмы, поэтому его часто называют ионной или низкочастотной ветвью продольных волн в плазме. Особо простой вид спектр приобретает в области
больших длин волн когда выполнено условие kr
<<1. В этой области он
De
переходит в спектр так называемых ионно-звуковых колебаний
⎛
T
e
⎜
Zk v
π
−=δ
8
M
+=ω
⎜
i
⎝
m
e
Z
M
⎞
T
i
⎟
⎟
ZT
e
⎠
⎡
⎢
Z
+ω
⎢
i
⎣
2222
k
M
m
;31
s
23
⎞
⎛
T
eei
⎟
⎜
⎟
⎜
T
i
⎠
⎝
⎛
ZT
3
⎜
exp1
−−
⎜
22
⎝
⎞
e
⎟
⎟
T
i
⎠
(4.23)
⎤
⎥
.
⎥
⎦
=
Такие колебания получили название ионного звука по аналогии со спектром обычного звука в газах или жидкостях с фазовой скоростью v
. Опреде-
s
лим, насколько должна быть велика неизотермичность плазмы, чтобы соблюдалось условие малости декремента затухания по сравнению с частотой
колебания. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие
T
e
T
i
⎛
⎜
1exp
⎜
⎝
В обратном пределе коротких волн, когда выполнено kr
<<1, спектр принимает вид
kr
Di
⎞
ZT
e
⎟
+<<
. Так, для водородной плазмы Z=1 получаем Te/Ti > 6.
⎟
T
3
i
⎠
22
;
ω≈ω
Li
Zm
π
−=δ
e
M
8
i
⎡
ω
Li
⎢
⋅
33
⎢
rk
Di
⎣
M
Z
+
m
23
⎞
⎛
T
eei
⎟
⎜
⎜
⎝
exp1
⎟
T
i
⎠
2
⎛
ω
Li
⎜
−
22
⎜
k
v
Ti
⎝
−
⎞
3
⎟
⎟
2
⎠
>>1, но
De
⎤
(4.24)
⎥
.
⎥
⎦
Эти колебания похожи на электронные плазменные колебания, но в них
колебания осуществляются за счет ионов, а электроны из-за своей высокой
скорости создают постоянный отрицательный пространственный заряд.
Анализ декремента затухания показывает, что такие колебания возможны
лишь в сильно неизотермической плазме.
51
В) Область самых медленных низкочастотных продольных волн, для
которых
ω
k
vv
,<
. (4.25)
TeTi
В этой области частот продольная диэлектрическая проницаемость имеет такой же вид, как и в статическом случае
2
() ()
r
− введенный при рассмотрении во Введении эффекта поляризации
где
D
ll
kk +=
ω
α
∑
α
L
v
α
+=ε≈ωε
1
11,0,
, (4.26)
2222
rkk
DT
плазмы дебаевский радиус.
Это означает, что в данной области частот происходит экранирование
продольного поля в плазме на характерном расстоянии, равном дебаевскому
радиусу. Аналогичный эффект получается и при kv
частот ω>>ω
. В этом случае диэлектрическая проницаемость также не за-
Li
<<ω<<kvTe в области
Ti
висит от частоты, имеет вид (4.26) и приводит к радиусу экранирования
r
. Это соответствует экранированию продольного высокочастотного
экр=rDe
поля в области частот между плазменной ионной и плазменной электронной
ω
<<ω<<ωLe.
Li
4.3. Поперечные волны
Рассмотрим теперь спектр поперечных электромагнитных волн в однородной и изотропной плазме. Дисперсионное уравнение в этом случае имеет
вид
2
ω
2
k
tr
2
c
()
− k
0,
=ωε
. (4.27)
Как и в случае продольных волн рассмотрим уравнение (4.27) в двух
предельных случаях: при больших и малых фазовых скоростях волн.
А) Область быстрых волн, когда ω/k>>v
. Уравнение (4.27) в этом пре-
T
α
деле записывается приближенно в виде
2
⎛
ω
2
k
⎜
−
2
⎜
c
⎝
2
⎞
ω
α
L
⎟
01
=
−
∑
2
ω
α
. (4.28)
⎟
⎠
Отсюда получаем спектр высокочастотных поперечных волн в изотропной плазме
2222
ck ω+=ω . (4.29)
Le
Ионными слагаемыми в этом пределе частот можно пренебречь и считать плазму чисто электронной. Кроме того, спектр частот поперечных волн,
по существу, не зависит от теплового движения частиц плазмы, поскольку
их фазовая скорость больше скорости света и намного превышает скорость
теплового движения заряженных частиц плазмы. Следствием последнего
52
является полное отсутствие поглощения таких волн в бесстолкновительной
плазме. Формально выражение (4.11) содержит отличную от нуля мнимую
часть даже при фазовых скоростях, больших скорости света. Однако это является следствием неточности максвелловского распределения в области
скоростей частиц
v>c. Так как реально такие частицы существовать не мо-
гут, то мнимая часть должна строго обратиться в нуль.
Б) Область поперечных волн с малыми фазовыми скоростями ω/k<<v
Te
В этой области частот независимо от соотношения между фазовой скоростью волны и скоростью теплового движения ионов вкладом ионных слагаемых в диэлектрическую проницаемость также можно пренебречь. При
этом для поперечной диэлектрической проницаемости получаем
2
ω
tr
()
π
Le
⋅
+≈ωε
1,
2
. (4.30)
kikvω
Te
Подстановка этого выражения в (4.27) дает спектр
23
ck
iω⋅
−=ω
2
π
v
Te
. (4.31)
2
Le
Отсюда видно, что частота поперечных колебаний является чисто мнимой. Это означает, что поперечные колебания в низкочастотной области
спектра не могут распространяться как свободные волны, а апериодически
затухают вследствие сильного бесстолкновительного поглощения электронами плазмы. Поэтому более осмысленной является не начальная, а граничная задача о проникновении поперечного поля в плазму. Раз
решив дисперсионное уравнение (4.27) относительно k, находим пространственный масштаб, или как говорят, глубину проникновения низкочастотного поперечного
поля в плазму
ckv
ωω
⎞
Te
⎟
. (4.32)
2
⎟
Le
⎠
1
sk
Im
⎛
2
6
⎜
2
==λ
⎜
π
⎝
31
2
Полученная глубина проникновения описывает скинирование (скинэффект) поперечного поля в плазме, связанного с поглощением энергии волны из-за черенковского поглощения. Такой скин-эффект называют аномальным, в отличие от скин-эффекта, обусловленного поглощением из-за
столкновений частиц.
4.4. Диэлектрическая проницаемость плазмы с учетом столкновений
частиц
.
Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой столкновения
между заряженными частицами преобладают. Для описания столкновений
частиц в такой плазме воспользуемся кинетическим уравнением с интегра-
53
лом столкновений в форме Ландау (3.27). Вообще говоря, функции распре-
∂
(
)
деления Максвелла с разными температурами T
и Ti не являются решениями
e
уравнений (3.27) в стационарном и однородном случае в отсутствие полей.
Однако время выравнивания температур между ионами и электронами в отношении масс ионов и электронов больше частоты электрон-ионных столкновений, поэтому если интересоваться процессами более быстрыми, чем это
время, то состояние плазмы с максвелловскими распределениями заряженных частиц по скоростям мо
жно считать квазистационарным и приближенно
удовлетворяющим равновесию.
Линеаризуем уравнение (3.27), считая возмущения функции распределения под действием малых поле
E и B. Тогда для возмущения δf
получаем
α
уравнение
δ∂
f
∂
t
⎡
f
∂
0
×
⎢
p
∂
⎢
α
⎣
δ∂
f
αα
+
v ,
∂
r
α
() ()
f
+δ
ββ
∂
f
+
∂
α
e
E
α
∂
p
f
δ∂
α
p
α
∂
=
∑
β
−
∫
∂
p
i
αβ
ff
() ()
ααββ
00
∂
αβ
()
Id
ij
β
f
δ∂
β
δ−
p
β
ppp
βα
f
pppp .
αα
×
f
∂
p
∂
⎤
β
0
⎥
⎥
β
jjjj
⎦
(4.33)
В общем случае полученная система уравнений, которая даже после линеаризации остается интегро-дифференциальной со сложным ядром, не поддается решению. Поэтому не удается получить и выражения для тензора диэлектрической проницаемости полностью ионизованной плазмы в произвольной области частот и волновых векторов, как это было сделано в предыдущем разделе. Тем не мен
ее такое решение может быть получено для отдельных областей спектра, которые охватывают практически все интересные
случаи.
В области высоких частот ω>ν
(здесь ν
− характерная частота столкновений частиц сорта α) интегралом
α
, либо коротких длин волн kv
α
T
>να
α
столкновений в правой части (4.33) в нулевом приближении можно пренебречь и записать решение в виде (4.4)
f
α
0
e
E
α
∂
()
0
α
if
−=δ
p
. (4.34)
kv
−ω
Подставляя (4.34) в правую часть уравнения (4.33), находим в первом
приближении поправку от столкновений частиц данного сорта со всеми частицами плазмы (в том числе и частицами этого же сорта)
i
1
f
=δ ppp
α
⎡
f
∂
()
0
α
0
⎢
×
p
∂
⎢
⎣
α
()
f
β
+δ
β
kv
−ω
()
0
f
δ∂
α
p
∂
α
∂
∑
∂
p
i
α
β
()
ff
−
00
Id
β
∫
()
ααββ
αβ
()
ij
f
δ∂
p
∂
×
,
βα
0
β
f
δ−
β
∂
()
0
()
pppp (4.35)
αα
∂
⎤
f
β
0
⎥
.
p
⎥
β
jjjj
⎦
54
Формула (4.34) приводит к полученному в подразделе 4.1 выражению для тензора диэлектрической проницаемости бесстолкновительной
плазмы, поправка же (4.34) дает поправку к плотности индуцированного
заряда и тока в плазме, а следовательно, к бесстолкновительному тензору
диэлектрической проницаемости. В области низких частот ω, ν
<<kv
α
T
α
этой поправкой можно пренебречь, так как длина волны много меньше
длины свободного пробега, и, как мы видели выше в параграфе 4.2, в
этом случае диссипативные процессы, как бесстолкновительные, так и
столкновительные, не играют особой роли.
, kv
В обратном пределе высоких частот, когда ω>>ν
, столкновения
α
T
α
играют важную роль и их учет становится необходим особенно при вычислении диссипативной ( антиэрмитовой) части тензора диэлектрической
проницаемости, так как в отсутствие столкновений при фазовых скоростях волн, больших тепловых скоростей частиц бесстолкновительная
диссипация экспоненциально мала. Приведем без вывода результаты расчета поправок к антиэрмитовой части тензора диэлектрической проницаемости из-за столкн
при ω>>ν
при ω>>ν
, kvTe
e
, kvTi, но ω, νe<<kvTe
i
овений:
() ()
trl
,,
2
=ωδε=ωδε
ikk ; (4.36)
ω
222
ων
k
l
() ()
8
,
=ωδε k
ik
5
v
TiLiii
5
ω
νω
eiLe
3
tr
0,,
=ωδε
. (4.37)
В этих выражениях
42
ei
m
3
e
2
4
π
=ν
NeZ
i
,
L
23
T
e
4
π
=ν⋅
ii
M
3
44
NeZ
⋅
i
i
L
. (4.38)
23
T
i
Полученные поправки позволяют учесть столкновительное затухание
волн, спектры которых в бесстолкновительном пределе были вычислены в
подразделах 4.2, 4.3. Так, для высокочастотных продольных колебаний со
спектром частот (4.18) учет электрон-ионных столкновений дает поправку к
декременту затухания (4.19) в виде
ν
ei
−=δΔ
. (4.39)
2
Для низкочастотной ветви ионно-звуковых колебаний можно получить
следующую поправку к бесстолкновительному декременту затухания (4.22):
22
ν
k v
4
5
Tiii
⋅−=δΔ
. (4.40)
2
ω
,,
55
Наконец, столкновительная поправка к поперечной диэлектрической
проницаемости (4.37) определяет декремент затухания высокочастотных
поперечных волн со спектром (4.29), которые, как мы видели, были незатухающими в бесстолкновительном пределе
2
ν
−=δ
2
ω
Leei
⋅
+ω
Le
. (4.41)
222
ck
56
5. ПЛАЗМА В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
5.1. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной магнитоактивной плазмы
Изучим теперь электромагнитные свойства термодинамически рав-
новесной плазмы во внешнем постоянном и однородном магнитном поле
. Рассмотрим случай холодной Te=Ti=0, покоящейся, однородной плаз-
B
0
мы. Для получения выражения для тензора диэлектрической проницаемости воспользуемся двухжидкостным гидродинамическим приближением,
описываемым уравнениями (3.29), (3.30) совместно с уравнениями поля
(2.1). Для возмущений, распространяющихся в виде плоской волны, т.е.
для которых зависимость от времени и координат определяется функцией
()
kriti +ω−exp , линеаризуем полученную систему, оставляя только чле-
ны первого порядка по возмущениям. Используя уравнение движения и
уравнение непрерывности для ионов и электронов, находим зависимость
возмущенных концентраций и скоростей частиц от напряженности электрического поля. Подставляя найденные затем по формулам (3.28) выражения для индуцированных токов и зарядов в уравнения поля (2.1), получаем уравнение для волн в хол
одной магнитоактивной плазме, которое в
декартовой системе координат {x,y,z} с осью z, направленной вдоль век-
тора внешнего магнитного поля (B={0, 0, B
лежащим в плоскости {x,z} (k={k
⎛
⎜
⎜
⎝
2
ω
2
k
ε
−
2
c
2
ω
i
2
c
, 0, kz}), имеет следующий вид:
x=k⊥
⎞
⎟
⎟
⎠
2
ω
iE
−
2
c
⎛
2
⎜
kgE
−+
⎜
⎝
⎛
2
⎜
kEkk
−+−
⊥⊥
⎜
⎝
}), и волновым вектором k,
0
⎫
,0
EkkgE
=−
⊥⊥
2
⎞
ω
⎟
E
=
ε
⊥
2
c
ω
c
yx
⎟
⎠
2
⎞
⎟
E
=
ε
||
zxz
2
⎟
⎠
⎪
zzyxz
⎪
⎪
⎪
(5.1)
,0
⎬
⎪
⎪
⎪
.0
⎪
⎭
Здесь введены следующие обозначения:
где
2
ω
−=ε
⊥
Be
α
0
=Ω
α
− ларморовская или циклотронная частота для частиц
cm
α
α
Ω−ω
α
||
22
α
2
ω
α
g , (5.2)
−=ε
2
ω
α
−=
,1,1
∑∑∑
2
Ωω
LLL
αα
22
Ω−ωω
)(
α
α
сорта α.
Сопоставляя систему уравнений (5.1) с уравнением для электромагнитных волн (2.20), получаем для тензора диэлектрической проницаемости выражение
57
⎛
[
(
=
ε
⊥
⎜
ig
⎜
ij
⎜
⎝
⎞
0
ig
⎟
. (5.3)
0
ε−ε=ε
⎟
⊥
⎟
00
ε
||
⎠
Так как диссипативные процессы при выводе (5.3) не учитывались, тензор (5.3) оказывается эрмитовским. Из уравнения (5.1) видно, что в магнитоактивной плазме в общем случае продольные и поперечные волны не являются независимыми, как это было в изотропной плазме.
5.2. Спектры колебаний холодной магнитоактивной плазмы
Условие разрешимости системы уравнений (5.1) представляет собой
дисперсионное уравнение электромагни
тных волн в холодной магнитной
плазме
2
()
k
()()
22
−ε+ε=ωΛ
kkk
||
z
2
c
4
ω
−
()
||
4
c
ω
2
22
||
22
.0
=−εε
g
⊥
(5.4)
22
]
⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ||
−εε+εε−−ε
2, kkg
Дисперсионное уравнение также не распадается на независимые уравнения для продольных и поперечных волн. Такой распад, строго говоря,
имеет место только в случае чисто продольного (вдоль магнитного поля)
распространения волн (k
= 0). При этом первые два уравнения системы (5.1)
⊥
описывают поперечные волны, дисперсионное уравнение которых имеет вид
222
)
gck ±εω=
. (5.5)
⊥
Волна оказывается циркулярно поляризованной, и два знака в правой
части соответствуют двум независимым поляризациям поперечной волны − левой, для которой E
правой, для которой E
= iEx (так называемая обыкновенная волна), и
y
= -iEx (необыкновенная волна).
y
Третье же уравнение системы (5.1) в случае чисто продольного распространения описывает продольные колебания холодной магнитоактивной
плазмы, и дисперсионное уравнение для них приобретает вид
0
, (5.6)
||
причем E || k || z.
Спектр продольных колебаний, определяемый решением уравнения
(5.6), похож на спектр электронных плазменных волн изотропной плазмы и
записывается в виде
22
ω=ω . (5.7)
Le
Что касается решений дисперсионного уравнения для поперечных волн
(5.5), то в общем случае они выражаются довольно громоздкими формулами.
Однако рассматривая предельные случаи, можно получить простые аналитические решения для спектров частот
58
⎛
⎜
2222
ck ∓
ω+=ω
Le
⎜
⎜
⎝
22
ckωΩ
=ω
22
k
v
2
Ω
i
c
=
v − альвеновская скорость.
где
A
=
ω
Li
A
=ω при
2
v
A
+
1
2
c
B
0
MN
π
4
ii
e
2
Le
⎛
⎜
⎜
⎜
1
∓
⎜
⎛
⎜
⎜
i
⎜
⎜
⎝
⎝
Исходя из этих выражений можно представить общий ход кривой ω(k),
если учесть, кроме того, что при k
и ω→Ωe.
ω→Ω
i
Ω
ck
k
v
A
2
⎞
v
A
⎟
1
+Ω
2
⎟
c
⎠
2
→∞ уравнение (5.5) допускает решения
⎞
⎟
e
⎟
222
⎟
ω+
Le
⎠
ω
Ω<<ω<<Ω
,при
ei
Ω
⎞
⎟
; при1
Ω>>ω
e
2
Le
; (5.8)
e
⎟
⎟
23
⎟
⎟
⎟
⎠
,
Ω<<ω
i
Ход кривой ω(k) представлен на рис. 5.1. Из графика видно, что в холодной магнитоактивной плазме существует пять ветвей колебаний, распространяющихся строго вдоль магнитного поля, причем четыре из них
описывают поперечные волны, а
одна – продольные волны. Поперечные волны в области низких частот
называют магнитогидродина-
ω<Ω
i
мическими, причем ветвь колебаний, которая при k→∞ соответствует волне с ω→Ω
, называют альве-
i
новской волной, а ветвь колебаний,
которая при k→∞ соответствует
волне с ω→Ω
ласти частот ω<Ω
, для колебаний в об-
e
− быстрой магни-
i
тозвуковой волной, а в области частот Ω
<ω<Ωe − спиральной волной
i
или геликоном. Следует отметить
что все эти колебания в рассматриваемом бесстолкновительном пределе являются незатухающими.
Не представляет труда провести анализ дисперсионного уравнения (5.4) также в случае строго по-
Рис. 5.1
59
перечного распространения волн (k
(
Ω>ω
=0). При этом оно распадается на два
z
уравнения
2
ω
2
k
=
2
c
2
,
k
=ε
||
c
2222
g
−εω
⊥
, (5.9)
ε
⊥
описывающие соответственно обыкновенную и необыкновенную волны в
магнитоактивной плазме. Обыкновенная волна оказывается чисто поперечной, в ней отлична от нуля лишь одна компонента электрического поля E
причем спектр частот совпадает со спектром частот поперечных волн изотропной плазмы
2222
ck ω+=ω (5.10)
Le
Необыкновенная волна является продольно-поперечной с ненулевыми
компонентами электрического поля E
и Ey и циркулярно поляризованной.
x
Простые аналитические выражения для спектра частот удается получить
только в предельных случаях
1
⎡
⎢
⎣
2
222
ω
2
=ω
22
ck
22
k
v
2
A
=ω
v
1
+
c
ck
Li
2
⎛
⎜
1
⎜
⎝
2
A
2
⎞
ω
Le
⎟
+
2
⎟
Ω
e
⎠
при ω<<Ωi.
+
42
при Ωi<<ω<<Ωe ; (5.11)
4
ω
Le
4
Ω
e
2222222222
⎤
ckck при ω>>ω
)
Ω−+Ωω±+ω+Ω=ω
eeLeLee
⎥
⎦
;
Li
Учитывая формулы (5.10) и (5.11), а также замечая, что второе уравнение (5.9) при k
2
ω
→ω
Li
1
2
→∞ имеет предельные решения
ΩΩ≈
, легко представить общий ход дисперсионных
22
Ωω+
eLe
ie
кривых ω(k), который приведен на рис. 5.2 для плазмы с
22
Ω+ω→ω и
eLe
Из графи-
eLe
ка видно, что число ветвей колебаний, распространяющихся строго поперек
магнитного поля в холодной бесстолкновительной плазме, равно четырем,
причем одна из них описывает чисто поперечные волны, а остальные три −
продольно-поперечные волны. Колебания с частотой
ΩΩ<ω в этом слу-
ie
чае соответствуют магнитогидродинамической волне, распространяющейся
поперек магнитного поля B
; отсутствуют колебания, соответствующие аль-
0
веновской волне.
В общем случае произвольного распространения волн получение аналитических решений дисперсионного уравнения (5.4) весьма затруднительно.
,
z
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]