Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
Из формулы (8.3) следует, что в местах провала плотности плазмы δn<0
<
γ
нарастает плотность плазмонов, а следовательно, и высокочастотное давление
⎞
δ
n
⎟
,
⎟
22
n
⎟
rk
0
De
⎠
где
⎛
⎜
HFHF
exp
PP
0
⎜
⎜
⎝
HF
P
− равновесное значение высокочастотного давления. Как уже отме-
0
1
1
−=
6
⎞
n
δ
⎟
⎟
22
n
⎟
rk
0
De
⎠
⎛
⎜
HF
1
P
−⋅≈
0
⎜
⎜
⎝
1
1
6
чалось выше, это и является причиной неустойчивости.
Суммарное давление в плазме складывается из газокинетического и вы-
сокочастотного, поэтому
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
HF
P
0
−⋅δ=δ
TnP
e
n
6
0
⎞
1
⎟
. (8.5)
⎟
22
⎟
rk
De
⎠
В том случае, когда при увеличении концентрации плазмы суммарное давление нарастает
вых волн, распространяющихся со скоростью
()
0>δδ nP , возмущения плотности имеют характер звуко-
ω 1
=
P
δ
. В пределе волн
n
Mk
δ
i
малой амплитуды, когда высокочастотное давление много меньше газокинетического давления мы приходим к известному выражению для скорости
ионного звука. Если же
()
0
δδ nP , звуковые волны переходят в апериоди-
ческую неустойчивость, приводящую к растущей со временем модуляции
плотности плазмы и пространственного распределения плазмонов. Условие
возникновения неустойчивости, таким образом, имеет вид
HF
P
0
>
Tn
e
0
22
6
. (8.6)
rk
De
При значительном превышении порога неустойчивости инкремент роста
амплитуды равен
δ
P
≈γ
k
1
ω≈
p
δ
Mn
0
i
HF
P
m
e
0
. (8.7)
Tn
M
32
e
i
0
Наконец, для применимости использованного в проведенном рассмотрении
квазистатического распределения плазмонов (8.3) необходимо, чтобы скорость роста возмущений
2
плазмонов
3
kr ω
. Комбинируя формулы (8.6) и (8.7), нетрудно показать,
0
pDe
k
оставалась существенно меньше скорости
что это условие выполняется для достаточно интенсивного газа плазмонов
HF
P
0
0
m
e
>>
. (8.8)
M
Tn
e
i
91
8.2. Основные уравнения и законы сохранения
ω
(
(
(
δ
Простая и в достаточной степени универсальная система уравнений, описывающих модуляционную неустойчивость, может быть получена путем усреднения гидродинамических уравнений по быстрому времени масштаба периода плазменных колебаний
. Рассмотрим колебания плотности заряда
01p
в изотропной плазме и введем в рассмотрение медленно меняющуюся комплексную амплитуду
Тогда для медленно меняющейся амплитуды
()
rE ,t электрического поля ленгмюровской волны
1
p
2
ω−
() ()
∗
,,
+= rErEE . (8.9)
titi
ω
pp
00
)
etet
)
rE ,t из уравнений Максвелла
E
p
(2.5) можно получить следующее уравнение:
div
⎛
⎜
⎜
⎝
3
E
∂
i
t
∂
2
r
0
2
ω−ω+
⎞
n
δ
⎟
0divgrad
=
EE
pDep
0
n
0
. (8.10)
⎟
⎠
В этом уравнении второе и третье слагаемые учитывают смещение частоты плазмонов за счет пространственной дисперсии ленгмюровских волн и
медленной вариации плтоности.
Квазинейтральные вариации плотности плазмы
)
r,tn
описываются
уравнением ионно-звуковых колебаний с вынуждающей силой, обусловленной давлением плазмонов
где
2
⎛
∂
⎜
−
2
⎜
∂
t
⎝
2
E
HF
P
− давление газа плазмонов.
π=16
M
⎞
TT
+
ie
⎟
Δ
⎟
⎠
1
=δ
n
π
16
M
2
EΔ
, (8.11)
ii
В отсутствие поля накачки (задача о динамике начального распределения плазмонов) уравнения (8.10), (8.11) имеют интегралы движения, соответствующие законам сохранения полного числа ленгмюровских квантов,
импульса и энергии взаимодействующих колебаний, отсчитанной от уровня
ω
p0I0
1
=
0
πω
8
p20
i
I
2
3
De
()
2
2
drI
+= rrErE d
∗∗
n
δ
2
+
d
n
0
∫∫∫
rE dI
∫
⎡
⎛
⎢
⎜
⎝
⎢
⎣
, (8.12)
ξ∂
δωπ+−=
rrEEEE d
8divdiv
2
ξ∂
⎞
+
⎟
t
∂
⎠
nMd
pi 01
∫∫
TT
+
ie
M
i
, (8.13)
t
∂
2
()
divdiv3 , (8.14)
ξ
⎤
⎥
⎥
⎦
92
ξ − вектор смещения частиц в низкочастотных колебаниях
(
{
~
где
div
Постоянно действующую длинноволновую накачку, инициирующую
плазменную турбулентность, естественно ввести с помощью условия
)
EE . (8.15)
0
tiΩ−= exp
n
δ
.
−=ξ
n
0
В этом условии скобки соответствуют усреднению по объему плазмы,
постоянная во времени амплитуда накачки,
– "расстройка" меж-
ω−ω=Ω
p
0
E
–
0
ду частотой волны накачки и плазменной. Приведенное условие означает,
что в стационарных условиях диссипация энергии длинноволновой накачки
в турбулентность компенсируется источником, например непрерывно падающей на плазму электромагнитной волной. Возможность введения накачки с помощью условия (8.15) основана на естественном разделении пространственных масштабов в задаче о плазменной турбулентности, иницииру
емой электромагнитной волной – макроскопического масштаба порядка
длины волны c/ω и микроскопического масштаба плазменной турбулентно-
Te/ωp
.
сти v
При наложении условия (8.15) сохраняются только интегралы (8.13),
(8.14), а вместо (8.12) имеем уравнение, описывающее изменение числа ленгмюровских квантов под действием накачки
d
2
dt
ω
p
0
= rEErEErE dnedne
id
0
n
2
0
∗Ω−∗Ω
ti
ti
δ−δ
o
∫∫∫
}
. (8.16)
В квазистационарной турбулентности приток энергии в турбулентность
компенсируется затуханием ленгмюровских и звуковых волн на частицах.
Такое затухание описывается добавлением в левые части уравнений (8.10),
(8.11) слагаемых
i ,
. Декременты затухания – сложные функцио-
t
∂
δ∂
n
~
γ
EΓ−
налы функций распределения резонансных с колебаниями частиц, их конкретный вид зависит от механизма затухания.
Система уравнений (8.10), (8.11) описывает, в частности, параметрическое взаимодействие высокочастотных и низкочастотных колебаний, приводящее к хорошо известному распаду ленгмюровской волны на ленгмюровскую и звуковую волны. При таком распаде часть энергии исходных колебаний уно
сится квантами ионного звука, и распад, как обычно в слабой турбулентности, приводит к перекачке ленгмюровской энергии в длинноволновую
часть спектра.
Для достаточно большой интенсивности плазменных волн существен-
ным оказывается другой эффект, также описываемый уравнениями (8.10),
93
(8.11), а именно рефракцию плазмонов на неоднородностях плазмы. При
глубокой модуляции плотности
n
δ
n
0
22
3
rk
≥
(8.17)
De
плазмоны оказываются запертыми в областях пониженной плотности (кавернах) и дальнейшее вытеснение плазмы из каверн сопровождается коротковолновой перекачкой запертых плазмонов. Оценивая глубину модуляции
плотности в образующихся кавернах из баланса давлений
PnT
δδ~ , полу-
e
чим из (8.17) условие возникновения модуляционной неустойчивости (8.6).
При исследовании модуляционной неустойчивости весьма полезной
оказалась аналогия с явлением самофокусировки мощной электромагнитной
волны. Самофокусировка возникает при распространении мощного луча лазера в оптически прозрачной среде и связана с нелинейным изменением показателя преломления. В тех случаях, когда показатель преломления N увеличивается с рос
том амплитуды, скорость волнового фронта к его центральной части оказывается меньше, чем на краях. Волна становится сходящейся,
и энергия волны фокусируется к центру. В качестве примера среды, в которой возможна самофокусировка, можно привести изотропную плазму с по-
2
ω
казателем преломления
()
N . Нелинейное изменение такого по-
p
1
−=ω
2
ω
казателя преломления обусловлено с вытеснением частиц плазмы силой высокочастотного давления, и легко видеть, что показатель преломления растет
с ростом амплитуды волны.
Аналогия с модуляционной неустойчивостью очевидна с той лишь разницей, что в модуляционной неустойчивости вследствие выделенной системы отсчета зарождение каверн происходит во всем объеме плазмы, в то вр
емя как при самофокусировке "затягивание" волн происходит только в центральной части волнового фронта.
8.3. Коллапс ленгмюровских волн
Основной нелинейный эффект в модуляционной неустойчивости – захват плазмонов в каверны – не может быть описан в рамках слабой турбулентности, т.е. в приближении слабой связи мод. Отсюда про
исхождение
самого термина – сильная плазменная турбулентность.
В.Е. Захарову в 1972 году удалось построить решение, описывающее
динамику каверны с запертыми в ней плазмонами. В этом решении локализация электрического поля в каверне и вытеснение из нее плазмы сопровождаются уменьшением характерного размера каверны вместе с длиной волны
запертых плазмонов
94
1
1
l
~
~ (8.18)
k
n
δ
и, как следствие, еще большей локализацией ленгмюровской энергии. Тогда
рост амплитуды поля в каверне и углубление плотности носят характер
взрыва, и в математическом решении за конечное время достигается особен-
ность
, 0→l . Фактически это означает, что схлопывание – коллапс
∞→δn
каверны – продолжается до тех пор, пока не достигаются столь малые размеры каверны и длин волн запертых в ней плазмонов, при которых становится существенной диссипация ленгмюровской энергии. Используя соотношения (8.17) между длиной волны запертых плазмонов и глубиной модуляций плотности и инвариант I
(см. (8.12)), примененный к изолированной
0
каверне (постоянство числа запертых в ней плазмонов) при различной геометрии каверн, можно получить простую иллюстрацию возможности коллапса каверны.
Действительно, из условия (8.12) следует, что при схлопывании высокочастотное давление в центре каверны возрастает обратно пропорциональ-
2
но ее объему
E (s=1, 2, 3 – размерность каверны). В то же время для
s
l1~
схлопывания необходимо преодолеть давление вытесняемой из каверны
плазмы (так же, как в формуле (8.5), высокочастотное давление плазмонов
является фактором, приводящим к модуляционной неустойчивости и к углублению плотности, в то время как газокинетическое давление играет стабилизирующую роль). Из (8.17) следует, что газокинетическое давление δnT
при схлопывании меняется как l
-2
. Поэтому в одномерном случае при неко-
тором характерном размере l обязательно установится баланс давлений, и
схлопывание прекратится. В этом случае модуляционная неустойчивость
приводит к образованию солитонов (уединенных волн) – статических ям
плотности с ленгмюровским наполнением. При
2=s возможность коллапса
зависит от начальных условий – если вначале высокочастотное давление
превышало газокинетическое, то в дальнейшем процесс коллапса не остановить. И, наконец, в трехмерном случае коллапс представляется неизбежным – каверны с плазмонами схлопываются со все возрастающей скоростью
вплоть до достижения малых размеров, при которых становится существенной диссипация ленгмюровской энергии. На осн
ове представлений о схлопывающихся кавернах удается построить последовательную теорию сильной
турбулентности и решить проблему плазменного конденсата. В то же время
видно, что энергия ленгмюровских волн поглощается в основном резонансными частицами, имеющими скорость много большую тепловой скорости
электронов. Т.е. можно сказать, что в результате развития сильной ленгмюровской турб
улентности происходит генерация быстрых частиц (или так
называемых "горячих" электронов).
e
95
8.4. Магнитно-модуляционная неустойчивость ленгмюровских волн
(
[
(
(
Φ
−
()(
(
(
В теории сильной нелинейности, наряду с развитием модуляционной
неустойчивости интенсивных ленгмюровских волн, возможна также генерация квазистатических (медленно меняющихся по сравнению с плазменной
частотой) магнитных полей. Физика этого явления отличается от физики
развития каверн плотности плазмы, рассмотренной в предыдущих разделах.
Случайно возникшее локально квазистатическое возмущение магнитного
поля δ
B (которое в силу замкнутости магнитных силовых линий должно
быть вихревым) будет, в первую очередь, локально изменять фазы колебаний. В свою очередь, колебания с неоднородным распределением фаз создают вихревые токи в плазме, которые усиливают спонтанно возникшие
магнитные поля. Эта неустойчивость, в отличие от модуляционной неустойчивости, получила название магнитно-модуляционной неусто
йчивости.
Используя выражение для нелинейного тока (7.21), подставляя в него
амплитуду поля ленгмюровской волны в виде (8.9) и усредняя по быстрому
времени, можно получить, что вихревая компонента квазистатического нелинейного тока выражается через комплексную амплитуду
)
rE ,t электри-
ческого поля ленгмюровской волны следующим образом:
e
i
=δ EEj rot
16
m
ωπ
0pe
∗
]
×
. (8.19)
Из (8.19) следует, что для генерации магнитного поля необходимо, чтобы комплексные амплитуды
тенциальных волн
∇=E это означает, что градиенты амплитуды ∇ϕ и
rE ,t и
фазы ∇ψ комплексного потенциала
)
)
rE ,t
были неколлинеарны. Для по-
)
r
,,,ti
ψ
)
rr
ett
ϕ=Φ должны быть также
∗
неколлинеарны. Подставляя ток (8.19) в уравнения Максвелла (2.1) получаем
уравнение, описывающее эволюцию квазистатического магнитного поля.
Последовательная теория, учитывающая взаимное влияние модуляционных и магнитных возмущений, нелинейное затухание Ландау (аномальный скин эффект для магнитных возмущений) и эффекты пространственной
дисперсии, дает следующую систему уравнений:
div
⎛
⎜
⎜
⎝
∂
i
E
t
∂
B
3
r
0
2
⎛
∂
⎜
⎜
∂
⎝
23
2
()
π+δΔ
c
2
graddiv
2
−
2
t
2
ω
p
0
2
v
Te
n
δ
ω−ω+
0
pDep
n
0
⎞
TT
+
ie
⎟
=δ
Δ
n
⎟
M
δ
∂
∫
t
∂
16
⎠
′
t
rB
,
)
′
′
−
rr
e
i
2
cm
e
1
Δ
E
M
π
ii
e
id
=
ω
4
⎞
⎟
[]
2
, (8.21)
cm
pe
0
0
=
δ−
BEEE
, (8.20)
⎟
⎠
∗
[]
×Δ
EEr
. (8.22)
96
Система уравнений (8.20)−(8.21) отличается от уравнений модуляционной неустойчивости (8.10), (8.11) наличием дополнительного слагаемого в
уравнении (8.10), учитывающего влияние магнитного поля на комплексную
амплитуду и дополнительного уравнения (8.22) для возмущений магнитного
поля.
Для регулярного поля накачки можно получить, что чистая магнитномодуляционная неустойчивость будет развиваться, если интенсивность ленгмюровских волн удовлетворяет условию
HF
P
0
Tn
0
e
22
ck
>
3
. (8.23)
2
ω
0
p
Это условие является более сильным, чем условие развития модуляционной
неустойчивости (8.6). Если превышение над порогом неустойчивости велико, то генерация магнитных полей будет происходить с инкрементом
HF
2
P
v
Te
0
ω≈γ
p
0
8cTn
0
. (8.24)
2
e
Сопоставляя инкремент магнитно-модуляционной неустойчивости (8.24) с
инкрементом модуляционной неустойчивости (8.7), видим, что преобладание генерации магнитных полей будет только для очень высокой интенсивности ленгмюровских колебаний
HF
4
P
0
Tn
e
0
m
c
> . (8.25)
e
4
M
v
i
Te
Совместное рассмотрение развития модуляционной и магнитномодуляционной неустойчивостей показывает, что эти два процесса неотделимы друг от друга и развиваются одновременно. При низких интенсивностях порог генерации магнитных полей совпадает с порогом модуляционной
неустойчивости. Магнитные поля возбуждаются на фоне образования каверн
с инкрементами модуляционной неустойчивости. Условие (8.25) означает,
что при этих интенсивностях веду
щим становится возбуждение магнитного
поля. Более того, в этих условиях может происходить стабилизация схлопывания каверн из-за эффекта замагничивания электронов в сильном магнитном поле, генерируемом внутри каверны. К сожалению, построить решение
для развития таких замагниченных солитонов не удается.
97
Содержание
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Что такое плазма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Квазинейтральность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Поляризуемость плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Особенности движения заряженных частиц в плазме . . . . 9
1.5. Параметры плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Электродинамика плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Уравнение электромагнитного поля в среде . . . . . . . . 15
2.2. Тензор диэлектрической проницаемости . . . . . . . . . . . 17
2.3. Энергия электромагнитного поля в среде . . . . . . . . . . 19
2.4. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Уравнения динамики плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1. Кинетическое уравнение с самосогласованным полем . . . 25
3.2. Уравнение Больц
3.3. Интеграл столкновений Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4. Гидродинамическая модель в бесстолкновительной плазме 32
3.5. Гидродинамическая модель при учете столкновений – урав-
нения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Изотропная плазма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной
плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Спектры продольных колебаний, затухание Ландау . . . . . 48
4.3. Поперечные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4. Диэлектрическая проницаемость плазмы с учетом
столкновений частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
5. Плазма в постоянном и однородном магнитном по
5.1. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной
магнитоактивной плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Спектры колебаний холодной магнитоактивной плазмы . . 58
6. Плазменные неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1. Двухпотоковая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2. Пучковая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3. Неустойчивость относительного движения электронов
и ионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7. Нелинейные эффекты в плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1. Роль нелинейных эффектов в физике плазмы . . . . . . . 67
7.2. Классификация нелинейностей плазмы . . . . . . . . . . 67
7.3. Нелинейное уравнение для полей в плазме . . . . . . . . 69
7.4. Нелинейные колебания заряд
7.5. Нелинейные колебания плотности плазмы . . . . . . . . . . 72
7.6. Нелинейный ток плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
мана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ле . . . . . . 57
ов холодной плазмы . . . . . 70
98
7.7. Нелинейные уравнения для поперечных и продольных
электромагнитных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.8. Уравнения для амплитуд волн . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.9. Нелинейное взаимодействие слабозатухающих и слабо
раскачивающихся волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.10. Когерентное взаимодействие трех волн . . . . . . . . . . 82
7.11. Параметрические неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . 86
8. Взаимодействие сильных волн в бесстолкновительной плазме 88
8.1. Модуляционная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2. Основные уравнения и законы сохранения . . . . . . . . . 92
8.3. Коллапс ленгмюровских волн . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.4. Магнитно-модуляционная неустойчивость
ленгмюровских волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Основы физики плазмы
С. А. Бельков
Редактор Н. П. Мишкина
Компьютерная подготовка оригинала-макета Е.В. Жукова
____________________________________________________________
Подписано в печать 02.02.2002 Формат 60×84/16 Печать офсетная
Усл. печ. л. 5,8 Уч.–изд. л. 7,5 Тираж 150 экз. Зак. тип. 824-2002
ПД 00568 от 22.05.2000 ЛР 020651 от 23.10.97
____________________________________________________________
Отпечатано в ИПК ВНИИЭФ, 607190 г. Саров Нижегородской обл.
99
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]