Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
Vd
∂
=
=
+
+
=
nm
ii
dt
3
n +
e
2
3
n +
2
∂
α
−= R
∂
Td
ee
dt
Td
ii
i
dt
π∂
p
p
i
αβ
iii
−
∂
rr
β
α
p
qV divdiv
qV divdiv
1
⎛
++
EZen
⎜
α
c
⎝
π−−=+
αβ
eeee
∂
π−−=+
αβ
iiii
⎞
[]
V
r
∂
+
BV
⎟
ii
α
⎠
V
α
e
Q
r
∂
β
α
i
Q
; (3.59i)
i
β
e
; (3.58i)
α
; (3.59e)
где
;;
TnpTnp
==
iiieee
d
∂
e
() ()
=
tdt
∂
d
∂
i
e
=∇+
tdt
∂
(3.60)
.;
∇+
VV
i
В выражениях для коэффициентов переноса далее используется условие
Znnn
квазинейтральности плазмы и обозначается
m
малость отношения
. Здесь и далее в практических формулах использу-
e/mi
. Используется также
ie
ется система единиц СГС: магнитное поле выражается в гауссах, температура
− в электрон-вольтах.
Электронные и ионные "времена между столкновениями" ( в секундах)
берутся в виде
3
=τ ; (3.61e)
e
=τ
i
4
где
A − атомная масса иона, L − кулоновский логарифм, который для прак-
ee
24
π
24
3
π
nZLe
23
Tm
ii
44
nZLe
i
⋅
105,3
=
()
L
i
10
6
101,2
⋅
=
L
()
10
23
Tm
23
4
T
e
⋅
Zn
23
TA
i
⋅
, (3.61i)
3
nZ
тических применений может быть вычислен по формулам
−= , T
−= , T
TnL lg45,3lg15,14,23
TnL lg3,2lg15,13,25
e
e
<50 эВ;
e
>50 эВ.
e
Циклотронные частоты (в обратных секундах) электронов и ионов равны
eB
e
cm
e
ZeB
i
cm
i
Коэффициенты переноса в магнитном поле зависят от
приведем только предельные выражения для больших значений
Из них легко получить также выражения для случая
7
B
1076,1 ⋅==Ω ; (3.62e)
B
4
1096,0 ⋅==Ω (3.62i)
A
Ωτ. Здесь мы
Ωeτ
и Ω
e
iτi
0
B , учитывая, что
приведенные здесь коэффициенты вдоль магнитного поля равны коэффициентам переноса без поля.
.
41
Значки
=
|| и ⊥ у векторов означают, что берется компонента вектора, со-
ответственно параллельная и перпендикулярная магнитному полю, например
||
()
uhhu
,
[][]
huhu =
⊥
, где h=B/B – единичный вектор вдоль магнитно-
го поля.
Передача импульса путем столкновений от ионов к электронам
R=R
личием относительной скорости
складывается из двух частей: силы трения Ru, обусловленной на-
u+RT
u=V
, и термосилы RT, возникающей
e-Vi
благодаря градиенту температуры электронов. Из двух аналогичных частей
e
складывается и электронный поток тепла:
e
qqq += . Относительная ско-
T
ue
рость электронов и ионов просто связана с плотностью тока, а именно
j = enu.
Ωeτ
При больших
и для однократно ионизованной плазмы, т.е. Z=1, ки-
e
нетическая теория дает следующие выражения для передачи импульса путем
столкновений и для потоков тепла электронов.
Сила трения
⎛
nm
ee
()
51,0 en
−=
u
τ
e
uuR
||
⊥
j
||
⎜
=+
⎜
σ
⎝
⎞
j
⊥
⎟
, (3.63)
+
⎟
σ
⊥
||
⎠
где коэффициенты электропроводности равны
2
τ
где
⋅
109,0
=σ
1
()
13
ZL 10
[с⋅эВ
-3/2
].
ne
=σ
⊥
ee
m
e
⊥
23
; (3.64)
T
σ=
e
1
96,196,1
23
Tσ=σ=σ
, (3.65)
e
1||
Термосила
n
3
e
[]
Tn ∇
71,0
||
−∇−= hR
eeT
2
T
. (3.66)
τΩ
e
ee
Электронные потоки тепла
Tn
e
71,0
u
ee
T
e
||||
3
ee
[]
huuq
Tn
+=
||
ee
2
e
5
TT ∇−∇χ−∇χ−=
e
⊥⊥
2
; (3.67)
τΩ
ee
Tcn
ee
[]
T
hq
, (3.68)
eB
e
где коэффициенты теплопроводности равны
τ
e
=χ
||
e
=χ
⊥
Tn
16,3
eee
; (3.69)
m
e
Tn
66,4 . (3.70)
ee
2
m
τΩ
eee
42
Z≠1, то коэффициенты в этих выражениях следует заменить со-
Z
η−=
π
Если
гласно табл. 3.1.
Таблица 3.1
Номера формул
Z
(3.63) (3.66) и (3.67) (3.68) (3.69) (3.70)
1 0,51 0,71 3/2 5/2 3,16 4,66
2 0,44 0,9 3/2 5/2 4,9 4,0
3 0,40 1,0 3/2 5/2 6,1 3,7
4 0,38 1,1 3/2 5/2 6,9 3,6
∞
0,29 1,5 3/2 5/2 12,5 3,2
Поток тепла ионов при
Ωτ>>1 равен
i
i
i
||||
Tcn
i
i
=χ
||
i
=χ
⊥
5
ii
[]
; (3.71)
T
∇+∇χ−∇χ−=
TT
i
⊥⊥
2
τ
Tn
iii
9.3
m
i
Tn
ii
2 . (3.73)
2
m
τΩ
hq
eB
i
; (3.72)
iii
Тепло, получаемое ионами при столкновениях с электронами (электронно-ионная релаксация)
QQ −
==
i
Δ
m
()
τ
eei
. (3.74)
TT
ie
n
m
3
e
Тепло, выделяющееся в электронах вследствие столкновений с ионами
складывается из работы силы трения при относительном движении электронов и ионов и тепла связанного с электронно-ионной релаксацией
2
2
j
j
||
e
QQ −
Δ
+
=−−=
σ
||
1
⊥
σ
⊥
jRRu . (3.78)
T
en
e
nmm
3
e
()
−+
τ
TT
eei
ie
Тензор вязких напряжений без магнитного поля
, (3.79)
W
αβαβ
0
где тензор скорости сдвигов
∂
W
αβ
∂
=
∂
V
V
α
+
r
β
2
β
∂
δ−
r
3
α
αβ
Vdiv
. (3.80)
43
В сильном внешнем магнитном поле (
∂
ких напряжений в системе координат с осью
Ωτ>>1) компоненты тензора вяз-
z, параллельной магнитному
полю, имеют следующий вид:
W
η−=π
;
0
zzzz
1
()()
2
1
()()
2
1
2
1
2
1
()
31
2
;
WW
η−η−=π=π
42
yzxzzxxz
.
WW
η+η−=π=π
42
xzyzzyyz
;
WWW
−η+η−=π=π
yyxxxyyxxy
⎫
⎪
⎪
;
WWWWW
η−−η−+η−=π
310
xyyyxxyyxxxx
⎪
⎪
⎪
;
WWWWW
η+−η−+η−=π
310
xyxxyyyyxxyy
⎪
(3.81)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
Выражения (3.81) годятся и для ионов, и для электронов, но для каждого сорта частиц надо, конечно, подставить свой тензор скорости сдвигов
и свои коэффициенты вязкости.
Коэффициенты вязкости для ионов
i
0
3
i
=η (3.83)
1
10
1
i
=η (3.84)
Ω
2
Коэффициенты вязкости для электронов при
e
0
e
=η
1
1
e
−=η (3.87)
2
Tn τ=η 96,0
; (3.82)
iii
Tn
ii
2
τΩ
ii
Tn
ii
i
ii
;4;
η=η
12
ii
.2;
η=η
343
Z=1
Tn τ=η 73,0
; (3.85)
eee
Tn
ee
2
τΩ
ee
Tn
ee
Ω
e
ee
η=η
;4;51,0
(3.86)
12
ee
.2;
η=η
343
Выделение тепла вследствие вязкости
V
1
Q
π−= W
is
v
αβ
или, пренебрегая членами порядка (
V
∂
3
Q
v
α
π−=
αβ
r
∂
β
∂
Ωτ)
W
0
α
r
β
zzis
π−=
2
-2
,
⎛
2
0
⎜
=η=
⎜
34
⎝
αβαβ
∂
V
V
∂η
∂
y
x
x
−
+
∂
y
2
⎞
∂
V
z
⎟
2
⎟
∂
z
⎠
. (3.88)
W
αβ
44
4. ИЗОТРОПНАЯ ПЛАЗМА
(
δ+=
(
4.1. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы
Перейдем к изучению электромагнитных свойств плазмы. Естественно
начать с простейшего случая пространственно однородной, изотропной
плазмы. При этом, считая столкновения между ионами и электронами малыми, вначале вообще можно пренебречь интегралом столкновений и рассматривать самосогласованное кинетическое уравнение Власова (3.7). Такое описание справедливо для бы
стро протекающих процессов с характерным временем, много меньшим времени свободного пробега частиц, либо имеющих
пространственные масштабы, много меньшие длины свободного пробега.
Такая плазма получила название бесстолкновительной.
В пространственно однородной, изотропной и бесстолкновительной
плазме функция распределения частиц в отсутствие электромагнитных полей может быть произвольной функцией импульса p=|p|. Однако мы знаем,
что в ра
Максвелла с температурой T
вновесной плазме функция распределения имеет вид распределения
и плотностью Nα (для частиц сорта α), кото-
α
рое в системе отсчета, где плазма покоится, может быть записано как
2
() ()
pfpf
==
αα
M0
N
α
()
2
π
Tm
αα
⎛
⎜
exp
−
23
⎜
⎝
⎞
p
α
⎟
. (4.1)
⎟
Tm
2
αα
⎠
При этом столкновения, даже малые, играют важнейшую роль в процессе установления распределения Максвелла. Когда мы говорим, что пренебрегаем ими, то имеем в виду только то, что частота столкновений мала по
сравнению с частотами процессов в плазме. Однако они достаточны, чтобы
установить равновесие в макроскопическом объеме плазмы.
Чтобы вычислить диэлектрическую про
ницаемость плазмы, необходимо
найти отклонение функции распределения от равновесной при ее взаимодействии с малыми возмущениями электрического и магнитного поля, появление которых в свою очередь связано с малыми отклонениями функции распределения от равновесной. Поэтому представим функцию распределения в
виде разложения по возмущениям
()()
0
)
tfpftf ,,,,
rprp
ααα
. (4.2)
Подставляя функцию распределения в виде (4.2) в уравнение Власова
(3.7) и удерживая в нем только члены первого порядка по возмущению, по-
лучаем линеаризованное кинетическое уравнение для возмущения δf
)
δ∂
f
∂
t
δ∂
f
αα
+
v
∂
r
∂
p
f
α
+
E
e
α
0=
∂
p
. (4.3)
В основном состоянии плазма квазинейтральна и в ней отсутствуют за-
ряды и токи. Под действием полей E и B в ней возникают индуцированные
токи, которые определяются через возмущенную функцию распределения.
45
Решение уравнения (4.3) удобно искать в фурье-представлении. Тогда реше-
∂
ние для фурье-образа возмущения легко написать в виде
f
α
0
e
E
α
p
∂
if
−=δ
α
. (4.4)
kv
−ω
Подставляя это выражение в выражение для индуцированных токов
(3.8), получаем, согласно материальному уравнению (2.11), следующее выражение для тензора проводимости плазмы:
∂
f
α
0
v
i
∂
p
()
k d
,
ij
2
−=ωσ
ei
α
∑
α
∫
j
p
. (4.5)
kv
−ω
Наконец, используя связь комплексной диэлектрической проницаемости
и комплексной проводимости (2.15), определим тензор ε
π
4
,
() ()
+δ=ωε p
ω
kk d
,
+δ=ωσ
ijijijij
∑
α
ei
π
4
ω
(ω,k)
ij
f
∂
0
α
v
i
2
α
p
∂
j
kv
. (4.6)
∫
−ω
Необходимо обратить внимание на наличие полюса ω=kv в подынтегральных выражениях формул (4.5)−(4.6). При этом значение интеграла начинает зависеть от способа его вычисления. Чтобы устранить неоднозначность необходимо выяснить правила обхода полюса. Для этого заметим, что
возмущение функции распределения должно исчезать при t→-∞. Так как
зависимость от времени для δf имеет вид ∼exp(-iωt), такое исчезн
овение δf
означает наличие хотя бы бесконечно малой положительной мнимой части у
ω при действительных значениях k. Это означает что полюсы подынтегральных функций уже не лежат на действительной оси, а смещены в верхнюю полуплоскость ω'. Следовательно, правило обхода полюса ω=kv: его
нужно об
ходить снизу. Тогда можно использовать известное соотношение
lim
→γ
P1
0
γ+
()
xi
πδ−=
xix
, (4.7)
где символ P означает, что интегрирование особенности в точке x=0 надо
понимать в смысле главного значения, т.е. по определению
∞
P
∞−
dxxlim
y
=
dx
. (4.8)
∫∫
∞→
y
x
−
y
Таким образом, получаем для тензора комплексной диэлектрической
проницаемости следующее выражение:
2
e
4
π
∑
α
α
∫
ω
+δ=ε
f
∂
p i
d
v
iijij
P
⎡
α
0
⎢
p
kv
−ω∂
⎣
j
kv
−ωπδ−
⎤
. (4.9)
⎥
⎦
()
46
Первое слагаемое в подынтегральном выражении (4.9) дает вклад в эр-
(
митовскую (действительную) часть тензора диэлектрической проницаемости, а второй − в антиэрмитовскую (мнимую) часть, ответственную за поглощение волн в плазме. Видно, что за поглощение волн ответственны только те частицы, скорость которых удовлетворяет условию ω=kv. Это условие
можно переписать в виде ω/k = v
рости частицы и волновым вектором волны, а v
= vcosθ, где θ − угол между вектором ско-
p
− фазовая скорость волны.
p
Но это условие есть не что иное, как условие черенковского излучения электромагнитной волны движущейся заряженной частицей. При этом же условии происходит и обратный процесс − черенковское поглощение волны. Таким образом мы получили, что в изотропной плазме диссипация волн происходит при полном отсутствии столкновений частиц вследствие их че
ренков-
ского поглощения движущимися частицами.
Физически этот процесс можно пояснить следующим образом. Рассмотрим частицы, движущиеся со скоростью большей фазовой скорости электромагнитной волны. Эти частицы, "догоняя" волну, будут тормозиться ее
электрическим полем и, следовательно, отдавать свою энергию волне (черенковское излучение). Наоборот, частицы, имеющие скорость меньше фа-
ой скорости волны, будут "подгоняться" потенциальным барьером волны
зов
Диапазон скоростей, при которых может происходить обмен энергией между
частицами и волной, одинаков для обеих групп частиц. Если при этом распределение частиц равновесное (максвелловское), то частиц с большей скоростью меньше чем частиц с меньшей. Значит, в сре
днем за много периодов
волна будет отдавать свою энергию частицам плазмы т.е. поглощаться.
Если же функция распределения частиц плазмы не равновесная и функция f(v) имеет участок с положительной производной, то в соответствующей
области фазовых скоростей возможно не поглощение, а, наоборот, усиление
электромагнитных волн.
В случае изо
тропной плазмы было показано, что тензор диэлектрической проницаемости распадается на продольную и поперечную компоненты
(2.17). Выделяя продольную и поперечную компоненту из выражения (4.9),
получим
kv
∫
[]
∫
−ω
kv
2
)
f
∂
0
α
;
p
kv
2
kv
−ω
d
E
∂
α
f
∂
0
E
∂
α
.
p
d
α
(4.10)
Здесь
2
4
e
l
()
tr
()
E
=p2/2mα − энергия частицы сорта α.
α
1,
k
+=ωε
1,
k
π
∑
+=ωε
∑
α
2
k
ω
α
2
4
e
π
α
2
k
ω
α
В случае максвелловского распределения (4.1) входящие в (4.10 ) инте-
гралы вычисляются до конца, причем
47
l
()
k
tr
()
2
⎡
ω
L
∑
α
∑
α
22
v
k
α
T
2
ω
α
L
Jk
2
ω
α
+=ωε
−=ωε
⎛
⎜
−
J
⎢
+
⎜
⎢
⎝
⎣
⎛
ω
⎜
+
⎜
k
v
α
T
⎝
⎤
⎞
ω
⎟
;11,
⎥
⎟
k
v
⎥
α
T
⎠
⎦
⎞
⎟
.1,
⎟
⎠
(4.11)
Здесь
x
Функция
()
+
x
22
22
τ−
∫
i
∞
−=τ=
W(x) подробно изучена и протабулирована. Для приложений
⎛
π
xWidexexJ
2
⎞
x
⎜
⎟
. (4.12)
⎜
⎟
2
⎝
⎠
при анализе спектров колебаний и характера распространения электромагнитных волн нам понадобятся некоторые асимптотические разложения
функции J
+
(x)
xJ
()
+
"
π
−+++=
2
xxx
);ImRe,1(
2
−
x
xei
1
31
42
xx
>>>>
2
(4.13)
()
+
()
+
π
−≈
2
−
);1(
<<
xxixJ
2
2
x
).0Im,ImRe,1(2
<<<>>π−=
xxxxxeixJ
4.2. Спектры продольных колебаний, затухание Ландау
Используем полученное выше выражение тензора диэлектрической
проницаемости для анализа спектров электромагнитных волн в изотропной
бесстолкновительной плазме. Начнем анализ с продольных волн, существование которых определяется первым дисперсионным уравнением в (2.23). В
случае максвелловской плазмы это дисперсионное уравнение приобретает
вид
l
()
k
2
⎡
ω
L
+=ωε
∑
α
22
k
v
T
α
α
⎛
⎜
J
−
⎢
+
⎜
⎢
⎝
⎣
⎤
⎞
ω
⎟
011,
=
. (4.14)
⎥
⎟
k
v
⎥
α
T
⎠
⎦
Это трансцендентное уравнение в общем случае имеет много комплексных решений ω(k). Рассмотрим некоторые из них, соответствующие слабозатухающим колебаниям.
А) Область быстрых волн, фазовая скорость которых много больше тепловых скоростей заряженных частиц
ω
k
48
vv ,>>
. (4.15)
TiTe
Тогда, используя асимптотическое разложение (4.13) для функции J
ω≈ω
+
(x)
для слабозатухающих волн |Reω|>>|Imω|, дисперсионное уравнение приобретает вид
l
()
k
2
⎛
ω
⎜
−≈ωε
+
2
⎜
ω
⎝
22
⎞
v
k
⎟
311,
+
i
2
⎟
ω
⎠
2
ωω
π
LeTeLe
⋅
2
exp
33
2
⎛
⎜
−
⎜
2
⎝
⎞
ω
⎟
0
=
⎟
⎠
. (4.16)
22
kk
vv
TeTe
При выводе (4.16) мы пренебрегаем вкладом ионной компоненты, так
2
⎛
⎞
M
i
⎜
он существен при ионных температурах
≥
TT
⎟
ei
, т.е. даже для водо-
⎜
⎟
m
e
⎝
⎠
родной плазмы ионная температура на шесть порядков должна превышать
электронную температуру. В большинстве конкретных приложений плазма
имеет ионную температуру, как правило, заметно меньше электронной. Даже в условиях термоядерной плазмы, возникающей внутри микросферы,
содержащей DT газ, сжимающейся облучающим ее лазерным или рентгеновским излучением, отрыв ионной температуры не превышает 3−5 раз. По всей
видимост
и, в природе и не существует плазмы с таким отношением температур. Это означает, что в рассматриваемой области частот плазму можно считать чисто электронной; при этом роль ионов сводится к нейтрализации заряда электронов (квазинейтральность основного состояния плазмы).
Поскольку при выполнении условия (4.15) мнимое с
лагаемое в (4.16)
экспоненциально мало, то для нахождения корней уравнения можно в первом приближении пренебречь мнимой частью частоты. Тогда для действительной части получаем уравнение
2
⎛
ω
⎜
−
2
⎜
ω
⎝
22
⎞
k v
TeLe
⎟
0311
=
+
2
ω
. (4.17)
⎟
⎠
Уравнение (4.17) можно решать методом последовательных приближений. Для этого предположим, что второе слагаемое в скобках мало и найдем
решение (4.17) вначале без него. Тогда получим
, т.е. колебания с
Le
плазменной частотой, рассмотренные нами во Введении. Используем полученное приближенное решение и подставим его в знаменатель второго слагаемого, тем самым мы найдем поправку к частоте связанную с тепловым
движением электронов, или как принято говорить учтем пространственную
дисперсию. Окончательно получаем следующее решение для действительной части частоты плазмен
ных колебаний
⎛
22
⎜
Le
⎜
⎝
22
v
Te
+ω=ω
2
ω
Le
⎞
⎟
()
⎟
⎠
222
3131
rkk+ω=
. (4.18)
DeLe
В силу выполнения условий (4.15) член в скобках мал и наше предположение, высказанное вначале нахождения решения дисперсионного уравнения (4.17), оказывается выполнено. Таким образом, слабозатухающие ко-
49
лебания в плазме имеют длину волны λ∼1/k>>r
. Продольные волны со
De
спектром (4.18) называются электронными плазменными волнами или просто плазменными волнами. Они образуют высокочастотную (ω>ω
) ветвь
Le
продольных колебаний изотропной плазмы, которую иногда называют электронной ветвью колебаний, поскольку, как указывалось выше, вкладом ионов можно пренебречь, т.е. ионы при высоких частотах практически неподвижны в силу большой инерции.
Вычислим декремент затухания, как малую поправку к найденной действительной части частоты, т.е. представим решение исходного дисп
ерсионного уравнения (4.16) в виде суммы найденного решения и мнимой добавки
ω=ω(k)+iδ(k) и подставим его в (4.16). Разложим полученное уравнение в ряд
по малому параметру δ и после несложных преобразований получим для
декремента затухания решение
ω
π
Le
exp
⋅
−≈δ
8
rk
De
Отсюда следует, что для длин волн k
⎛
1
⎜
⎜
()
kr
2
De
⎝
r
<<1 затухание плазменных волн
De
⎞
3
⎟
. (4.19)
−−
233
⎟
2
⎠
экспоненциально мало. Это легко понять на основании рассмотренного выше в подразделе 4.2 общих свойств затухания волн, так как при ω≈ω
r
следовательно, k
<<1 число электронов, удовлетворяющих черенковскому
De
Le
и,
резонансу и способных поглощать энергию волны, экспоненциально мало
("хвост" распределения Максвелла). Такое затухание плазменных волн называют также затуханием Ландау.
Из формулы (4.19) видно, что с ростом волнового числа k (или умень-
шением длины волны колебания) декремент затухания растет и при kr
∼1
De
δ≈ω. Однако при больших значениях волнового числа уже нельзя пользоваться формулой (4.19) и можно говорить лишь о тенденции роста декремента затухания с уменьшением длины волны.
Б) Область продольных колебаний с промежуточной фазовой скоро-
стью, когда
<<
ω
k
. (4.20)
vv <<
TeTi
Опять рассматривая слабозатухающие колебания, получим дисперсион-
ное уравнение (4.14) в виде
2
⎛
ω
Le
⎜
11
+
k vv
+
22
⎜
v
Te
⎝
ω
π
i
⋅
2
k
v
2
⎛
⎞
ω
⎜
⎟
−
2
⎟
⎜
ω
Te
⎠
⎝
22
k
v
31
+
ω
π
TiLi
i
−
2
2
3
ω
exp
⋅
33
2
⎞
⎛
⎜
−
⎜
⎝
⎞
ω
⎟
⎟
. (4.21)
0
=
22
⎟
2
⎟
kk
TiTi
⎠
⎠
Для решения уравнения (4.21) снова воспользуемся малостью мнимых
слагаемых по сравнению с действительными и применим способ нахождения решения, использованный нами при решении уравнения (4.16). Опуская
простые алгебраические выкладки, получим следующие решения для частотных спектров ω(k) и декрементов затухания δ(k):
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]