Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы физики плазмы
.pdf
Воспользовавшись уравнениями Максвелла (2.5) можно исключить
()(
(
=
+
магнитное поле, входящее в правую часть уравнения (7.8 ), выразив его через
электрическое поле. Раскрывая двойное векторное произведение, можно
преобразовать (7.8) к виду
k
ie
=
ω
m
ie
2
+
Ev . (7.10)
m
() ()
ωω
2
1
+λ
d
∫∫
ω
⎛
⎜
2
⎜
⎝
ie
−
ω
m
eee
⎞
⎟
λ
d
EvvkEv
kkkkkkk
22121
⎟
2
⎠
Заметим, что все члены правой части, кроме первого, описывают нели-
нейные эффекты. Первый же описывает хорошо известные малые колебания
свободного заряда в поле волны E
. Считая нелинейные эффекты малыми и в
k
первом приближении пренебрегая ими, имеем
)
10
k
() ()
;0 . (7.12)
vvv += ; (7.11)
kk
ie
10
==
kk
Evv
k
m
ω
e
Для отыскания искомого эффекта, квадратичного по внешнему полю,
первое приближение (7.12) можно подставить в нелинейный член (7.10).
Легко видеть, что последний член правой части (7.10) обратится в нуль, и мы
получим
2
k
v
()
k
e
2
−= d
2
m
e
2
ω
21
() ()
ωω
d
EE
kk
Здесь мы симметризовали результат
2
e
−=λ
m
2
k
2
∫∫
ω
e
→ , что всегда
EE
λ
kk
ωω
21
212
2121
)
22
kkkk
(7.13)
можно сделать, так как все остальные выражения симметричны по индексам
1 и 2.
Каким образом наглядно интерпретируется появление этой нелинейной
по полю скорости у электронов? Вспомним, что электрон, движущийся в
поле плоской монохроматической волны, вообще говоря, совершает довольно сложное движение типа восьмерки. Это обусловлено действием силы Лоренца волны. Вначале элек
трон начинает двигаться в направлении электрического поля волны. Появление скорости в направлении электрического поля приводит в действие силу Лоренца, вследствие чего появляется сила и
смещение перпендикулярно B и E. К сходному эффекту приводит действие
нескольких волн.
Рассмотрим для простоты две монохроматические волны. Нелинейный
эффект их взаимодействия будет состоять в то
электрон двигаться со скоростью v вдоль
м, что одна из волн заставляет
, а вторая
E
k
1
действует на эту
E
k
2
скорость силой Лоренца. Мы видели выше, что именно сила Лоренца и дает
вклад в нелинейную скорость (7.10). Однако в рассматриваемом приближении вклад дает лишь часть силы Лоренца, так как при этом возникает также
другой нелинейный эффект. Он состоит в том, что поле
, приводя в дви-
E
k
1
жение элемент плазмы с некоторой скоростью v, изменяет из-за эффекта
71
Доплера частоту ω, которую воспринимает этот элемент со стороны поля
()()(
)
(
()(
)
(
)
(
(
(
.Этот эффект компенсирует частично действие силы Лоренца. В силу
E
k
2
этого, квадратичная по полю скорость электрона (7.1 3) вне зависимости от
и
характера полей
E
k
1
направлена по k, т.е. v
E
k
2
(2)
есть наложение только
продольных плоских волн.
Итак, в нелинейном приближении в плазме возникают продольные волны скорости электронов, которые могут возбуждаться любыми полями, в
том числе и поперечными, т.е. поперечные и продольные волны оказываются уже не независимыми в нелинейном приближении.
7.5. Нелинейные колебания плотности плазмы
Так как плотность электронов и их ск
орость связаны друг с другом
уравнением непрерывности, то наряду с волнами скорости возникают также
и волны плотности. Чтобы их найти, можно воспользоваться уравнением
(7.9), разлагая плотность n
в ряд по напряженности поля
k
k
210
...
+++=
nnnn . (7.14)
kkk
Нулевое приближение соответствует однородной плазме
(r,t)=n0=const. Отсюда
n
0
1
()
0
=
()
π
2
4
∫
()
()
,
−ω
tirrkr
()
kkδ=ω
nddetnn
, (7.15)
00
что непосредственно следует из определения δ-функции. Далее, из уравнения (7.9) получим в первом приближении
()
0
0
=
а так как
v , то
k
1
k
или, подставляя найденное
() ( ) () () ( )
k
∫
1
021
∫
)
1
v
из (7.12), получим
k
()
1
n
k
k
2
ien
0
=
2
m
ω
e
01101
)
λ+=ω dnnn
vvk , (7.16)
kkkk
1111
()
2
()
kE
. (7.17)
k
1
nkkndkdkn kvvk =−δ=ω
,
k
Из (7.17) видно, что лишь продольные волны в первом приближении
создают волны плотности. Поперечные волны, для которых (kE
)=0, не воз-
k
буждают волн плотности. В следующем приближении
() () () () ()
k
∫
Для поперечных волн, для которых
)
1
=
n ,
k
1
0
20112
)
λ+=ω dnnn
vvk .
kkkk
2121
72
(
)
(
)
(
)
()()()()(
)
(
()(
)
(
2
()
2
k
kv
k
= d
nn
0
−=
ω
2
2
k
ne
0
22
2
ω
m
e
EE
kk
21
λ
∫
ωω
. (7.18)
21
Таким образом, поперечные волны в нелинейном приближении генерируют
волны плотности плазмы.
7.6. Нелинейный ток плазмы
Обратимся теперь к току плазмы, который может быть записан в виде
k
()
k
∫
. (7.19)
λ== dnene
vvj
kk
21
Или, используя разложение (7.19) в ряд по напряженности поля (7.2),
для первого приближения получим
∫
vj
kk
21
2112110
)1(
k
2
2
j , использовав выражение
k
endddden vkkvkkkk =ωωω−ω−ωδωδ−−δδ=
02121
k
)1(
k
()( )()( )
∫
Для квадратичного по полю нелинейного тока
)1()0()1(
=λ=
dne
(7.13), получим
20112
)
=λ+=
dnne
k
∫
⎡
ein
0
=
e
⎢
∫
⎢
⎣
() ()
2
m
ω
e
1
ie
m
EEk
ω
e
2
k
1
vvj
kkkk
2121
2
en
k
0
−
k
2
m
2
ωωω
e
EE
kk
21
⎤
⎥
2121
⎥
⎦
(7.20)
λ
.
d
После симметризации первого члена по индексам 1 и 2 можно привести
(7.20) к окончательному виду
()
2
j
k
2
e
ω
Le
−=
m
8
π
e
⎡
d
k
λ
∫
ωωω
21
⎣
()
⎢
+
Ek
k
2
EEE
kkk
121
21
+
ω
2
Последние два члена (7.21) обязаны волнам плотности плазмы
Ek
⎤
k
1
E
k
1
. (7.21)
2
⎥
ω
1
⎦
1
n . Они со-
k
)
вершенно не существенны для поперечных волн, которые в первом приближении, как мы это видели выше, не создают волн плотности. Согласно (7.21)
поперечные волны в нелинейном приближении возбуждают продольные
волны тока в плазме.
7.7. Нелинейные уравнения для поперечных
и продольных электромагнитных полей
Нелинейные уравнения для поля (7.3) также удобно записать в виде раз-
ло
жения поля E в интеграл Фурье. Правую часть (7.3) преобразуем следую-
щим образом. Подставим вместо нелинейного тока разложение по полю (7.2).
Далее используем для линейного тока представление (2.11) и перенесем линейный член в левую часть. Для квадратичного тока используем полученное
73
выше выражение (7.21). Вспомнив определение тензора диэлектрической про-
()(
k
k
(
)
ницаемости (2.15), получаем следующее нелинейное уравнение
[][]
22
()
k
i
+
,
()
2
ik
1
ω
kjij
k
2
+
2
∫
2
m
e
()
EkEk
1
ik
2
ω
1
ei
Le
=ωεω+
Ec
k
⎧
i
()
⎨
ωωω
⎩
21
⎫
k
1
.
λ
dEE
⎬
EEkkEk
kk
21
+
(7.22)
⎭
2
ωω
Полученное уравнение, если раскрыть двойное векторное произведение
в левой части (7.22), преобразуется в уже известное нам уравнение для электромагнитных волн в плазме (2.20) с отличной от нуля правой частью. Данное уравнение обладает даже большей общностью, чем те уравнения двухжидкостной гидродинамики холодной плазмы, которые были нами использованы для его вывода. Учет теп
лового движения сводится к тому, чтобы в
(7.22) использовать тензор диэлектрической проницаемости с учетом теплового движения. Так как мы рассматриваем случай слабой нелинейности, то
часто оказывается, что поправками, связанными с тепловым движением к
нелинейному члену, можно пренебречь.
В изотропной плазме тензор диэлектрической проницаемости имеет
только две независимые компоненты и представи
м в виде (2.17). Используя
данное представление, легко получить уравнения для поперечных и продольных волн с учетом нелинейного взаимодействия. Для этого нужно ум-
ножить уравнение (7.22) на k
речное E
t
поля
E −==
и
−δ . Вводя продольное E
i
kEk
;
2
kkk
siis
tl
kEk
EE
22
)
, (7.23)
l
и попе-
получаем
2
ll
=εω
E
k
2
ωω
i
e
Le
=
2
m
e
2
ei
Le
−=
∫
m
2
e
⎧
λ
d
k
⎪
()
⎨
∫
ωωω
⎪
21
⎩
⎧
⎛
λωω
d
⎪
⎜
−
E
⎨
k
1
⎜
ωω
⎪
21
⎝
⎩
()
kEk
⎛
k
k
2
1
+
EE
kk
21
ck
() ()
kEk
k
1
2
⎜
2
⎞
⎛
k
2
⎟
⎜
⎜
⎟
ω
2
⎝
⎠
E
⎜
ω
2
⎝
ttr
222
E
k
⎛
⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
()
kEk
⎞
⎟
+
k
⎟
2
kk
⎠
=εω−
kEk
−+
EE
kk
22
k
2
2
kk
ll
1
2
k
2
⎟
⎜
k
⎟
⎜
1
ω
1
⎠
⎝
⎞
⎛
k
1
⎟
⎜
k
⎜
⎟
ω
1
⎝
⎠
⎞
⎛
k
(7.24)
⎫
⎪
l
,
≡
jE
⎬
k
ω
⎪
⎭
(7.25)
⎫
⎞
⎪
tll
⎟
.
≡
jE
⎬
ω
k
⎟
1
⎪
⎠
⎭
Таковы полученные нелинейные уравнения. При пренебрежении нелинейными эффектами мы получаем из (7.24), (7.25) известные нам дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн (2.23). Уравнения (7.24),
(7.25) описывают, например, генерацию продольных волн поперечными.
Физически смысл этого состоит в том, что одна из поперечных волн модулирует электромагнитные параметры плазмы, а именно плотность и скорость
74
ее электронов, а вторая волна излучает новые волны, рассеиваясь на неодно-
(
(
(
(
(
(
ω
=
родностях, созданных первой волной. Так, если в процессе нелинейного
взаимодействия вместе с двумя поперечными волнами участвует ионнозвуковая волна, то такое рассеяние называют вынужденным рассеянием
Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ). Если продольная волна является плазменной (ленгмюровской), то рассеяние называют вынужденным комбинацио
нным рассеянием (ВКР).
7.8. Уравнения для амплитуд волн
Перейдем теперь к решению системы (7.24)−(7.25). На первый взгляд
это кажется весьма трудной задачей, так как полученные выше уравнения
достаточно сложные. Однако поиска точного решения и не требуется, так
как с самого начала мы рассматривали случай слабой нелинейности. Выше
мы видели, что из-за взаи
продольных волн может меняться. В силу предполагаемой малой нелинейности это изменение амплитуды может быть достаточно медленным, "квазиадиабатическим". Другими словами, физически обоснованным будет
предположение, что поля весьма близки к линейным, лишь их амплитуды
медленно меняются во времени и пространстве.
Предположение состоит в том, чт
уравнениями, могут быть представлены в виде
() ()
модействия с поперечными волнами амплитуда
о поля, описываемые нелинейными
)
)
k
krk
+= krEkrErE
k
∫∫
()
tl
)
)
−ω−−ω−
krk
tittil
,,,
detdett
. (7.26)
Амплитуды
для которых следует учитывать лишь первые производные по r и t. ω
удовлетворяет линейному дисперсионному уравнению (2.23). Такой метод
решения нелинейных уравнений был использован Ван-дер-Полем, а в нелинейной оптике Бломбергеном и обоснован математически Боголюбовым.
Естественно, что учет производных от амплитуд необходим лишь в левой
части уравнений (7.24), (7.25), так как правая часть представляет малый нелинейный эффект и при подстановке в нее амплитуд их можн
стоянными.
Рассмотрим для определенности первое из полученных нами уравнений.
Преобразуем левую часть (7.24), используя следующий метод. Применим к
уравнению обратное преобразование Фурье. Для этого умножим левую и
правую части на
2
()
tl,rE
и
k
()
()() ()
)
tt,rE
являются медленными функциями r и t,
k
kriti +ω−exp и проинтегрируем по
75
lll
kk
∫∫
+ω−=+ω−ωεω kk
ditijditi
krkrEk expexp,
о считать по-
)
ddd kkk
. (7.27)
l
(k)
Замечая, что
(
(
)
(
можно в левой части (7.27) заменить ω на
часть приобретет вид
⎛
i
⎜
⎝
Интеграл по
Таким образом, уравнение (7.27) приобретает вид
Подставляя в (7.29) представление поля E
для левой части
Каждая производная в (7.30) действует теперь на две функции – амплитуду волн E
∂
i
∂
t
∂
т.е.
i
∂
туду волн. Аналогично
вид
∫
k, содержащийся в (7.28), дает поле E
2
∂
−
∂
t
∂
− kkrkrE
∫
∂
l
(r,t) и
() ()
[]
переходит в
t
()
()
()
() ()
2
∂
t
∂
ε
2
2
2
t
∂
⎞
⎛
l
ε
i
⎟
⎜
∂
⎠
⎝
∂
⎛
−
i
⎜
t
∂
⎝
∂
⎛
ε
−
i
⎜
∂
t
⎝
l
l
()
+ω k
∂
−
i переходит в
⎛
⎜
⎝
∂
iti ω−
=ω−ω expexp и
t
∂
∂
⎞
−
⎟
t
∫
∂
⎠
∂
⎞
ll
() ( )
⎟
∂
r
⎠
∂
⎞
() ()
⎟
k
∂
r
⎠
)
krk iti
+ω−exp . Заметим, что
()
∂
, где производная действует лишь на ампли-
i
t
∂
r∂
∂
+ω+ω−
() () ()
iditi
∂
t
ti
∂
, а k на
ti∂
l
()
k
l
exp,,
k
∫
l
(r,t) в виде (7.26), получим
lll
()
exp,,
()
∂
−
i . Итак, (7.30) приобретает
rk∂
2
⎞
⎛
⎟
⎠
+ωε
⎜
⎝
() ()
krk iii expexp
− i
dkitii
+ω−
krErexp,
. (7.28)
l
(r,t).
+ω−=
krjrE
+ω−
⎛
⎜
()
EkkrkkrkrE expexp,
⎜
⎝
∂
−
i
kkkkkrk
∂
t
∂
−= ,
r
∂
∂
. Тогда левая
r∂
. (7.29)
dkititi
. (7.30)
dititi
l
⎞
∂
E
lllll
kk
∂
∂
k
+ω⋅+ω−=+ω−
r
⎟
iitiitit
⎟
∂
t
⎠
⎞
lllll
ti
,,exp
rE
⎟
k
⎠
kr
, (7.31)
. (7.31)
Учитывая, что амплитуда
функцией, можно разложить оператор, входящий в (7.31), в ряд Тейлора,
оставляя лишь первые производные
2
⎛
⎜
⎝
∂
⎞
⎟
∂
t
⎠
⎛
+ωε
⎜
⎝
ωεω
()
k
+ω kkk
() () ()
i
∂
+
i (7.32)
ω∂
k
∂
i
∂
t
()
)
tl,rE
является медленно меняющейся
∂
kkk ,,
∂
∂
t
76
⎞
−
i
⎟
r
∂
⎠
∂
−
22
i
∂
k
2
()
ll
ωεω
()
k
llllll
()
()
∂
.,,
ll
r
∂
()
kk
ω=ωω=ω
+ωεω=
Первый член в (7.32) обращается в нуль, так как по определению ω
(
(
)
(
(
)
(
[
l
(k) есть
решение линейного дисперсионного уравнения.
ll
)
0, =ωε kk
. (7.33)
Дифференцируя (7.33) по k, имеем
lll
ε∂
ω
ε∂
d
+
ω∂
d
0=
∂
. (7.34)
kk
Введем групповую скорость волн
l
d
ω
l
=
v
гр
.
k
d
Из (7.34) следует, что групповая скорость продольных волн может быть
выражена через диэлектрическую проницаемость плазмы
ll
)
l
v
−=
гр
Здесь использовано, что
kk
ωε∂
,
∂
l
ε∂
ω∂
l
()
ω=ω
k
∂
ω∂
∂
2
l
,
k
ωεω
()
kk
∂
−=
∂
l
2
()
ω∂
l
l
ε∂
22
ω=εω
ω∂
,
()
k
ωεω
, так как εl=0. Отсюда следует,
ω=ω
l
()
k
.
что (7.32) можно записать в виде
∂
⎛
i
⎜
⎝
⎞
2
εω
⎟
ω∂
⎠
ω=ω
l
()
k
∂
⎛
⎜
∂
t
⎝
∂
⎞
ll
+
v
.
⎟
гр
r
∂
⎠
Итак, левая часть уравнения (7.29) может быть записана следующим об-
разом:
⎡
∂
()
()
∫
+ω−
⎛
iiti
⎢
⎜
⎝
⎢
⎣
⎞
2
εω
⎟
ω∂
⎠
ω=ω
l
()
k
∂
⎛
⎜
⎝
l
+
vkrk
гр
∂
t
∂
⎞
⎟
∂
r
⎠
⎤
lll
()
dt
,exp
⎥
k
⎥
⎦
krE
. (7.35)
Рассмотрим теперь объем, линейный размер которого мал в сравнении с
l
)
t
,rE
характерным пространственным масштабом изменения
сравнении с длиной волны λ=2π/k. Предположим, что
l
rEk∂∂
, является в этом объеме почти постоянным, т.е. изменения ампли-
, но велик в
k
tl∂∂kE
, так же как и
туды во времени также малы. Указанный объем можно назвать физически
бесконечно малым по отношению к изменениям амплитуды поля.
Умножим (7.35) на
1
3
()
π
2
по физически малому объему. Так как выражение
exp
l
()
ω
′
]
rkk′−
iti
и проинтегрируем результат
∂
⎛
⎜
t
∂
⎝
∂
⎞
v
+
⎟
r
∂
⎠
ll
()
t
,грrE
по-
k
77
стоянно в этом объеме, то его можно вынести за знак интеграла. Тогда под
[
интегралом останется выражение
1
3
()
2
π
После интегрирования по k (7.35) приобретает вид
∂
⎛
2
⎜
ω∂
⎝
Посмотрим теперь, к какому виду преобразуется правая часть уравне-
ния (7.29). После умножения на
указанному объему в правой части можно приближенно считать постоянными амплитуды
ется следующим образом:
1
2
π
()
Итак, окончательно получаем следующее уравнение для изменения ам-
плитуды продольного поля при нелинейном взаимодействии
Аналогичные расчеты можно провести и для уравнения (7.24), описывающего изменение амплитуды поперечных волн. В этом случае получаем
следующее уравнение:
()
tl,rE
, т.е. нелинейный ток. Тогда правая часть преобразу-
k
[]
()
3
ω
∫
′
()
[]
ω=
∂
⎛
+
⎜
∂
t
⎝
=
∂
⎛
⎜
ω∂
⎝
∂
⎛
+
⎜
гр
t
∂
⎝
=
∂
⎛
⎜
ω∂
⎝
⎞
′
ωεω
()
⎟
⎠
′
′
−
ω
∂
⎞
() ()
kv
гр
2
⎟
∂
r
⎠
−
i
⎞
l
2
()
,
ωεω
k
⎟
⎠
∂
⎞
kv
() ()
⎟
r
∂
⎠
i
⎞
t
,
ωεω
k
()
⎟
⎠
′
−
()
rkk
i
∫
l
ω=ω
()
2
ll
k
() ()
ll
k
tt
k
de
∂
⎛
+
⎜
гр
t
∂
⎝
′
()
k
1
π
,
ω
rE
ω=ω
−δω−
,
rE
ω=ω
,
t
t
3
expexp
t
l
k
()
k
()
()
ω
[]
′
=
[]
∫
=
[]
∫
′
()
−δ=
kkr
.
∂
⎞
lll
′
() ()
kvk
r
∂
′
itilexp
∫∫
t
,,
rE
⎟
⎠
rkk′−
[]
ω=ω
()
.
′
k
]
и интегрирования по
=ω+ω−
ddditiiti
rkkrjrkk
′
ll
()
ωω+ω−
dtiti
jk
,
ω
k
tt
ωω+ω−
dtiti
jk
,
ω
k
llll
.expexp
ωω−
dtitiddtiti
jkkkkjk
′
,,
ω
kk
(7.36)
.exp
(7.37)
.exp
78
7.9. Нелинейное взаимодействие слабозатухающих и слабо
()(
γ+Ω=ω
(
(
[
(
раскачивающихся волн
Особый интерес имеют взаимодействия волн, которые в линейном приближении слабо раскачиваются или слабо затухают. Для таких волн инкремент (или декремент) колебаний много меньше их частоты. Решение дисперсионного уравнения для ω(k), как это мы видели выше в разделе 4, вообще говор
где Ω(k) – действительная часть частоты, а γ
я, является, комплексным
)
kk
i ,
k
=Imω(k) – инкремент колеба-
k
ний характеризующий изменение амплитуды колебаний.
Так как нас интересует случай, когда
)
, то заметное измене-
kkΩ<<γ
ние амплитуды волны происходит за много периодов колебаний. Заметим,
что с учетом нелинейных эффектов медленное изменение амплитуды может
происходить по двум причинам – из-за неустойчивости (или затухания) и
нелинейных эффектов. В тех случаях, когда эти изменения амплитуды происходят в противоположных направлениях, имеется возможность возникновения квазистационарных состояний с в
полями. Рассмотрим вначале предел γ
озбужденными самосогласованными
→0, когда волны не затухают и не
k
раскачиваются, а затем укажем, какие изменения в уравнениях возникают
при γ
≠0. Входящее в правую часть уравнений (7.36), (7.37) поле Ek легко
k
выразить через амплитуду E
(r,t). В силу того, что уравнения описывают
k
слабый нелинейный эффект, при подстановке в правую часть уравнений
можно в первом приближении считать амплитуды E
(r,t) постоянными. То-
k
гда приближенно
1
=
k
()
2
π
′
() ()
∫
()
−δ=
()
()
,
Ω−ωδ
−ω
kr
d
′
=
()
2
′′
1
44
∫∫
π
()
kk
l
() ( )
Ω−
′
k
llll
()
.
kEkEkkk
Ω−ωδ=
′
krrkk
tiitiltil
−ω+′+
′
rkErrEE
dtddedtdet
=
(7.38)
Подстановка (7.38) в первый член правой части уравнения (7.24) дает следующий результат:
∂
⎛
+
⎜
∂
t
⎝
⎛
()
⎜
×
k
⎜
⎝
∂
⎞
() ()
kv
гр
ll
,
t
rE
⎟
k
∂
r
⎠
[]
()
exp
ΩΩ
()( )
k
+
2
ω
e
Le
=
2
m
() ( )
tt
kk
21
()
dd
∫
∂
⎛
e
⎜
ω∂
⎝
tttt
Ω+Ω−
kkEE
21
+
exp
kk
21
()( )
−−δ
⎞
2
l
εω
⎟
l
⎠
()
Ω=ω
()
2
k
() ( )
ll
kk
ΩΩ
21
l
kkkkk
)
()
Ω
k
2121
k
kkkk
2121
Ω+Ω−
ti
×
e
() ( )
[]
()
exp
lt
ΩΩ
()( )
llll
⎞
]
)
kkEE
ti
21
⎟
.
(7.39)
⎟
⎠
ltlt
Ω+Ω−
kk
21
titi
kkEE
21
+
79
Три члена в правой части (7.39) соответствуют трем различным процес-
(
)
()(
[
]
(
сам. Первый член описывает взаимодействие двух поперечных волн и одной
продольной, второй – двух продольных и одной поперечной и третий – трех
продольных. Каждый из этих процессов, вообще говоря, может рассматриваться независимо. Чтобы не усложнять рассмотрения, мы ограничимся одним из этих п
роцессов, а именно взаимодействием двух поперечных волн и
одной продольной. Этому типу взаимодействия отвечают такие нелинейные
явления, как ВРМБ и ВКР. Подбором параметров плазмы и взаимодействующих волн практически всегда можно получить условия, когда указанные
процессы строго разделяются. Например, поперечные волны могут иметь
такие частоты, что процессы с участием более одной п
родольной волны
практически запрещены условиями сохранения энергии и импульса. Итак,
мы будем использовать в дальнейшем нелинейные уравнения для продольных волн
2
∂
⎛
+
⎜
∂
t
⎝
∂
⎞
() ()
kv
гр
ll
,
rE
t
⎟
k
∂
r
⎠
() ( ) ( )
[]
e
=
2
m
ω
k
e
Le
∂
⎛
⎜
e
⎝
Ω−Ω−Ω
⎞
l
2
εω
⎟
ω∂
ttl
kkk
21
l
⎠
k
Ω=ω
()
ti
()
dd
∫
() ( )
kkk
−−δ×
21
tt
EEkk
kk
21
21
×
tt
ΩΩ
kk
21
(7.40)
и аналогичным образом получаемое уравнение для поперечных волн
2
ω
∂
⎛
+
⎜
∂
t
⎝
∂
⎞
() ()
kv
гр
()
tt
=
t
,
rE
⎟
k
∂
r
⎠
⎛
⎜
2
⎜
⎝
2
tl
EEk
−×
kk
12
e
Le
∂
⎛
m
⎜
e
⎝
t
kEk
k
2
k
⎞
2
t
εω
⎟
ω∂
⎠
⎞
)
() ( ) ( )
[]
1
⎟
e
⎟
⎠
Ω=ω
t
()
k
∫
ltt
kkk
Ω−Ω−Ω ti
21
lt
Ω+Ω
)
dd
kkkk
2121
×
2
lt
() ()
[]
ΩΩ
kk
21
()
−−δ
kkk
21
.
(7.41)
Рассмотрим теперь, какое видоизменение этих уравнений получается
при учете γ
≠0. В этом случае удобно ввести "истинную" амплитуду Ak(r,t)
k
() () () ()
tl
tttltl
γγ
tettet
,,;,, rArErArE ==
.
Легко видеть, что при этом левая часть уравнений (7.40) и (7.41) будет иметь
вид
а в правой части нужно E
∂
⎛
⎜
∂
⎝
k
+γ−
t
заменить на Ak.
∂
⎞
() ()
kv
∂
r
t
,грrA
⎟
⎠
,
kk
Для удобства дальнейшего исследования полученных уравнений введем
некоторые обозначения. Введем единичные векторы e
, характеризующие
k
поляризацию волн,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]