Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
С. И. ПРОКОФЬЕВА, Э. Е. ПАК, Е. К. ЕРШОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
УДК 519.83
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (СПбГПУ),
канд. физ.-мат. наук, доцент Л. Е. Морозова (СПбГАСУ)
Прокофьева, С. И.
Основы теории игр: учеб. пособие / С. И. Прокофьева,
Э. Е. Пак, Е. К. Ершов; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 64 с.
ISBN 978-5-9227-0502-8
В данном учебном пособии представлены три раздела теории игр: матричные игры, биматричные игры, игры с природой. Теоретический материал
подкреплен решением задач экономического содержания. Также предлагаются
задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов экономических специальностей.
Ил. 14. Библиогр.: 8 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0502-8
© С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов, 2014
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2014
2
Основы теории игр
Введение
Теория игр – раздел математики, который сформировался
в середине XX века. Годом ее зарождения считается 1928 год, когда
была опубликована статья Джона Фон Неймана «К теории стратегических игр» [1], в которой он, в частности, дал определение игры
n лиц с нулевой суммой. Также в этой работе Нейман представил
доказательство своей знаменитой теоремы о существовании решения в смешанных стратегиях для так называемых матричных игр
при
2n . Сегодня эта теорема общеизвестна под названием теоре-
мы о минимаксе. Следует отметить, что теория игр с самого начала
была строго формализована, что бывает чрезвычайно редко с новой
теорией в любой области знаний. Принято считать, что теория игр,
как самостоятельный раздел экономической теории, сформировалась после публикации в 1944 году Дж. Фон
Нейманом и О. Мор-
генштерном книги «Теория игр и экономическое поведение» [2].
К настоящему времени по этой проблематике опубликовано
более 10 000 статей и несколько десятков монографий. Но, несмотря на обилие статей, теория игр не получила широкого практического применения, так как формализация различных реальных конфликтных («игровых») ситуаций представляет собой непростую за
дачу. Чтобы составить математическую модель конфликта, надо
ввести много допущений (аксиом). Математический аппарат теории
игр вполне доступен студенту, изучившему стандартный курс высшей математики в объеме технического университета. Но следует
иметь в виду, что математическая модель, применимая в одной
конфликтной ситуации, с трудом переносится на другую.
Методы теории игр применяются,
например, при организации
промышленного производства, в процессах торговли, при организации торгов и аукционов. Аппарат теории игр послужил основой
для создания современных теорий международной торговли, налогообложения и общественных благ, монетарной экономики, теории
производственных организаций. В [3] показано, как аппарат теории
игр применяется к анализу влияния законов на поведение людей,
партий и
т. д.
В данном пособии авторы попытались изложить основы теории игр языком, наиболее понятным студентам младших курсов
экономических специальностей. Как правило, в качестве примеров
-
3
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
разбираются игры, описывающие конкретные (весьма разнообразные) экономические ситуации.
Введем следующее определение игры.
Определение. Игрой называется модель конфликтной ситуа-
ции, такая, что выполнены условия:
1) участвует некоторое (конечное или бесконечное) число иг-
роков;
2) заранее заданы правила игры, то есть способ выбора реше-
ния (стратегии) игроком;
3) определены количественные величины выигрышей (проиг-
рышей) участников игры.
Игроками могут выступать люди, производственные предприятия, торговые фирмы, целые государства, военные армии и даже
природные стихии.
В пособии основное внимание уделено играм экономического
характера, однако в качестве модельных примеров рассматриваются и некоторые абстрактные игры.
Игры можно разбить на группы следующим образом:
1) по количеству игроков;
количеству стратегий: если у всех игроков конечное чис-
2) по
ло стратегий (способов принять решения), то игра называется ко-
нечной; в противном случае игра называется бесконечной;
3) по количеству игр: однократные и многократно повто-
ряющиеся игры;
4) по информированности игроков: в играх с полной информа-
цией игроки знают, какие ходы были сделаны ранее (
например,
в шашках или шахматах), в играх с неполной информацией игроки
не знают достоверно о ранее сделанных шагах и намерениях противника (например, карточные игры);
5) по свойствам функции выигрыша: матричные, биматрич-
ные, выпуклые, сепарабельные и т. д.;
6) по характеру взаимоотношений между игроками: бескоали-
ционные (то есть игроки не вступают
в коалиции, не заключают
между собой никаких соглашений), коалиционные (заключаются
некоторые соглашения) и кооперативные игры (участники заранее
образуют коалиции с целью увеличить свои выигрыши).
Анализ теоретического решения игры или конфликтной си-
туации помогает исследователю смоделировать процесс и возмож-
4
Основы теории игр
A
A
ные результаты будущего конфликта еще до его фактического начала. По результатам моделирования будущей игры можно принять
решение о целесообразности участия и оптимальном поведении
в реальном конфликте, также можно сэкономить не только денежные средства, но и другие ресурсы. Ценность теории игр состоит
в том, что она позволяет прогнозировать развитие конфликтов
.
В данном ознакомительном курсе будут рассмотрены только
следующие наиболее простые игры:
а) конечные бескоалиционные матричные игры двух игроков;
б) конечные бескоалиционные биматричные игры двух игроков;
в) «игры с природой».
§ 1. Понятие матричной игры. Антагонистические игры
Определение. Матричная игра – это игра со следующими пра-
вилами:
а) в игре участвуют два
игрока (игрок A и игрок B );
б) каждый игрок обладает конечным набором стратегий (воз-
можностей);
в) каждый игрок, не зная о действиях противника, выбирает
одну из своих возможных стратегий;
г) выигрыш (проигрыш) игрока зависит от выбранных игро-
ками стратегий.
Пусть игрок
личными способами. В этом случае говорят, что он имеет
личных стратегий:
лать свой ход
.,,,
BBB
21 n
имеет возможность сделать свой ход m раз-
m
Игрок B имеет возможность сде-
.,,,
AAA
21 m
различными способами, т. е. имеет n стратегий:
n
Такая игра называется «игрой типа nm ».
раз-
В дальнейшем предполагается, что в результате выбора игроками стратегий
игрыш игрока
Составим матрицу
и
B ,
A
j
i
,
mi ,1
B ) составляет величину ijc .
размера
C
торая описывает величины выигрышей игрока
nj ,1
, выигрыш игрока A (про-
, состоящую из чисел
nm
c , ко-
(проигрышей B ).
ij
Определение. Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической игрой, если выигрыш одного из игро-
ков равняется проигрышу другого. При этом матрица
называется
C
платежной матрицей, или матрицей выигрышей.
5
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
A
A
B
A
A
Y
C
Y
Пример 1.1. Игра в «открывание пальцев». Два игрока A и B
одновременно из сжатого кулака открывают по несколько пальцев.
Если сумма пальцев обоих игроков четная, то игрок
выигрывает
столько очков, каково общее количество пальцев, а если нечетная,
то столько же выигрывает игрок
(игрока
где стратегия
).
Решение. Игрок
состоит в открывании i пальцев, 5,1i . У игрока
A
i
имеет пять стратегий
B также пять стратегий:
ставим таблицу выигрышей игрока
B . Составить платежную матрицу
,,,, AAAAA
54321
Это игра типа
.,,,,
BBBBB
54321
. Со-
55
.
A
A
A
A
A
B
B
B
1
2 –3 4 –5 6
1
–3 4 –5 6 –7
2
4 –5 6 –7 8
3
–5 6 –7 8 –9
4
6 –7 8 –9 10
5
B
3
2
B
5
4
Тогда матрица выигрышей C игрока
(платежная матрица
игры) имеет вид
C
65432
76543
.
87654
98765
109876
Замечание. Очевидно, что условие
где
a – это выигрыш игрока А, а ijb – игрока В, можно заменить
ij
условием
Пример 1.2. Каждая из фирм
const
ba .
ijij
X и Y посылает свою автолавку
0
ba ,
ijij
,
mi ,1
nj ,1
в один из пунктов А, В или С, расположение которых указано на
рис. 1. Там же указано количество покупателей в этих пунктах.
,
,
6
Основы теории игр
A
B
A
A
Y
C
Y
17 км 12 км
.)тыс4(
5 км
.)тыс1(
.)тыс2(С
Рис. 1
Цель каждой из фирм – привлечь наибольшее количество покупателей. Предпочтения покупателей таковы: если обе лавки приезжают в один и тот же пункт, то в автолавку
X обращается 60 %
всех покупателей. Если лавки приезжают в разные пункты и автолавка
X находится к данному пункту ближе, чем автолавка Y , то
в нее обращается 80 % покупателей, а если она расположена дальше, чем
фирмы
Y , то только 40 %. Составить платежную матрицу игры для
X , считая выигрышем каждой из фирм общее количество
покупателей, обратившихся в их автолавку (тысяч человек).
Решение. Описанная ситуация имеет явно игровой (конфликтный) характер. Выигрышем для каждой из фирм считается общее
количество всех покупателей, которые обращаются в их автолавку.
Очевидно, что сумма выигрышей постоянна и равна 7 (тысяч человек). Каждая из
пунктов: 1-я стратегия – послать автолавку в пункт
фирм имеет столько стратегий, сколько имеется
, 2-я – в пункт
B , а 3-я – в пункт C . Вычислим элементы платежной матрицы.
Элементы
в одном и том же пункте, имеют вид
отвечает ситуации, когда автолавка
толавка
X обратится 80
пунктов
). Таким образом, в данной ситуации в автолавку X обращает-
ке
ся
x , 3,2,1i , соответствующие нахождению автолавок
ii
2,476,0 iix . Элемент
X находится в пункте
, а ав-
находится в пункте B . По условию задачи в автолавку
% покупателей из этого пункта и 40 % покупателей
B и
(так как эти пункты расположены ближе к автолав-
2,364,018,0 тысяч покупателей, то есть 2,312x . Анало-
x
12
гичным образом (вычисления предлагается проделать самостоя-
7
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
A
A
A
AAA
A
A
тельно) вычисляются и остальные элементы платежной матрицы.
В результате получим платежную матрицу для фирмы
Проверь себя. Игрок
игрок
B может записать 1, 3, 4 либо 8. Если обе цифры окажутся
может записать одну из цифр 2, 4 либо 7;
одинаковой четности, то игрок
2,32,32,4
.
4,42,42,5
2,442,5
получает столько очков, какова
X :
сумма записанных цифр; если разной четности, то сумма очков достается игроку
B . Составить платежную матрицу игры.
Ответ:
C
10653
.
12875
1511108
§ 2. Нижняя и верхняя цены игры
Пусть игрок
симости от выбора стратегии
дет иметь выигрыши
Это элементы, стоящие в i-й строке платежной матрицы
выбирает стратегию игры
B ,
321 iniii
j
nj ,1
, игроком B , игрок A бу-
.,,,,
cccc
,
A
i
. В зави-
mi ,1
:
C
ccc
C
21
21
n
11211
.
ccc
inii
ccc
mnmm
При выборе стратегии
выигрывает:
1ijnjc
случае наибольшего выигрыша игроку
тегию, для которой число
игрок A в наихудшем для себя случае
A
i
Следовательно, для получения в наихудшем
.min
надо выбрать такую стра-
будет максимальным.
c
min
ij
1
nj
8
Основы теории игр
A
A
A
A
A
A
A
A
Определение. Число
1
mi
называется нижней ценой игры, а стратегия игрока
c
minmax
ij
1
nj
, соответст-
вующая этому числу, называется максиминной.
Какую бы стратегию ни выбрал игрок
ванно будет иметь выигрыш не менее
Рассмотрим теперь поведение игрока
njB
стратегию
игрока
может принимать значения .,,,,
,1,
j
, то его проигрыш в зависимости от стратегии
B , игрок
.
B . Если он выбирает
321 mjjjj
гарантиро-
cccc Это эле-
менты платежной матрицы, стоящие в ее j-м столбце. Наихудший
исход для игрока
B – тот, при котором игрок
гию, соответствующую
брать такую стратегию
c
max
B , при которой величина его проигрыша
. Поэтому игроку B следует вы-
ij
1
mi
j
выбирает страте-
была бы наименьшей.
Определение. Число
maxmin
nj
1
1
называется верхней ценой игры, а стратегия игрока
вующая числу
Если игрок
любых действиях игрока
, называется минимаксной.
B применит свою минимаксную стратегию, то при
игрок B проиграет не более, чем .
Принцип, по которому игрок
тегию, а игрок
B – минимаксную, называется принципом минимак-
c
ij
mi
B , соответст-
выбирает максиминную стра-
са, а соответствующие стратегии называются минимаксными.
Пример 2.1. Две строительные фирмы привлечены к строи-
тельству жилого комплекса. Фирма
варианта проекта:
анта:
,,, BBBB
. Заказчик анализирует проекты. Средства рас-
4321
, а фирма B приготовила четыре вари-
,, AAA
321
выставила на конкурс три
пределяют между фирмами пропорционально набранным баллам,
причем общее количество набранных фирмами баллов всегда равно
десяти. Предположим, что матрица выигрышей игрока
(значения
выражены в баллах) имеет вид
C
2527
.
5556
2860
9
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
C
C
A
A
A
v
A
A
A
v
A
A
x
Z
Найти нижнюю и верхнюю цены игры.
Решение. Для каждой строки матрицы
ший элемент
min
дого столбца матрицы
, который запишем справа от строки. Для каж-
c
ij
1
nj
найдем его наибольший элемент
найдем ее наимень-
c
max
ij
1
mi
который запишем снизу от столбца. В результате получим расширенную матрицу
2
2527
5
5556
0
2860
5867
Выбирая из последнего столбца его наибольший элемент, находим
нижнюю цену игры:
.50;5;2max
Выбирая из последней строки ее минимальный элемент, находим
верхнюю цену игры:
.55;8;6;7min
Итак, в данной задаче верхняя и нижняя цены игры совпадают
и равны пяти.
Замечание. В общем случае
Значения
и не зависят от выбора игроками конкретных страте-
не обязательно совпадает с .
гий, а определяются исключительно платежной матрицей.
Проверь себя. Игроки
и B одновременно и независимо друг
от друга записывают одно из трех чисел: 5, 10 или 15. Если сумма
записанных чисел четная, то
она нечетная, то, наоборот,
B платит
платит B эту сумму. Составить пла-
эту сумму в рублях; если
тежную матрицу игры и найти ее верхнюю и нижнюю цены.
Ответ:
,
15
.
20
§ 3. Игры с седловой точкой
Определение.
Игра называется игрой с седловой точкой, если
нижняя и верхняя цены этой игры совпадают, то есть
,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]