Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Основы теории игр
A
1. На оси абсцисс отложим отрезок единичной длины 1p .
2. Построим прямые
pcpcy и )1(
2111
pcpcy .
2212
)1(
Используем обычный метод построения прямой линии по двум точкам. При этом выберем значения 0
значениями ординат для первой прямой будут
рой прямой будут
c и 12c . Следует отметить, что число 21c , отло-
22
p и 1p . Соответствующими
c и 11c , а для вто-
21
женное на оси ординат, соответствует выигрышу первого игрока при
стратегии
является величиной выигрыша при использовании стратегии
A . Число 11c , отложенное на вертикальной прямой 1p ,
2
A .
1
3. Соединим полученные пары точек с координатами
и
);1(11c , );0(22c и );1(12c .
4. Из формулы (6.2) следует, что цена игры
v равна ординате
точки пересечения прямых, а абсцисса этой точки равна вероятно-
0
p оптимальной смешанной стратегии игрока
сти
1
.
Замечание. Следует иметь в виду, что графический способ
решения дает лишь приближенное значение цены игры
v .
Пример 6.1. Решить игру с платежной матрицей
42
C
.
13
Решение. Найдем верхнюю и нижнюю цену игры. Имеем
2
42
1
13
43
Следовательно, нижняя цена игры
игры
34;3min . Так как , то игра не имеет седловой точки.
21;2max , а верхняя цена
Найдем смешанные оптимальные стратегии игроков при многократном повторении игры. Используя формулы (6.3), находим:
31
0
p ;5,0
1
)43(12
0
;5,0
2
1
1
p .5,2
v
2
4312
)43(12
);0(21c
21
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
y
A
B
P
Для игрока B по формулам (6.4) найдем:
0
q 0,75; .25,01
1
45,2
42
0
2
0
qq
1
В итоге получаем оптимальные стратегии обоих игроков
AA
S
A
21
,
5,05,0
S
B
BB
25,075,0
21
, 5,2
v .
Графическое решение задачи представлено на рис. 4.
4
c
12
321c
5,2v
122c
2
c
11
0
0
p
1
Рис. 4
5,0
p
1
Возникает вопрос: как должны поступать игроки исходя из
полученного результата? При многократном повторении игры иг-
может, например, выбирать стратегии
рок
A или 2A , подбрасы-
1
вая монету, у которой, как известно, «герб» или «решетка» выпадают с одинаковой вероятностью 0,5. Игрок
ступать в соответствии с рекомендуемой стратегией
подбрасывать две монеты: если выпадет два «герба», то игрок
должен выбирать стратегию
стратегия
B .
1
B , в противном случае выбирается
2
22
B , для того чтобы по-
S , может
B
Основы теории игр
Рассмотрим еще один способ решения матричной игры 22 .
Вспомним, что цена игры
есть функция двух переменных p и q
вида
min
j
11
qpcqpCv
.),,(
jiij
Определение. Равновесием по Нэшу называется такая точка
),(00qp , в которой выполняются равенства
000
,),,(max),,(
q
p
qpCvqpCv
000
.),,(max),,(
qpCvqpCv
Эта точка определяется из системы уравнений
v
,0
p
v
.0
q
Рассмотрим игру типа
22 с матрицей выигрышей
cc
C
1211
cc
2221
и не имеющую седловой точки. Пусть смешанные стратегии игроков имеют вид
AA
S
A
21
и
pp
1
S
B
BB
21
.
qq
1
Функцию цены игры можно записать как произведение трех
матриц:
T
QCPqpCv ),,( ,
q
где
)1,( ppP – матрица-строка;
Q
T
– матрица-столбец.
q
1
23
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
y
y
Пример 6.2. Решим пример 6.1, используя метод нахождения
равновесия по Нэшу. Так как
C , то
13
42
q
42
T
ppQCPqpCv
)1,(),,(
pqpq
q
113
.1432
),,( qpCv
Находя частные производные функции
по p и q
v
p
v
q
43
, p
q
42
,
получим систему уравнений для нахождения равновесия по Нэшу
0
q
,043
0
p
.042
Откуда находим
0
q
0
p
,75,0
.5,0
Таким образом, получаем оптимальные смешанные стратегии
AA
S
A
21
,
.
5,05,0
S
B
BB
21
25,075,0
При этом
00
qpCv
.5,2175,05,045,0375,02),,(
Полученный результат совпадает с результатом решения задачи
предыдущим методом.
Проверь себя. Найти оптимальные стратегии игроков
и B
в игре с платежной матрицей
31
C
.
51
24
Ответ:
A
y
y
Основы теории игр
AA
S
A
21
,
4,06,0
BB
S
B
21
, 2,0v .
2,08,0
§ 7. Матричные игры типа 2n
Рассмотрим игру типа
n2 с матрицей выигрышей
ccc
C
11211
n
.
ccc
n
22221
В такой игре игрок
стратегий
BB ,...,
1
имеет две стратегии
. В силу равенства (5.5) имеем
n
A и 2A , а игрок B – n
1
0
1
j
2
0
jj
j
p
10
где
ности
nj ,1
. Для нахождения ))1((minmax
p
j
10
21
jj
p используем графический метод. Для этого в плоскости
),( yp построим прямые jl с уравнениями )1(21pcpcy
nj ,1 . Здесь ]1,0[p – независимая переменная, а )( p
ременная, зависящая от
огибающую все эти прямые для
точки ломаной
j
p
10
L даст значение vy , в которой и достигается
21
jj
p . Далее построим ломаную
]1,0[p . Тогда ордината y верхней
))1((minmax
pcpc
. Это значение v и будет решением игры.
В качестве примера рассмотрим случай 3
прямые:
),1(:
pcpcyl
21111
),1(:
pcpcyl
22122
)1(:
pcpcyl
23133
и их огибающую
0
),(
ку
vp , которая и будет являться решением игры.
1
},,min{
lllL (рис. 5). Из рисунка находим точ-
321
25
)),1((minmax))1((min
pcpcpcpcv
21
jj
pcpc
по вероят-
,
jj
– пе-
}{min
lL
j
j
n . Построим три
,
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
p
v
p
A
A
v
p
A
A
v
C
y
c
23
c
22
l
1
c
11
v
c
21
0
0
p
1
Рис. 5
c
12
l
2
c
13
1
l
3
Найдем теперь оптимальную стратегию игрока
B . Для этого
снова используем теорему 5.2. При нахождении оптимальной стратегии игрока
0
),(
vp на плоскости, так и ее единственность (или неединствен-
1
B необходимо учитывать как расположение точки
ность).
Рассмотрим все возможные варианты ([4], [5], [6]):
0
),(
I. Точка
vp единственна, при этом возможен один из трех
1
случаев:
1. Точка
и имеет координаты
0
),(
vp расположена на вертикальной прямой 0p
1
),0( v
(рис. 6).
y
l
k
0
0
0
0
p
1
Рис. 6
1
26
Основы теории игр
A
v
p
A
A
v
C
Тогда смешанная стратегия игрока
AA
S
A
смешанная стратегия, у которой
чае игроку
вующую прямой
2. Точка
и имеет координаты
21
, то есть наиболее выгодной для игрока A является
10
0
1
B выгодно применять чистую стратегию, соответст-
l , которая проходит через точку ),0( v .
k
0
0
),(
vp расположена на вертикальной прямой 1p
1
),1( (рис. 7).
y
имеет вид
0
p (стратегия 2A ). В этом слу-
0
Рис. 7
l
k
0
0
1
1
p
AA
Тогда смешанная стратегия игрока
есть наиболее выгодной для игрока
0
1
гия, у которой
p (стратегия 1A ). В этом случае игроку B вы-
1
имеет вид
является смешанная страте-
S
A
годно применять чистую стратегию, соответствующую прямой
которая проходит через точку
3. Точка
ка
]1;0[ , то есть на интервале (0;
огибающей
0
),(
vp расположена так, что
1
L не лежит на вертикальных прямых 0p и 1p ,
),1(
.
0
p лежит внутри отрез-
1
1). В этом случае точка максимума
21
, то
01
l ,
k
0
а значит, в оптимальной точке пересекаются две прямые. Например, на рис. 5 такими прямыми являются прямые
l и 2l , которые
1
соответствуют первому и второму столбцу матрицы выигрышей
.
27
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
p
A
C
j
A
По теореме 5.2 только стратегии
для нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока
0
),(
II. Точка
vp не единственна, то есть ломаная L содержит
1
B и 2B войдут в уравнение (5.3)
1
B .
целый горизонтальный участок, например, как на рис. 8. Тогда для
игрока
прямой
B оптимальной является стратегия ,
l .
k
0
y
B соответствующая
k
0
l
k
0
0
Рис. 8
1
Пример 7.1. Фирма по производству строительных материа-
лов (игрок
) выпускает два вида продукции:
A и 2A . Прибыль
1
фирма получает в зависимости от величины спроса, который устанавливает потребитель (игрок
трех состояний:
B , 2B , 3B . Найти оптимальные стратегии игроков,
1
B ) и который может быть в одном из
если платежная матрица имеет вид
421
C
.
113
Матрица
пуске
характеризует прибыль, получаемую фирмой при вы-
i-й продукции (2,1i ) при j-м состоянии спроса (3,2,1
).
Решение. Для нахождения нижней и верхней цены игры со-
ставим таблицу
1
421
28
1
113
423
Основы теории игр
A
Тогда
1}1;1max{ , 2}4;2;3min{ . Так как , то игра
не имеет седловой точки. Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков при многократном повторении игры. Составим матрицы смешанных стратегий
AA
S
A
21
и .
0
0
pp
2
1
S
B
0
1
BBB
321
0
0
qqq
3
2
Будем решать задачу графически. Вычислим средний выигрыш игрока
при условии, что игрок B выбирает только чистые
стратегии. Имея в виду формулы (5.4), находим:
,23)1(31)1(
2111
2212
2313
ppppcpc
,1)1(12)1(
ppppcpc
ppppcpc
.15)1(14)1(
Теперь построим в системе координат
);( yp графики трех
прямых:
;23:
pyl
pyl
pyl
;1:
15:
будет ординатой
v
1
2
3
и ломаную
наивысшей точки
Ломаная
L выделена на рис. 9 жирной линией. Из рисунка
видно, что точка
и
l . Поэтому ее координаты удовлетворяют системе линейных
2
},,min{
lllL (рис. 9). Цена игры
321
0
),(
p ломаной L .
1
0
),(
p является точкой пересечения прямых 1l
1
уравнений
,23pypy
.1
Решение этой системы:
0
1
2
p ;
3
5
v
3
. Тогда
1
0
2
0
1
2
pp .
11
3
3
29
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
v
p
A
A
A
A
C
C
C
y
4
3
2
1
0
1
p
Рис. 9
0
1
l
3
l
2
l
1
1
Таким образом, оптимальная стратегия игрока
имеет вид
AA
S
2
A
3
21
.
1
3
Найдем теперь оптимальные стратегии для игрока
скольку оптимальная точка – это точка пересечения прямых
то из трех стратегий игрока
и
B , то есть в данной игре
2
ние системы (5.3), будем иметь
1
0
то
q ,
1
3
тегия игрока
0
2
B имеет вид
0
11
1
B активными являются стратегии 1B
0
Тогда, используя первое уравне-
.0
q
3
0
1
2
1
qq . Следовательно, оптимальная стра-
3
3
S
B
2
1
3
3
0
vqq )1(2
. Так как
1
BBB
321
.
0
Таким образом, так как
0
p , а
1
мендуется выпускать примерно 67
продукции вида
A для обеспечения максимальной прибыли при
2
30
2
3
% продукции вида
1
0
p , то фирме
2
3
A и 33
1
B . По-
l и 2l ,
1
5
v ,
3
реко-
%
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]