Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Основы теории игр
пишем ограничения (9.12) в виде системы равенств и прямых ограничений
.5,1,0
iy
i
,1643
yyyy
4321
,135
yyyy
5321
Далее, для решения задачи можно использовать стандартную
программу симплекс-метода. Компьютерная реализация симплексметода имеется во многих программах, например Excel, Mathcad,
Maple, Mathematicae и др. Можно также использовать программу
симплекс-метода в онлайн-режиме, например на сайте
www.semestr.ru/simplex/simplex.php.
Решение задачи дает следующий результат:
3
0
0
4
3
0
yyy
5
, при этом
0
0
yG .
11
0
1
1
y ,
11
0
y ,
2
2
11
По формулам (9.9), (9.10) находим оптимальную смешанную
стратегию игрока
B и цену игры:
0
1
y
0
q
1
1
3
1
j
,
0
y
j
q
3
v
1
0
2
y
0
2
2
3
y
1
j
0
)(
yG
,
0
j
11
3
q
3
3
5
2
3
0
y
0
3
3
1
j
.
,
0
0
y
j
Аналогичным образом, то есть симплекс-методом, может быть
решена и прямая задача. Однако для решения прямой задачи проще
использовать соотношения между оптимальными решениями прямой и двойственной задач. Известно [7], что оптимальные решения
прямой (9.3)–(9.4) и двойственной (9.7)–(9.8) задач связаны соотношениями
m
i
1
0
iij
0
j
,,1,01
njyxc
(9.13)
41
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
n
1
j
0
jij
0
i
.,1,01
mixyc
Соотношения (9.13) приводят к системе линейных уравнений
0
,0)153(
yxx
1
0
,0)134(
yxx
0
yxx
3
(9.14)
2
.0)16(
Так как
0
0
y , 0
1
0
y , а
2
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
, то система (9.14) эквивалентна сис-
0
y
3
0
0
теме
Решая систему (9.15), находим
получим
2
0
,
p
1
3
1
0
.
p
2
3
xx
2
x ,
11
,0153
(9.15)
.0134
1
0
x . По формулам (9.9)
2
11
2
1
0
0
xx
2
1
0
1
0
0
В заключение отметим совпадение результатов при решении
матричной игры из примера 7.1 разными способами.
Проверь себя. Решить матричную игру с матрицей выигры-
шей
421
D
.
113
Ответ:
7
3
10
,
10
0
p ,
2
3
0
q ,
,
,0
5
5
1
.
5
§ 10. Биматричные игры
Не всегда интересы двух игроков противоположны, как это
имеет место в антагонистических играх. Часто встречаются ситуации, в которых интересы участников взаимодействия не являются
42
Основы теории игр
A
A
противоположными. Проиллюстрируем это на классическом примере, называемом «Дилемма заключенного» (см., например, [8]).
Дилемма заключенного 1. Двое подозреваемых (
и B ) в со-
вершении преступления арестованы, помещены в одиночные камеры и не имеют возможности передавать друг другу какие-либо
сообщения. Их допрашивают поодиночке. Если оба признаются
в совершении преступления, то им грозит (с учетом их признания)
тюремное заключение сроком по 6 лет каждому. Если оба не признаются, то они получат
по 1 году тюремного заключения. Если же
один из них сознается, а другой – нет, то первый за содействие
следствию будет вовсе освобожден от наказания, тогда как второй
будет приговорен к максимально возможному за данное преступление наказанию – 10-летнему тюремному заключению.
Описанная ситуация может быть представлена следующей иг-
рой с матрицами выигрышей для
заключенных A и B соответст-
венно:
101
60
и
01
.
610
Здесь первые строки матриц выигрышей соответствуют стра-
тегии заключенного
«молчать», а вторые строки – стратегии
«сознаться». При этом первые столбцы матриц выигрышей соответствуют стратегии заключенного
B «молчать», а вторые столбцы –
стратегии «сознаться».
Очевидно, что стратегия «молчать» является строго доминируемой для каждого игрока (так как ни один из них не знает, что
предпримет другой), поэтому каждый игрок выберет стратегию
«сознаться». В результате оба заключенных получат по 6 лет тюремного заключения. При этом мы сразу же сталкиваемся
с очевидной проблемой: получающийся результат игры очень плохой –
он дает максимальный суммарный срок заключения. Этот факт послужил толчком к многочисленным исследованиям данной игры,
поскольку, например, естественным желанием было бы получить
в качестве результата игры (или ее модификаций) выбор стратегий
«молчать», дающий каждому заключенному лишь по одному году
заключения
.
43
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
B
A
A
A
B
A
B
B
Такая же проблема возникает и в следующей экономикополитической задаче (в силу схожести специфики с предыдущей
задачей мы сохраняем прежнее название).
Дилемма заключенного 2. Рассмотрим две нефтедобывающие
страны:
и B. Эти страны могут кооперироваться, договариваясь
об объемах ежедневной добычи нефти, ограничиваясь, например,
добычей 2 млн баррелей нефти в день для каждой страны. Но страны могут действовать и некооперативно, добывая, например,
по 4 млн баррелей в день. Такая ситуация может быть представлена
и
игрой со следующими матрицами выигрышей для стран
со-
ответственно:
2646
3252
и
4442
.
2422
В матрицах указаны прибыли (млн долларов в день) стран
в зависимости от их объемов добычи нефти. Очевидно, что у каждой страны есть стимул отклониться от договора, чтобы за счет
увеличения объемов производства получить дополнительную прибыль. Мы видим, что и здесь у каждого из игроков есть доминирующая стратегия – «не кооперироваться». В итоге страны получают прибыль 32 и 24 (млн долларов в день), что гораздо меньше, чем
в ситуации кооперативного поведения.
Таким образом, мы сталкиваемся с феноменом, аналогичным
предыдущей задаче: оба игрока выбирают свои доминирующие
стратегии, увеличивая тем самым свои выигрыши, но исход для
каждого из них хуже,
чем в ситуации, когда оба следуют домини-
руемым стратегиям.
Рассмотрим конфликт, в котором участвуют игроки
Пусть игрок
имеет стратегии
21
AAA ,,,
m
, а B –
При этом выбранной игроками стратегии
выигрыши
ba . Таким образом, мы имеем две матрицы выигрышей
a и ijb игроков
ij
ijij
и
соответственно. Вообще говоря,
},{jiBA соответствуют
и B.
21 n
BBB
.,,,
)(ijaA и )(ijbB , mi ,1 , nj ,1
для игроков
имеем
биматричную игру. Очевидно, что антагонистические игры
и B соответственно. В этом случае говорят, что мы
44
Основы теории игр
B
B
являются частным случаем биматричных игр при выполнении условия
ab . Иногда биматричную игру представляют одной
ijij
матрицей
2211
bababa
),(),(),(
1112121111
nn
bababa
),(),(),(
2222222121
nn
bababa
),(),(),(
mnmnmmmm
с элементами
nj ,1
, соответствует матричной игре.
ba . Случай, когда const
ijij
ba , mi ,1 ,
ijij
),(
Рассмотрим смешанные стратегии игроков при многократном
повторении игры
AAA
S
A
21
21
m
и .
ppp
m
S
B
BBB
21
21
n
qqq
n
Средние выигрыши игроков определяются математическими
ожиданиями
),( и
Определение. Будем говорить, что пара ),(
0
0
1
ситуацию
и
2
, если при любых векторах
21 n
00
и
,,,
pppp
m
),...,,(
qqqq , удовлетворяющих условиям
qpaqpH
ji
,
jiijA
0
1
,,,
qqqq
),( .
0020
определяют равновесную
n
,
ji
i
m
qpbqpH
jiijB
00
qp векторов
21 m
n
p11 и
i
j
q11,
pppp
j
выполняются неравенства
000
),(),(
и ),(),(
qpHqpH
AA
. (10.1)
000
qpHqpH
Неравенства (10.1) означают, что отклонение игроков от рав-
новесной ситуации
),(00qp может только уменьшить их выигры-
),...,,(
45
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
B
ши. Возникает вопрос: всегда ли существует равновесная ситуация?
Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 10.1 (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра в смешан-
ных стратегиях имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку
равновесия).
Рассмотрим примеры нахождения точки равновесия. Сначала
изучим самую простую биматричную игру типа
22 с матрицами
выигрышей
aa
A
1211
B
и
aa
2221
bb
1211
.
bb
2221
Пусть смешанные стратегии игроков имеют вид
AA
S
A
21
1
pp
и
S
B
BB
21
.
1
qq
При использовании стратегий
S и BS средние выигрыши игроков
A
),1)(1()1()1(),(
A
22211211
qpaqpaqpapqaqpH
(10.2)
).1)(1()1()1(),(
qpbqpbqpbpqbqpH
22211211
Для биматричных игр типа
22 справедлива следующая тео-
рема.
Теорема 10.2. Неравенства (10.1) для равновесных ситуаций
эквивалентны следующей системе неравенств:
AA
AA
BB
BB
000
qpHqH
,),(),0(
000
qpHqH
,),(),1(
(10.3)
000
qpHpH
,),()0,(
000
qpHpH
.),()1,(
Теорема 10.2 означает, что для нахождения равновесной пары
),(00qp достаточно проверить справедливость неравенств (10.1) не
46
Основы теории игр
для всех вероятностей p и q, а только для чистых стратегий каждого из игроков.
Преобразуем функции выигрышей (10.2) к виду, удобному для
применения теоремы 10.2:
paapqaaaaqpH
)()(),(
A
)( aqaa . (10.4)
222221
221222211211
Полагая в (10.4)
0p и 1p , получим
A
A
aqaaqH
222221
,)(),0(
.)()(),1(
qaaaqaaaaqH
22211222211211
Следовательно,
)1)(()1()(),1(),(
paapqaaaaqHqpH
AA
221222211211
,
(10.5)
.)()(),0(),(
рaapqaaaaqHqpH
AA
221222211211
Если ввести обозначения
,
,
aac
1222
aaaaC
22211211
(10.6)
то формулы (10.5) примут вид
,)1()1(),1(),( pcpCqqHqpH
.)(),0(),( cCqpcpCpqqHqpH
AA
AA
Так как в точке равновесия
),(00qp выполняются неравенства
(10.3), то получаем систему неравенств
,0))(1(
cCqp
.0)(
cCqp
47
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
B
B
B
C
A
C
C
Аналогичным образом, рассматривая разности
),1( qHB , )),0(),( qHqpH
и вводя обозначения
),( qpH
,
,
bbd
2122
bbbbD
22211211
(10.7)
получим систему неравенств
,0))(1(
dDpq
.0)(
dDpq
В итоге пара
матричной игре
),(00qp определяет равновесную ситуацию в би-
22 тогда и только тогда, когда выполняется сис-
тема неравенств
cCqp
,0))(1(
cCqp
dDpq
,0)(
dDpq
,0))(1(
(10.8)
,0)(
pq
,10,10
, c , D , d вычисляются по формулам (10.6) и (10.7).
где
Пример 10.1 (Заказчик-исполнитель). Строительная компа-
ния (игрок
У строительной компании две стратегии:
вить дом к сдаче, исправив все недостатки, и стратегия
) сдает дом, который принимает заказчик (игрок B).
A – безупречно подгото-
1
A – замас-
2
кировать некоторые недостатки и попытаться «договориться» с заказчиком принять дом в таком виде.
У заказчика тоже две стратегии:
ты о сдаче дома,
B – не подписывать документы, требуя устранить
2
B – подписать все докумен-
1
все недоделки. Требуется решить данную биматричную игру. Сначала формализуем ситуацию.
Исход игры для заказчика:
48
Основы теории игр
C
C
подписывает
документ о сдаче
дом безупречно
все довольны слишком
построен
много недоделок или дали себя
обмануть или сами
нечестные люди
не подписывает
документ
придирались
надо ждать
устранения
недоделок
Исход игры для исполнителя:
дом сдан комиссии дом не сдан
комиссии
дом безупречно
все довольны очень обидно
построен
много недоделок удалось обмануть
оценка заслужена
комиссию или
«договориться»
Количественно выигрыши игроков можно выразить в виде
матриц, например, так:
12
A
,
01
B
31
.
12
Игру можно задать также матрицей
)3;1()1;2(
.
)1;0()2;1(
Вычислим параметры
, c, D , d по формулам (10.6) и (10.7):
201)1(2
; 110 c ;
51)3()2(1 D ; 1)2(1 d .
Тогда неравенства (10.8) примут следующий вид:
qp
qp
,0)12)(1(
;0)12(
pq
pq
,0)15)(1(
.0)15(
49
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
p
p
p
B
B
Решим первую систему:
1
1) при 1
p : 012 q , откуда
q ;
2
1
2) при
0p : 012 q , откуда
q
;
2
3) при
10 p :
q
.
1
2
Найденные решения первой системы показаны на плоскости
(рис. 11) в виде жирной ломаной.
q
1
1
2
0
Рис. 11
1
Решим теперь вторую систему:
1
1) при 1
q : 015
p , откуда
p ;
5
1
2) при
0q : 015p , откуда
p
;
5
3) при
10 q :
p
.
1
5
Графически решение второй системы показано на рис. 12
также в виде жирной ломаной.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]