Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Основы теории игр
p
p
B
B
q
1
1
0
5
Рис. 12
1
Таким образом, решения системы (10.8) – это точки
M пересечения ломаных, построенных на рис. 11 и 12 (рис. 13).
3
q
M
1
1
2
1
0
M
2
1
5
Рис. 13
M
3
1
M , 2M ,
1
Так как ломаные пересекаются в трех точках, то имеются три
равновесные ситуации. Найдем выигрыши игроков для каждой равновесной точки:
1. В точке
)0,0(1M имеем 0)0,0(
A
aH
, )0,0(
22
H
122 b .
2. В точке
3. В точке
1
1
M имеем 5,0
,
2
5
2
)1,1(3M имеем 2)1,1(
H , 1)1,1(
1
1
H , 4,1
A
A
,
5
2
H .
1
1
H .
B
5
,
2
51
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
A
A
A
C
C
A
Получаем, что наибольший выигрыш обе стороны будут
иметь при
1 qp , то есть когда весь дом будет полностью по-
строен и принят заказчиком.
Замечание. В задачах такого рода имеется очевидная труд-
ность перехода от качественных оценок к количественным. Если
матрицы
и B изменить, то получатся, вообще говоря, другие
точки равновесия игры.
Пример 10.2 (Борьба за рынки) [8]. Фирма (игрок)
хочет
продать партию товара на одном из двух рынков, которые уже захвачены другой крупной фирмой (игроком)
его плана фирма
из этих рынков. Фирма
на одном из рынков. Если фирма
разворачивает рекламную компанию на одном
B вполне может воспрепятствовать этому
встречает противодействие, то
B . Для реализации сво-
она терпит поражение на этом рынке. В противном случае она захватывает рынок.
Предположим, что захват первого рынка для фирмы
более
выгодный, но и поражение на нем принесет большие убытки, чем
на втором рынке. Допустим, что эта ситуация может повторяться
многократно.
Решим биматричную игру. Каждая из фирм имеет по две стра-
тегии:
ветственно, и
A и 2A – захват фирмой
1
B , 2B – захват фирмой B этих рынков.
1
первого и второго рынков соот-
Оценки сложившейся ситуации могут быть выражены, напри-
мер, платежными матрицами
A
38
и
22
B
25
11
или одной матрицей
)2;3()5;8(
.
)1;2()1;2(
Из условия задачи видно, что если обе фирмы выберут один
и тот же рынок, то выиграет фирма
разные рынки, тогда в выигрыше окажется фирма
B . Если же фирмы выбирают
. Найдем равновесные ситуации в смешанных стратегиях игроков. Для этого
вычислим значения
, c , D , d по формулам (10.6) и (10.7):
52
Основы теории игр
C
A
152238
, 532
c ,
91)1()2(5 D
,
2)1(1 d
.
Неравенства (10.8) при условии, что
,
10 p
, имеют вид
10
q
qp
qp
,0)515)(1(
и
0)515(
pq
pq
,0)29)(1(
.0)29(
Из первой системы имеем:
1
1) при
1p : 0515 q , откуда
q
;
3
1
2) при 0
p : 0515 q , откуда
q ;
3
1
3) при
10 p :
q
.
3
Из второй системы имеем:
2
1) при
1q : 029 p , откуда
p
;
9
2
2) при
0q : 029 p , откуда
p
;
9
3) при
:
10
q
.
p
2
9
Графически решения систем в плоскости
),( qp показаны на
рис. 14 (жирные ломаные).
Из рисунка видно, что точка равновесия в данной игре только
2
одна:
p ,
9
мальные смешанные стратегии игроков:
1
q . Таким образом, получаем следующие опти-
3
7
2
0
p ,
,
9
0
q .
9
Вычислим соответствующие средние выигрыши фирм
1
3
и B :
2
,
3
53
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
p
A
A
C
),(
020
112
),(
ji
0000
jiijB
1,11
0000
ji
jiijA
010
221
010
112
010
qpaqpaqpH
1,11
2
020
qpaqpaqpa
222
020
,
3
1
010
221
020
.
qpbqpbqpbqpbqpbqpH
222
3
q
1
1
3
2
0
9
Рис. 14
1
Проведем анализ полученных результатов с экономической
точки зрения. Если возможен многократный захват рынков в опи-
санных условиях, то фирма
должна с вероятностью
2
, то есть
9
примерно в 22
а в остальных 78
рает больше, чем
% случаев, пытаться проникнуть на первый рынок,
% – на второй. При этом в среднем она не проиг-
2
условных единиц. В то же время фирма B
3
должна с вероятностью
водействовать фирме
втором. При этом средний выигрыш фирмы
1
условных единиц.
1
, то есть примерно в 33
3
% случаев, проти-
на первом рынке, а в остальных 67 % – на
B составит не менее
3
Заметим, что в данной задаче – одна равновесная точка. Но,
конечно, в других ситуациях таких равновесных точек может быть
и больше. В этом случае выбор одной из них должен осуществлять-
54
Основы теории игр
C
ся из каких-то других качественных условий конфликта. Такой выбор бывает сделать довольно сложно, и это представляет собой определенную проблему в экономической науке.
В данной задаче можно также заметить, что точка равновесия
определяется числами
, c, D , d , а именно:
0
p
d
,
D
0
q
c
.
C
Причем в равновесной ситуации выбор одного игрока полностью
определяется матрицей выигрышей другого и не зависит от собственной матрицы. Другими словами, равновесная ситуация определяется усилиями игроков держать под контролем другого игрока.
Проверь себя. Решить биматричную игру с матрицей выиг-
рышей
)1;1()1;2(
.
)0;3()2;4(
4
00
qpH
),(
5
B
Ответ:
00
),(
0
p ,
1
.
qpH
2
1
1
,
2
2
0
q ,
9
1
10
,
10
A
§ 11. Игры «с природой»
Во всех примерах, рассмотренных в предыдущих параграфах,
оба игрока принимают решения, то есть осознанно выбирают свои
стратегии, с целью получения наибольшего выигрыша или наименьшего проигрыша. Но так бывает не всегда. В экономической
практике при принятии решений можно столкнуться с неопределенными силами. Эта неопределенность не связана с сознательным
целенаправленным противодействием
противника. Часто встречается ситуация, в которой лицо, принимающее решение, недостаточно информировано об объективных внешних условиях. Неопределенность такого вида может порождаться различными причинами: нестабильностью экономической ситуации, рыночной конъюнктурой, курсом валют, уровнем инфляции, изменяющимся покупательским спросом, природными условиями и т. д. В таких играх
,
55
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
A
A
A
A
только один из игроков действует осознанно. Другим игроком
является незаинтересованная объективная действительность: покупательский спрос, стихийные природные условия, сложившаяся
стихийно экономическая обстановка и т. д. Эта вторая сторона не
противодействует первому игроку как противник, а действует случайным образом. Такие игры принято называть играми «с природой».
Пусть у игрока
имеется m стратегий:
21
. У игро-
AAA ,,,
m
ка B («природы») имеется n возможностей находиться в одном из
состояний:
21
, которые можно назвать «стратегиями
,,,
n
природы». Матрица выигрышей игры «с природой» состоит из эле-
mi ,1
ментов
c , соответствующих паре ),(jiA ,
ij
,
nj ,1 . Такую
игру, с одной стороны, можно считать частным случаем антагонистической игры. С другой стороны, отличие состоит в том, что величины
c не являются проигрышами «природы». За эти проигры-
ij
ши платить будет какая-то «третья сторона», например жители
данной местности, работники конкретной фирмы и т. д.
В играх «с природой» по-другому дело обстоит и с отношением доминирования. Именно принципом доминирования можно
пользоваться только по отношению к игроку
, который действует
осознанно. Но по отношению ко второму игроку («природе») этот
принцип неприменим, поскольку свои стратегии «природа» выбирает случайно.
Далее будем считать, что доминируемые строки из матрицы
выигрышей удалены. Требуется выбрать такую стратегию игрока
,
которая является предпочтительной по сравнению с другими. Возникает вопрос, как оценить удачность выбора какой-либо стратегии
A , mi ,1 , игроком
i
при состоянии «природы»
, nj ,1 , в ус-
j
ловиях полной неопределенности. Надо ввести показатель степени
этой «удачности». Для этого вводится понятие «риска».
Определение. Риском
A в условиях состояния
i
шем, которую он получил бы, если бы знал
торый он получит в тех же условиях, применяя стратегию
r игрока
ij
называется разность между выигры-
j
при применении стратегии
, и выигрышем, ко-
j
A :
i
mi ,1
ccr )max( ,
ij
i
ijij
,
nj ,1 .
56
Основы теории игр
A
A
A
Матрица рисков )(
rR , mi ,1 , nj ,1 , имеет ту же размер-
ность, что и матрица выигрышей
ij
)(ijcC . Риск ijr выражает упу-
щенную возможность максимального выигрыша при данном состоянии «природы». Величина риска – это плата за неинформированность о действительном состоянии объективной реальности.
Пример 11.1. Планируется застройка нового микрорайона при
неизвестных условиях рыночного спроса, о котором можно сделать
три предположения:
,, . Ожидаемая прибыль от застройки
321
при этих условиях выражается матрицей выигрышей
515
C (11.1)
.
189
234
Построим матрицу рисков для этой игры. Для этого вычтем
каждый элемент матрицы
c из максимального значения каждого
ij
из столбцов. Например, в первом столбце максимальным является
элемент
первого столбца, получим
922c . Вычитая поочередно из этого значения элементы
5,0,4 . Поступая аналогично со вторым
и третьим столбцами, получим матрицу рисков:
074
R
.
400
(11.2)
355
Эта матрица хорошо иллюстрирует суть игры «с природой».
При выборе первой стратегии игроком
5
cc , то есть одинаковы. Но эти выигрыши не являются рав-
1311
величины выигрышей
ноценными, так как величины рисков, то есть упущенные возможности, у них существенно отличаются. Из матрицы (11.2) находим:
411r , 013r . Это означает, что при состоянии 1 игрок
выиграть 9 условных единиц (у.
то же самое, проиграл
риск
013r , то есть игрок
е.), а выиграл всего 5 у. е. или, что
411r у.
е. При состоянии «природы»
выиграл по максимуму и не упустил
мог бы
3
57
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
своих возможностей. Таким образом, выбор стратегии
шению к состоянию
к состоянию
.
1
более предпочтителен, чем по отношению
3
A по отно-
1
Поставим задачу выбрать чистую или смешанную стратегию,
которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Если
неизвестны вероятности состояний «природы»
дело с
условиями полной неопределенности. Если же эти вероятно-
сти даны априорно, то возникает ситуация принятия решения
, то мы имеем
j
в ус-
ловиях риска.
Рассмотрим сначала условия полной неопределенности. В таких моделях при выборе оптимальной стратегии используется ряд
критериев.
1. Критерий максимакса
Критерий крайнего оптимизма максимизирует максимальные
выигрыши для каждого состояния «природы» по формуле
.maxmax
cM
ij
ji
Например, для матрицы (11.1) этот принцип дает
ориентирует игрока
94;9;5max M , что соответствует стратегии 2A . Этот критерий
на наилучшее состояние «природы». Таким
критерием в экономике пользуются либо безоглядные оптимисты,
либо лица, поставленные в безвыходное положение, у которых
только и остается, что «поставить на карту все».
2. Максиминный критерий Вальда
В этом случае оптимальной считается такая стратегия, которая
обеспечивает максимум минимального выигрыша при различных
состояниях «природы»
.minmax
cM
ij
j
i
При этом критерии «природа» рассматривается как агрессивно
настроенный противник и предполагается самое неблагоприятное
ее состояние. В частности, для матрицы (11.1) получим
22;1;1max M , что соответствует выбору стратегии 3A . Такую
позицию можно назвать позицией крайнего пессимизма. Часто
58
Основы теории игр
в экономике ее используют те, кто руководствуется поговоркой
«Береженого бог бережет». Такое решение практически исключает
риск, поэтому критерий Вальда является одним из основных критериев при решении экономических или технических задач.
3. Критерий Сэвиджа
Это критерий минимального риска, который тоже можно отнести к критериям полного пессимизма. Выбирается такая стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна:
.maxmin
rM
i
ij
j
В примере 11.1 из матрицы (11.2) получим
45;4;7min M , поэтому наилучшей считается стратегия 2A .
Несмотря на то, что критерии Вальда и Сэвиджа считаются
критериями крайнего пессимизма, они могут приводить к выбору
разных стратегий. Это хорошо видно на примере 11.1.
4. Критерий Гурвица
Этот критерий рекомендует «не впадать в крайности», то есть
не вдаваться в крайний оптимизм или крайний пессимизм, а выбрать промежуточный результат
),max)1(min(max
ccM
ij
j
где числа
При
ij
i
j
]1;0[ можно назвать степенью пессимизма.
1 получим пессимистический критерий Вальда, а при
0 получаем максимаксный критерий крайнего оптимизма.
Выбор конкретного значения параметра
определяется субъ-
ективными факторами и конкретной ситуацией. Если необходимо
сильнее подстраховаться, то надо выбирать значение
предпочтений нет, то можно выбрать «золотую середину»:
5,0 . Если
5,0 .
Найдем в примере 11.1 оптимальную стратегию по критерию
Гурвица при
i
i
5,0 .
ccM
)max5,0min5,0(max
ij
j
ij
j
59
.53;5;3max45,025,0;95,015,0;55,015,0max
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
Этот элемент соответствует второй стратегии, то есть оптимальной
признается стратегия
A .
2
Конкретных рекомендаций по применению того или иного
критерия не существует. Лицо, принимающее решение, должно
оценивать степень риска в конкретной ситуации. Можно выбирать
разные стратегии поочередно, а потом сделать окончательный выбор
в пользу той или иной стратегии. Если различные критерии приводят
к выбору одной и той же стратегии, то именно ее
можно выбрать
в качестве оптимальной в неопределенных условиях «природы».
Рассмотрим теперь ситуацию частичной или неполной информированности игрока
, то есть случай принятия решения в ус-
ловиях риска.
Предположим, что игрок
ступления состояний «природы»
имеет сведения о вероятностях на-
:
n
)(jjpp ,
nj ,1
,
j
p11.
j
Рассмотрим несколько критериев принятия решений в игре
«с природой» в условиях риска.
5. Критерий Байеса
По этому критерию показателем эффективности стратегии
A ,
i
mi ,1 , является математическое ожидание (среднее значение) выиг-
рыша с учетом вероятностей всех возможных состояний природы
n
j
cpM
, mi ,1 .
ijji
1
:
j
При этом оптимальной среди чистых стратегий считается стратегия
A с максимальным показателем эффективности
i
0
0 i
1
.max
miMM
Пример 11.2.
видов продукции
изводства материальными ресурсами:
),(jiA , 3,1i ,
На промышленном предприятии выпуск новых
,, AAA зависит от степени обеспеченности про-
321
,, . Каждой паре
321
3,1j
, соответствует определенный выигрыш –
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]