Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Основы теории игр
v
A
A
v
A
A
x
Z
1
mi
.maxminminmax
ij
nj
11
cc
nj
ij
1
mi
Элемент
вается
седловым элементом, а пара
c платежной матрицы, для которого
ji
00
– седловой точкой игры.
),(
ji
00
c , назы-
ji
00
Определение. Для игр с седловой точкой число
зывается
рока
является стратегия
ценой игры.
В примере 2.1 цена игры
является стратегия
B . Причем элемент 524c является седловым
A , а минимаксной стратегией игрока B
2
4
. Максиминной стратегией иг-
5
элементом.
При наличии в игре седловой точки
стратегии
ным (
рыш не менее
рыш не менее
A , а игроком B стратегии
i
0
оптимальным). Такой выбор обеспечивает игроку
, а игроку B – проигрыш не более v, то есть выиг-
v
. Отклонение от этих стратегий невыгодно обоим
игрокам: выигрыш для игрока
B является самым разум-
j
0
может только уменьшиться,
выбор игроком A
),(00ji
а проигрыш для игрока B – только увеличиться.
Поясним название «седловая точка». Рассмотрим в простран-
стве поверхность, заданную уравнением
22
xyz (рис. 2).
на-
v
выиг-
Эта поверхность получается при скольжении параболы
по параболе
болоидом. Из рисунка видно, что точка
мумом функции по переменной
(см. рис. 2) и называется гиперболическим пара-
COD
)0,0,0(O
является макси-
в плоскости
11
XO
(то есть
OB
0y
).
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
Z
x
A
A
C
Одновременно точка O является минимумом функции по переменной
y
в плоскости
YO
(
). Как видно из рисунка, геометриче-
0
ски поверхность напоминает седло. Отсюда и произошло название
точки
– «седловая точка».
O
Замечание. В игре может быть несколько седловых точек, то
есть таких точек
, для которых vc
),(00ji
.
ji
00
Проверь себя. Найти цену игры с платежной матрицей
C
1235
.
0413
1621
Ответ: 1.
§ 4. Игры без седловой точки
Очевидно, что не всякая матричная игра будет иметь седло-
вую точку.
Пример 4.1. Рассмотрим игру двух игроков
и B с платеж-
ной матрицей
C
123
.
103
Вычислим для нее наименьшие элементы в строках и наи-
большие в столбцах. Имеем
2
123
1
103
103
Тогда нижняя цена игры
c
ij
3,2,1
j
2,1
i
.11;2maxminmax
Верхняя цена игры
c
3,2,1
j
ij
2,1
i
.01;0;3minmaxmin
12
Основы теории игр
A
C
Таким образом, в этой игре 1 , а 0 , то есть нижняя и верх-
няя цены игры не совпадают, а значит, в ней нет седловой точки.
Здесь стратегия
гия
B будет минимаксной для игрока B .
2
A является максиминной для игрока
2
, а страте-
Теорема. Для любой антагонистической игры с матрицей вы-
игрышей
ij
njmicC
,1,,1),( , выполняется неравенство
,
ij
11
1
nj
mi
nj
cc
maxminminmax
ij
1
mi
то есть .
Доказательство. Рассмотрим элементы
j -го столбца матрицы
. Так как любой элемент этого столбца не
321
cccc ,,,,
mjjjj
превосходит максимального в этом столбце, то очевидно, что при
любых значениях
i справедливо неравенство
1ijmi
cc
ij
.max
Так как это неравенство выполняется при всех
от обеих частей неравенства по индексу
j , получим
j , то, беря минимум
.maxminmin
ij
11
nj
cc
nj
ij
1
mi
Последнее неравенство выполняется при всех i . Беря максимум от
обеих частей неравенства по индексу
i , получим
.maxminminmax
ij
11
1
nj
mi
nj
cc
ij
1
mi
Таким образом, из определений нижней и верхней цен игры
и последнего неравенства следует, что
. Теорема доказана.
Замечание. Для матричной игры без седловой точки справед-
ливо строгое неравенство
.
Проверь себя. Определить максиминную и минимаксную
стратегии для игры, заданной платежной матрицей
13
Ответ:
A
A
A
A
A
A
A
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A и 2B .
1
2736
C
.
1413
5441
§ 5. Многократно повторяемые игры. Смешанные стратегии
В предыдущих параграфах рассматривались так называемые
одноразовые игры. Имеющиеся стратегии игроков
рах называют
чистыми стратегиями. В одноразовых играх выгод-
и B в этих иг-
нее всего придерживаться принципа минимакса. При этом безразлично, имеет ли игра седловую точку или нет.
Возникает вопрос: если такая игра будет повторяться многократно, то каких стратегий игрокам лучше всего придерживаться?
Если игра имеет седловую точку, то игрокам невыгодно менять свои стратегии. Но если
игра без седловой точки, то повторение минимаксной стратегии одним из игроков становится невыгодным для него. Поясним это на примере.
Пример 5.1. Рассмотрим игру с платежной матрицей
034
C
.
321
Для нахождения нижней и верхней цен игры составим таблицу
3
034
321
1
324
Из таблицы находим нижнюю и верхнюю цены игры:
стратегией для игрока
тегия для игрока
11;3max ,
B – это 2B . Так как 02
23;2;4min . Значит, максиминной
будет стратегия
22
A , а минимаксная стра-
2
c , то для игрока
игра разрешится его выигрышем, равным 2. Допустим, что при следующей игре игрок
дет об этом информирован. Тогда игрок
опять применит стратегию
B может применить, на-
14
A , а игрок B бу-
2
Основы теории игр
A
A
A
пример, стратегию
B . Так как 1
1
игрыша будет иметь выигрыш, равный
c < 0, то игрок B вместо про-
21
121 c . Отсюда можно
сделать вывод о том, что при многократном повторении игры, если
известны намерения другого игрока, то можно увеличить свой выигрыш, сделав его большим
, и уменьшить свой проигрыш, сде-
лав его меньшим .
Доказано, что при многократном повторении игры без седловой точки для обеспечения суммарного выигрыша, большего
игроку
гично, чтобы сделать свой проигрыш меньшим, чем
следует непредсказуемо менять свои стратегии. Анало-
, игрок B
,
также должен случайным образом менять свои стратегии. Так возникает идея об использовании так называемых смешанных стратегий, то есть таких стратегий, которые игроки будут выбирать случайно с некоторыми вероятностями.
Определение. Смешанной стратегией игрока называется ве-
роятностное распределение на множестве его чистых стратегий.
Обозначим через
шем
S в виде матрицы, в первой строке которой записаны все
A
возможные стратегии
p , с которыми игрок
сти
i
S смешанную стратегию игрока
A
miA
,1, , а во второй – указаны вероятно-
i
выбирает соответствующие стратегии:
. Запи-
AAA
S
A
21
21
m
.
ppp
m
Здесь
q ,
где
0
p , mi ,1 , и 1
i
1
mi
p .
i
Смешанная стратегия для игрока
S
B
n
0
j
nj ,1
, и 1
q .
1
j
j
21
21
B имеет вид
BBB
n
,
qqq
n
Заметим, что любая чистая стратегия – это частный случай
смешанной стратегии. В этом случае она применяется с вероятностью 1, а остальные стратегии – с вероятностью 0.
15
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
A
A
A
A
Пусть теперь игроки выбирают пару стратегий ),(
роятностями
q соответственно. Как и ранее, предполагаем,
и
p
j
i
что при таком выборе стратегий величина выигрыша составляет
Тогда средний выигрыш игрока
BA с ве-
ji
c .
ij
min
11
j
qpcqpCv
.),,(
jiij
Эта формула есть не что иное, как математическое ожидание случайной величины, равной выигрышу игрока
жестве пар стратегий ),(
Пусть ),,,(
BA .
ji
pppp и ),,,(
21 m
и заданной на мно-
qqqq – векторы веро-
21 n
ятностей. Следующее понятие является важнейшим в теории игр.
Определение. Стратегии с вероятностями
и
0
1
0020
называются оптимальными смешанными
,,,
qqqq
n
0
0
2
1
00
,,,
pppp
m
стратегиями игроков, если выполняется двойное неравенство
0000
),,(),,(),,(
qpCvqpCvqpCv (5.1)
при любых
0, jiqp , 1
p , 1
i
1
mi
1
nj
q .
j
Для антагонистической игры левое неравенство в (5.1) означа-
ет, что отклонение от стратегии
0
p для игрока
неразумно, так
как его выигрыш при этом может только уменьшиться (при условии, что игрок
вое неравенство в (5.1) означает, что отклонение от стратегии
неразумно для игрока
его проигрыш может только увеличиться (при условии, что игрок
придерживается оптимальной стратегии
B придерживается оптимальной стратегии 0q ). Пра-
q
B , так как при отклонении от стратегии 0q
0
p ).
0
Условие оптимальности (5.1) можно представить в виде
00
qq
p
16
p
).,,(maxmin),,(),,(minmax
qpCvqpCvqpCv
Величина vqpCv ),,(
A
00
),,(
vqp называется решением матричной игры.
Основы теории игр
00
называется ценой игры, а набор
Следующая теорема дает положительный ответ на естественный вопрос о существовании решения в играх со смешанными
стратегиями. Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в [1].
Теорема 5.1 (Неймана). Для матричной игры с произвольной
матрицей выигрышей
),,(maxmin qpCv
и
q
p
существуют и равны между собой. При этом
существует хотя бы одна стратегия
C величины ),,(minmax qpCv
q
p
),(00qp , для которой выполня-
ется равенство
00
.),,(),,(maxmin),,(minmax
vqpCvqpCvqpCv
qq
p
p
Иными словами, теорема утверждает, что любая матричная
игра имеет решение в смешанных стратегиях.
Следующая теорема используется для нахождения этого решения. Вначале заметим, что оптимальными смешанными стратегиями игроков могут быть и чистые стратегии. Те чистые стратегии, которые входят в состав оптимальных стратегий с ненулевыми
вероятностями, назовем активными чистыми
Рассмотрим игру типа
njmicC
,1,,1),(
ij
.
nm с матрицей выигрышей
стратегиями.
Теорема 5.2
1. В оптимальную смешанную стратегию игрока
только те чистые стратегии
pmiA , для которых вы-
ii
0,,1,
входят
полняется равенство
n
0
vqc
j
1
2. В оптимальную смешанную стратегию игрока
только те стратегии
. (5.2)
jij
B входят
0,,1,
qnjB
, для которых выполняется
jj
равенство
m
0
vpc
i
1
. (5.3)
iij
17
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
C
A
A
3. Выполняется равенство
m
0
j
iij
i
1
p
m
iij
j
i
11
q
n
00
i
jij
j
n
0
.maxmaxminminmaxmin
qcqcpcpcv
i
jij
j
1
Теорема 5.2 является основой для различных методов решения
матричных игр.
Условия, при которых применяются смешанные стратегии,
следующие:
а) игра не имеет седловой точки;
б) игра повторяется много раз в одинаковых условиях;
в) во время игр игроки не информированы о намерениях друг
друга;
г) выигрыш вычисляется усреднением результатов игр.
Проверь себя. Вычислить средний выигрыш для игры, задан-
ной платежной матрицей
2736
C
5413
1254
в случае, когда игроки используют следующие смешанные стратегии:
)6,0;1,0;3,0(p , )4,0;1,0;3,0;2,0(q .
Ответ:
v .
09,3),,( qp
§ 6. Решение матричной игры 22 в смешанных стратегиях
Рассмотрим простейшую игру типа 22 , которая описывается
матрицей выигрышей
cc
C
Пусть смешанные стратегии игроков
1211
.
cc
2221
и B имеют вид
где
AA
S
A
121 pp ; 1
qq .
21
21
S
,
B
pp
21
18
BB
21
,
qq
21
Основы теории игр
A
Найдем оптимальные стратегии
и цену игры
v . Так как
0
p и
1
0
p и
0
p удовлетворяют равенствам (5.3), то
2
1
0
2
0
1 pp игрока
1
0
111
0
112
0
1
0
,
vpcpc
221
0
,
(6.1)
vpcpc
222
0
.1
pp
2
Поэтому, приравнивая левые части первых двух уравнений и учитывая, что из последнего уравнения
0
2
0
1 pp , получим
1
0
111
0
121
0
112
0
)1()1(
pcpcpcpc , (6.2)
122
или
0
1
ccccccp
212222122111
.)(
Следовательно,
cc
0
p
1
2122
.
)(
cccc
21122211
Тогда, подставляя это выражение в последнее уравнение системы
(6.1), найдем:
cc
0
2
0
pp
11
1
2122
cccc
21122211
cc
1211
.
cccc
)()(
21122211
0
Теперь, зная значения
p и
0
p , найдем цену игры, используя, на-
1
2
пример, первое уравнение системы (6.1):
cc
0
111
0
cpcpcv
11
221
cccc
21122211
.
)(
cccc
21122211
2122
c
cccc
21
21122211
cc
1211
)()(
cccc
21122211
Таким образом, получено решение системы (6.1)
19
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
v
p
A
0
p
1
0
p
2
v
cc
2122
cc
1211
cccc
21122211
,
cccc
)(
21122211
,
(6.3)
cccc
)(
21122211
.
cccc
)(
21122211
Теперь, зная значение цены игры
мальную смешанную стратегию игрока
0
112
0
vqcqc
. Учитывая, что
212
vqcqc )1(
, откуда
0
1
имеем
0
111
0
111
v , можно вычислить опти-
B . Исходя из условия (5.2),
0
2
)( cvccq . Следовательно,
121211
0
1 qq , получим
1
cv
0
q
где
1
12
cc
0
2
1211
0
qq
1
cv
12
cc
1211
vc
11
,11;
cc
1211
сс
1211
. (6.4)
Для игры типа
22 можно рассмотреть и графический вари-
ант решения. Чтобы решить игру графически, выберем систему координат
),( yp и выполним следующие построения (рис. 3):
y
pcpcy
)1(
c
c
21
12
1212
)1(
c
22
0
0
p
1
1
Рис. 3
c
11
20
pcpcy
2111
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]