Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории игр. Учебное пособие-1
.pdf
Основы теории игр
A
A
C
C
C
любом состоянии рынка. При этом так как
то оптимальный спрос продукции фирмы находится в 33
в состоянии
B и в 67
1
% случаев – в состоянии
1
0
q ,
1
3
B . В состоянии 3B
2
2
0
q ,
2
3
% случаев
0
0
q
3
оптимальный спрос бывает так редко, что вероятность этих случаев
можно считать равной нулю.
Проверь себя. Найти оптимальные стратегии в игре с платеж-
ной матрицей
321
C
.
413
Ответ:
AA
S
A
21
,
5,05,0
S
B
BBB
321
, 5,0v .
3,07,00
§ 8. Доминирующие и доминируемые стратегии
Иногда платежная матрица )(
cC , mi ,1 , nj ,1 , имеет та-
ij
кую структуру, что игра может быть упрощена отбрасыванием ее
некоторых строк (столбцов).
Рассмотрим матричную игру двух игроков:
рок
имеет стратегии
.,,,
BBB
21 n
, а игрок B имеет стратегии
AAA ,,,
21
m
Определение. Будем говорить, что стратегия
над стратегией
A (стратегия kA доминируется стратегией iA ), ес-
k
ли для элементов платежной матрицы
kjij
то есть элементы k-й строки матрицы
выполняются неравенства
,,1, njcc
не превосходят соответст-
и B. Пусть иг-
A доминирует
i
вующих элементов ее i-й строки.
Будем говорить, что стратегия
B (стратегия lB доминируется стратегией jB ), если
l
то есть элементы j-го столбца матрицы
B доминирует над стратегией
j
,,1, micc
ilij
не превосходят соответ-
ствующих элементов ее l-го столбца.
,
31
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
C
C
A
A
A
Утверждение 8.1. Если платежная матрица C имеет домини-
руемые строки (столбцы), то оптимальное решение такой игры совпадает с оптимальным решением игры с платежной матрицей
полученной из матрицы
вычеркиванием доминируемых строк
*
C ,
(столбцов).
Замечание. При вычеркивании доминируемых строк (столб-
цов) размер матрицы
уменьшается. Этот процесс упрощения игры можно продолжать до тех пор, пока не останется доминируемых
стратегий.
Пример 8.1. В платежной матрице
4205
C
3121
6374
вычеркнуть доминируемые строки и столбцы.
Решение. В данной матрице все элементы первой строки
(стратегия
(стратегия
а значит, в матрице
A ) больше соответствующих элементов второй строки
1
A ). Поэтому стратегия 1A доминирует над стратегией 2A ,
2
можно вычеркнуть вторую строку. Получим
C
матрицу
4205
C
.
6374
Так как элементы первого и четвертого столбцов больше соответствующих элементов третьего столбца, то игроку
проиграть как можно меньше, выгоднее использовать стратегию
B и 4B . Поэтому можно вычеркнуть первый и четвертый
чем
1
B , стремящемуся
B
3
столбцы. В итоге получается матрица
C
.
37
20
Замечание. Правило доминирования стратегий можно приме-
нять и в случае смешанных стратегий.
,
32
Основы теории игр
A
A
A
Пример 8.2. Упростить игру двух игроков:
и B – с платеж-
ной матрицей
05
C
30
11
в случае использования игроком
S
A
смешанной стратегии
AAA
1
2
321
1
0
2
для многократной игры с данной матрицей.
Решение. Выигрыш игрока
S в случае, когда игрок B использует стратегии 1B или 2B ,
A
при использовании стратегии
1
0
5
2
1
0
2
2
2
3
1
3
2
2
,1
cpcpc
31212111
.1
cpcpc
32222121
5
1
1
Отсюда видно, что стратегия
1
2
A и 3A можно исключить. Значит, можно вычеркнуть третью
3
строку матрицы
C , тогда платежная матрица примет вид
C
AA доминирует над стратегией
21
2
05
.
30
Утверждение 8.2. Если элементы двух платежных матриц
)(ijcC и )(ijdD , где mi ,1 ,
nj ,1
, связаны соотношениями
,
dc
ijij
где 0 , – произвольные числа, то оптимальные стратегии этих
игр совпадают, а цены игр связаны равенством
.DCvv (8.1)
33
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
D
A
v
p
A
C
Пример 8.3. Рассмотрим две игры типа 32 с платежными
матрицами
531
C
и .
124
D
16104
4713
Требуется найти цены
v и
v этих игр.
C
Решение. Составим таблицу
1
531
1
124
534
Отсюда находим
1}1,1max{ , 3}5,3,4min{ . Так как ,
то седловой точки в данной игре нет.
Будем искать оптимальные смешанные стратегии
BBB
321
0
0
qqq
3
2
игроков
AA
S
A
21
и
00
1 pp
S
B
0
1
и B . Для решения используем графический метод. По-
строим прямые:
21111
21112
21113
ppppcpcyl
ppppcpcyl
ppppcpcyl 41)1(15)1(:
и ломаную
},,min{
lllL (рис. 10).
321
Из рис. 10 видно, что оптимальная точка – это точка пересече-
ния прямых
l и 2l , то есть она определяется из системы
1
,34pypy
.2
Решив систему, получим
0
p ,
1
1
2
1
0
p , 5,2
3434 pv .
2
1
2
34
,34)1(41)1(:
,2)1(23)1(:
Основы теории игр
v
p
A
C
y
5
4
3
2
1
l
3
l
2
l
1
0
0
p
1
Рис. 10
1
Таким образом, оптимальная стратегия игрока
AA
S
Теперь найдем цену игры
1
A
2
D . Заметим, что элементы матриц
и D связаны соотношением 13
21
.
1
2
cd , 2,1i , 3,2,1j . Тогда
ijij
имеет вид
по формуле (8.1) находим цену второй игры:
5,815,23 .
Проверь себя. Упростить платежную матрицу
01321
C
12143
,
63102
12143
34121
исключив доминируемые строки и столбцы.
21
Ответ:
.
31
13CDvv
35
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
A
C
A
A
A
x
A
§ 9. Применение методов линейного программирования
при решении матричных игр
Рассмотрим игру двух лиц с платежной матрицей (матрицей
выигрышей игрока
общности, можем считать, что матрица
тивном случае к элементам матрицы
) )(
cC
, mi ,1 , nj ,1 . Не ограничивая
ij
C положительна. В про-
следует добавить одно и то
же положительное число, применяя утверждение 8.2.
Пусть
AAA
S
A
21
21
m
ppp
m
есть смешанная стратегия игрока
использовании игроком
B чистой стратегии jB составит
. Тогда выигрыш игрока A при
m
pc
i
.
iij
1
Обозначим через v минимальный средний выигрыш игрока
любой чистой стратегии игрока
B , то есть
j
m
i
pcv1min .
iij
Тогда выполняются неравенства
m
i
m
i
iij
1
1
ii
,,1,
njvpc
(9.1)
.,1,0,1
mipp
Введем новые переменные
p
i
x
i
v
mi
,1,
и перепишем неравенства (9.1) в виде
при
36
Основы теории игр
A
x
A
m
i
m
i
iij
1
1
x
v
1
,,1,1
njxc
(9.2)
.,1,0,
mix
ii
Задача игрока
– максимизировать свой выигрыш, то есть
maxv . Введем в рассмотрение функцию
)...,,(
xxx . В силу (9.2)
1 m
m
xxF1)( , где
i
i
v
.
)(1xF
Следовательно, функцию
)(
F надо минимизировать. Таким обра-
зом, приходим к следующей задаче линейного программирования:
найти минимум функции
m
min)(
xxF (9.3)
i
1
i
при следующих ограничениях:
m
iij
i
1
i
Разберем теперь игру игрока
обеспечит ему средний проигрыш, не больший
той стратегии игрока
, то есть
,,1,1
njxc
(9.4)
.,1,0
mix
B . Его смешанная стратегия
, при любой чис-
v
n
j
j
jij
1
n
1
jj
,,1,
mivqc
(9.5)
.,1,0,1
njqq
Вводя новые переменные
q
j
y
j
v
,,1, nj
37
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
C
преобразуем систему (9.5) к виду
n
j
j
jij
1
n
1
j
1
n
Рассмотрим функцию
j
,,1,1
miyc
j
yyG1)( , где )...,,(
j
(9.6)
.,1,0,
njyy
yyy . В силу (9.6)
1 n
v
.
)(1yG
Так как для игрока
B его проигрыш minv , то приходим к сле-
дующей задаче линейного программирования:
найти максимум функции
n
j
yyG
max)( (9.7)
j
1
при следующих ограничениях:
n
jij
j
1
j
,,1,1
miyc
(9.8)
.,1,0
njy
Из курса линейного программирования известно (см. также
[7]), что задачи (9.3)–(9.4) и (9.7)–(9.8) представляют собой пару
двойственных задач и эти задачи имеют оптимальные решения
0
201
00
и
,,,
xxxx
m
0
0
2
1
00
.
,,,
yyyy
n
Таким образом, приходим к результату, представленному
в теореме 9.1.
Теорема 9.1. Решение матричной игры с положительной мат-
рицей выигрышей
)(ijcC , mi ,1 , nj ,1 , равносильно решению
двойственных задач линейного программирования (9.3)–(9.4),
(9.7)–(9.8). При этом цена игры
удовлетворяет равенству
38
Основы теории игр
C
v
1
1
,
00
yGxF
)(
)(
а оптимальные вероятности
0
2
1
00
определяются формулами
,,,
qqq
n
0
x
0
i
,
p
i
0
)(
xF
0
0
q
.
j
0
2
1
0
y
j
0
)(
yG
00
и
,,,
pppp
m
0
q
Алгоритм решения матричной игры с помощью решения
двойственных задач линейного программирования следующий:
1. Ко всем элементам платежной матрицы
и то же положительное число
так, чтобы все ее элементы стали
прибавим одно
положительными.
2. Составим пару двойственных задач линейного программи-
0
рования (9.3)–(9.4) и (9.7)–(9.8) и найдем их решения
0
,
x
i
y . В ка-
j
честве контроля правильности решения задач можно использовать
равенство
00
.)()(
yGxF
3. Построим оптимальные смешанные стратегии игроков:
0
,
p
i
0
x
i
xF
0
q
0
j
)(
0
y
j
, mi ,1 , nj ,1 . (9.9)
0
)(
yG
4. Вычислим цену игры:
1
v (9.10)
)(
1
.
00
)(
yGxF
Пример 9.1. Решить матричную игру из примера 7.1 методами
линейного программирования с матрицей выигрышей
421
D
.
113
39
С. И. Прокофьева, Э. Е. Пак, Е. К. Ершов
Решение. В примере 7.1 были получены: 1 , 2. Прибавим число
ко всем элементам матрицы
2
D и рассмотрим
матрицу
643
C
.
135
Будем искать решение в смешанных стратегиях. Составим
прямую и двойственную задачи линейного программирования.
Прямая задача имеет вид
xxxF
21
.min)(
xx
xx
,153
21
xx
,134
21
,16
21
xx
.0,0
21
Двойственная задача имеет вид
(9.11)
yyyyG
321
.max)(
,1643
yyy
321
,135
yyy
321
(9.12)
.0,0,0
yyy
321
Далее решим одну из этих задач симплекс-методом. Так как
в двойственной задаче меньше ограничений, чем в прямой задаче,
то с вычислительной точки зрения выгодно решать именно двойственную задачу. Решив двойственную задачу (9.11)–(9.12), мы найдем оптимальную стратегию игрока
B .
Для применения симплекс-метода необходимо задачу
(9.11)–(9.12) преобразовать в каноническую форму. Для этого вве-
y ,
дем две дополнительные неотрицательные переменные
4
y и за-
5
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]