Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г. Э. ЯХЪЯЕВА
ОСНОВЫ ЛОГИКИ
ДЛЯ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКОВ
ЯЗЫКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ЗНАНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2023
1
УДК 004.434:004.82(075.8)
Я919
Рецензенты
д-р физ.-мат. наук, академик РИА Д. Е. Пальчунов
канд. экон. наук, доцент И. В. Асланова
Работа подготовлена кафедрой экономической информатики
для студентов, обучающихся по направлению 38.03.05
«Бизнес-информатика»
Яхъяева Г. Э.
Я919 Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представ-
ления знаний: учебное пособие / Г. Э. Яхъяева. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2023. – 75 с.
ISBN 978-5-7782-5112-0
Учебное пособие составлено на основе курса лекций, который читается автором для студентов II курса факультета бизнеса Новосибирского государственного технического университета. В нем систематически изложены основы теории множеств, логики высказываний и логики предикатов. Пособие состоит из трех глав, в конце каждой приводится набор заданий, выполнение которых направлено на
теоретического материала.
закрепление
УДК 004.434:004.82(075.8
ISBN 978-5-7782-5112-0 © Яхъяева Г. Э., 2023
© Новосибирский государственный
технический университет, 2023
2
x
A
Глава 1. МНОЖЕСТВА
1.1. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В современной математике понятие множества является ключевым:
без него невозможно изложение ни одного из ее разделов. Подсознательно первичные представления о множестве у человека начинают
формироваться с рождения. С первых же шагов мы не просто пополняем
список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем их различать
и классифицировать (
объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности.
Под множеством понимают определенную совокупность объектов,
хорошо различаемых нашей интуицией. В дальнейшем множества будем обозначать прописными латинскими буквами:
екты, из которых состоит множество, будем называть элементами множества и обозначать малыми буквами латинского алфавита. Если элемент
принадлежит множеству
,xA
в противном случае будем использовать запись
ляется стилизацией первой буквы греческого слова
В математике и в программировании чаще всего приходится иметь
дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Дадим определения основных числовых
множеств.
горячие и холодные, сладкие и горькие и т. п.),
, , .ABC
,
то будем использовать запись
.xA
(есть, быть).
Знак
Объ-
яв-
Определение 1. Множество чисел, используемых для подсчета ко-
личества предметов или для указания порядкового номера того или
иного предмета среди однородных, называется множеством натуральных чисел. Обозначается множество натуральных чисел буквой
, т. е.
{0, 1, 2, 3, }.
3
Заметим, что количество элементов может быть равно нулю (напри-
мер, сумка пустая, в ней лежит нуль яблок), поэтому число 0 также будем считать натуральным.
Приведенное выше определение натуральных чисел не является
строго математическим (его можно назвать интуитивным или описательным). Для строго математического определения используется по-
шаговая (рекурсивная) процедура. Такая процедура
описывает способ
описания новых элементов множества из ранее уже описанных. Элементами множества будут все объекты, которые могут быть построены
с помощью такой процедуры. Множество
натуральных чисел может
быть описано таким способом:
0;
1)
2)
если , то 1.xx
Определение 2. Множеством целых чисел называется множество
{ | , },xx nn
т. е. целыми числами являются как натуральные числа
противоположные им числа
1, 2,
.
0, 1, 2,
, так и
Определение 3. Множеством рациональных чисел называется множество дробей
Заметим, что если дробь вида
m
| , , , 0 .
xx m n n
n
m
переводить в десятичную дробь,
n
то мы получим либо конечную десятичную дробь
например,
1
0, 25 ,
4
1
0,333 0, (3) .
3
либо периодическую десятичную дробь
например,
Определение 4. Множество чисел, которые представляются бес-
конечными, но непериодическими десятичными дробями, называется
множеством иррациональных чисел и обозначается буквой
4
.
Например, число
A
A
x
B
A
2 1, 41421356237
или число
3,141592653
являются иррациональными числами.
Определение 5. Рациональные и иррациональные числа вместе об-
разуют множество действительных (или вещественных) чисел и обозначаются буквой
В математике также определяется множество комплексных чисел
(обозначается буквой
числа, но рассмотрение комплексных чисел мы оставим за рамками
настоящего курса.
Два множества называются равными, если они состоят из одних
и тех же элементов, т. е. если каждый объект, являющийся элементом
одного из множеств, является элементом и другого множества. Дадим
строгое математическое
.
), которое включает в себя все действительные
1.2. РАВНЫЕ МНОЖЕСТВА
определение понятия равных множеств.
Определение 6. Два множества
значается
Например, множества
ными, так как в множестве
при перечислении элементов множества, что несущественно для определения самого множества.
Часто приходится рассматривать множества, состоящие лишь из одного элемента. При этом множество
элемента
ности,
живает один в доме 35 на ул. Мира. Через A обозначим множество, описывающее членов семьи Ивана Ивановича, а через B – множество семейств, проживающих в доме 35 на ул. Мира. Очевидно, что
{} {}aa
Рассмотрим следующий пример. Мы знаем, что Иван Иванович про-
B ), если для любого объекта 𝑥выполняется условие
.
AxB
{1, 2 , 3}A
элемент 1 только упоминается дважды
и сам объект a считаются различными объектами. В част-
,a
.
и B являются равными (обо-
и
{}a
5
{3, 1, 2, 1}B
, состоящее из единственного
являются рав-
B , так
как они описывают различные объекты. Если Ивана Ивановича обозначить буквой a, то мы получим
Утверждение 1. Для любых множеств
{}Aa
и
.
{}Ba
, ,ABC
выполняются следу-
ющие свойства:
а)
AA
(рефлексивность);
б)
в)
AB BA
( и )AB BC AC
(симметричность);
(транзитивность).
1.3. ПОДМНОЖЕСТВО
Определение 7. Множество A называется подмножеством мно-
жества B (обозначается
элементом B. Если
подмножеством множества 𝐵 (обозначается
AB ), если каждый элемент из A является
AB
и
AB
, то 𝐴 называется собственным
AB
).
Например, множество натуральных чисел является собственным
подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел,
которое, в свою очередь, ‒ подмножество множества действительных
чисел. Это можно записать следующим образом:
Из определений также следует, что
. Однако множество рацио-
нальных чисел не является подмножеством иррациональных чисел, что
можно записать следующим образом:
.
.
Утверждение 2. Множества
Рис. 1.
A
и B равны, если
AB
6
AB
и
BA
.
Для геометрического изображения множеств принято использовать
A
A
A
A
A
диаграммы Венна. На такой диаграмме каждое множество обозначается
кругом (или какой-нибудь другой замкнутой фигурой). Точки, лежащие
внутри круга, условно рассматриваются как элементы соответствующего множества. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать
определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Например, на рис. 1 показано, как будет выглядеть
включение
B
.
на диаграмме Венна
1.4. ДИАГРАММЫ ВЕННА.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Над множествами можно совершать различные операции, которые называют теоретико-множественными операциями. В результате
выполнения операции мы получаем новое множество. Опишем основные операции, производимые над множествами, и проиллюстрируем их
с помощью диаграмм Венна.
Определение 8. Объединением множеств A и B (обозначается
B ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, кото-
рые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B (см. рис. 2, а), т. е.
{ | или }.
BxxA xB
а б в
Рис. 2. Операции над множествами:
a ‒ объединение; б ‒ пересечение; в ‒ разность
Определение 9. Пересечением множеств A и B (обозначается
B ) называется множество, состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат и A, и B одновременно (см. рис. 2, б),
т. е.
{ | и }.
BxxAxB
7
Для множеств, определенных выше, в множество
E
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
дить люди, говорящие как на английском, так и на французском языке.
F будут вхо-
Определение 10. Разностью множеств
) называется множество, состоящее из всех тех элементов, ко-
\AB
торые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B
(см. рис. 2, в), т. е.
\ { | и }.
BxxAxB
Множество
говорящие на английском языке и не говорящие по-французски.
Утверждение 3. Для любых множеств
ющие включения:
1)
2)
3)
Доказательство. Докажем только п. 1. Другие пункты доказываются аналогично, оставляем их читателю для самостоятельной работы.
Следуя определению включения, нам нужно показать, что любой
элемент множества A является элементом множества
aA
тельно, по определению объединения получим
Утверждение 4. Для любых множеств
ющие равенства:
1)
2)
3)
ABBAB
BAABB
\.
BA
, тогда справедливо утверждение «
() ()
() ()
() ()()
4)
() ()()
\EF (из нашего примера) будут образовывать люди,
,;
,;
,
AAA AA
BB AA BB A
,
BCABC
BCABC
BCAC BC
BCAC BC
и B (обозначается
,,ABC
справедливы следу-
B . Пусть
или aA aB
aAB
, ,
BC
справедливы следу-
(идемпотентность);
(коммутативность);
(ассоциативность);
(дистрибутивность)
». Следова-
.
Доказательство равенств множеств может выполняться двумя ме-
тодами: геометрическим и алгебраическим.
8
Геометрический метод заключается в построении диаграмм Венна
A
A
для правой и левой части равенства и их сопоставлении. Продемонстрируем этот метод, доказав первое свойство дистрибутивности.
Левая часть равенства представлена на рис. 3, правая – на рис. 4.
Из диаграмм очевидно равенство левой и правой части иллюстрируемого соотношения.
Геометрический метод хорошо применять при малом количестве
начальных множеств (в нашем примере их три:
, ,ABC
). Однако гео-
из-
метрический метод становится менее удобным и наглядным при увеличении числа множеств. Тогда предпочтительным становится алгебраический метод доказательства.
()
BC
Рис. 3. Этапы построения множества
()()
Рис. 4. Этапы построения множества
9
CBC
Алгебраический метод доказательства основан на использовании
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
одного из определений равенства множеств. Допустим, нам надо доказать, что
произвольного элемента
доказывается, что если
доказав второе свойство дистрибутивности.
три случая:
Тогда независимо от того, принадлежит
жем утверждать, что
этих множеств.
а значит, и пересечению этих множеств.
ждение
имеем
XY . Согласно определению сначала доказывается, что для
a
из того, что
, то
aX
Итак, нам надо доказать, что
()
AB C
1)
2)
3)
В первом и втором случае из
В третьем случае из
Таким образом, разобрав всевозможные случаи, мы доказали, что
Теперь докажем, что из утверждения
Пусть
. Тогда согласно определению объединения мы имеем
,;
ABxC
,;
ABxC
,
ABxC
()()
AC BC
()
AB C
.
AC
() ()()
BC AC BC
() ()()
и
C сразу вытекает, что xAC
.
. Тогда по определению объединения мы
. Проиллюстрируем этот метод,
aY
BCAC BC
AB
BC
, следует
aX
следует, что
множеству C или нет, мы мо-
, а значит, и пересечению
.
()
AB C
. А затем
aY
. Пусть
и
A
BC,
и
следует утвер-
B
.
AB
Из
ному из множеств A и B. Таким образом, мы имеем три случая:
1)
2)
3)
AB
Ax Bx C
Ax Bx C
Ax Bx C
следует, что 𝑥 не принадлежит, по крайней мере, од-
,,;
,,;
,,.
10
и
C
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]