Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
УПРАЖНЕНИЯ
A
1. Какие из следующих предложений являются высказываниями?
Какие из этих высказываний истинны, а какие – ложны?
а) В каждом январе 31 день;
б) В каждом феврале 28 дней;
в) В неделе семь дней;
г) Когда заканчиваются летние каникулы;
д) Каир – столица Египта;
е) Какая красота;
ж) Слово «дерево» является глаголом
;
з) Сумма пяти и восемнадцати;
и) Трижды восемь – двадцать восемь;
к) Треугольник
‒ прямоугольный или остроугольный;
BC
л) Высказывание А истинно или ложно.
2. Определить значение истинности следующих высказываний:
а) Париж расположен на Сене или на Волге;
б) три больше или равно пяти;
в) в слове «логика» три гласные буквы и четыре согласные буквы;
г) неверно, что Новосибирск – столица России;
неверно, что либо Рим, либо Париж – столица Испании;
д)
е) неверно, что слово «треугольник» состоит из одиннадцати букв
и слово «квадрат» состоит из восьми букв.
3. Определить значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, первые два из которых истинны, а последние
два ‒ ложны:
а) «если
4 ‒ четное число, то А»;
б) «если В, то 4 ‒ нечетное число»;
в) «если 4 ‒ четное число, то С»;
г) «если D, то 4 ‒ нечетное число».
4. Определить значения истинности высказываний А, В, С, D в сле-
дующих предложениях, первые два из которых истинны, а последние
два ‒ ложиы:
а)
б)
(2 3);A
(2 3);B
в)
г)
(2 3);C
(2 3).D
41
5. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а че-
A
R
рез В ‒ высказывание «8 делится на 3». Определить значение истинности следующих высказываний:
;AB
а)
б)
в)
г)
д)
е)
6. Для каких из следующих высказываний их логическое значение
не зависит от логического значения высказывания А:
а)
б)
в)
г)
д)
0;
е)
7. Составить таблицы истинности для следующих формул и указать,
какие из них являются выполнимыми, какие – опровержимыми, какие –
тождественно истинными, какие – тождественно ложными:
()( )PQ P Q P
а)
()PQ P Q
б)
в)
(& ) ( )PQQ PQ
г)
д)
;BA
;AB
;BA
;AB
;AB
& 0;A
1;A
;AA
;AA
0;A
;
&( ) & ( )PQ P QPQ
& &( ) PQ P Q
;
ж)
з)
и)
к)
л)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
;
;
;
;BA
;AB
;AB
;AB
.AB
;AA
&1 ;A
;AA
;AA
1;A
?AA
()PQ Q Q Q;
е)
()&()PQQRQ
ж)
з)
&( ) ( ) ( )PQR R PQ Q RP ;
и)
()()()PQ PR QR P;
к)
() & ()PQQ PQ
л)
PQR PQ ;
;
()( )
.
42
8. Буквами Х и
«Число
четно» и «Число n делится на 3».
n
Y
обозначены соответственно предложения
а) формализовать предложение Р: «Неверно, что число n нечетно
и не делится на 3»;
б) сформулировать условия, при которых предложение Р истинно;
в) выразить мысль, заключенную в предложении Р, в более простой
форме.
9. Выполнить задания из предыдущего упражнения для предложе-
ния Q: «Неверно, что число
нечетно или не делится на 3».
n
10. Установить, какие из следующих предложений тождественно ис-
тинны:
если Петр здоров, то он здоров и счастлив;
а)
б)
если Николай здоров, то он здоров или счастлив;
в)
неверно, что число n делится на 2 и на 3 тогда и только тогда, ко-
гда оно не делится ни на 2, ни на 3;
г)
Неверно, что 11 апреля 1977 года было тепло и не было осадков
тогда и только тогда, когда было холодно или были осадки;
неверно, что число n ‒ простое или четное тогда и только тогда,
д)
когда это число ‒ не простое и не четное.
11. Найдется ли такой день недели, когда:
а) утверждение «Если сегодня понедельник, то завтра пятница» ис-
тинно;
б) утверждение «Если сегодня понедельник, то завтра вторник»
ложно?
12. На столе лежат четыре карточки:
, , 4 , 5AB
. На каждой кар-
точке с одной стороны написана буква, а с другой ‒ число. Какие карточки нужно перевернуть, чтобы доказать или опровергнуть утверждение: «Если на одной стороне карточки гласная, то на обороте ‒ четное
число»?
13. Администрация небольшого завода спешно дала в связи с неожи-
данным приходом инспектора следующую директиву по службе безопасности, в соответствии с которой должно выполняться, по меньшей
мере, одно из следующих правил:
а) инспектору не разрешается курить на заводе;
43
б) если инспектору разрешается курить на заводе, то рабочие
должны быть предупреждены об этом и бригадир должен принять меры
к быстрому уничтожению окурков;
в) рабочие должны быть предупреждены или бригадир должен при-
нять меры к быстрому уничтожению окурков;
г) или рабочие должны быть предупреждены и бригадир должен
принять меры к быстрому
уничтожению окурков, или инспектору не
разрешается курить на заводе.
Как можно упростить эти правила?
14. Администрация морского порта издала следующие распоряже-
ния:
а) если капитан корабля получает специальное указание, он должен
покинуть порт на своем корабле;
б) если капитан не получает специального указания, он не должен
покидать порта или впредь лишается возможности захода в этот порт;
в) капитан или лишается впредь возможности захода в этот
порт, или
не получает специального указания.
Как можно упростить эту систему распоряжений?
15. Командир осажденной крепости послал следующие три сообще-
ния:
а) если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет угро-
жать смерть от голода;
б) если нам не удастся получить продовольствие, то или нам будет
угрожать смерть от голода, или мы попытаемся прорвать кольцо окру-
жения;
в) если нам будет угрожать
смерть от голода, то мы попытаемся про-
рвать кольцо окружения.
Показать, как можно сократить эти сообщения, не меняя их
смысла.
16. На факультативном занятии по математической логике учитель
сообщил ученикам 8-го класса, собирающимся в туристический поход
по родному краю, следующие сведения о готовящемся походе:
а) будут приобретены новые палатки, новые рюкзаки, и 8-й класс
пойдет в поход;
б) палатки и рюкзаки приобретаться не будут, и 8-й класс в поход не
пойдет;
44
в) Будут приобретены новые палатки, рюкзаки приобретаться не бу-
дут, 8-й класс пойдет в поход;
г) неверно, что либо будут приобретены новые палатки, либо не бу-
дут приобретены новые рюкзаки, либо 8-й класс пойдет в поход.
Отметив, что, по крайней мере, одно из четырех сообщений абсо-
лютно верно, учитель попросил учеников
наилучшим образом упростить всю полученную информацию и представить ее в виде одного
простого условия.
17. По данному набору значений переменных постройте элементар-
ную конъюнкцию, принимающую значение 1 только на этом наборе значений переменных:
(0, 0);
а)
(0, 0, 1);
б)
(1, 0, 1);
в)
(1, 1, 1, 0);
г)
(1, 0, 0, 1);
д)
(1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0).
е)
18. Используя СДН-форму, найдите формулу, принимающую значе-
ние 1 на следующих наборах значений переменных, и только на них:
(0, 0) (1, 1 ) 1 FF
а)
(1, 0) 1;F
б)
(0, 1, 0) (1, 0, 1 ) (1, 1, 1) 1; FF F
в)
(0, 1, 1) (1, 1 , 0) 1;FF
г)
(1, 1, 0, 0) ( 0, 0, 1, 1 ) 1 .FF
д)
;
19. Построить формулу от трех переменных, которая:
всегда принимает то же значение, что и ее второй аргумент;
а)
принимает такое же значение, как и большинство ее аргументов;
б)
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда точно два ее ар-
в)
гумента принимают значение 0;
принимает такое же значение, как и меньшинство ее аргументов;
г)
д)
принимает значение 0 тогда и только тогда, когда, по крайней
мере, один из первого и третьего аргумента принимает значение 0;
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда большинство ее
е)
аргументов принимает значение 0;
45
ж) принимает значение 0 тогда и только тогда, когда большинство ее
аргументов принимает значение 1;
з)
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда принимают зна-
чение 1 первый аргумент и один и только один из двух оставшихся;
и)
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда из первых двух
ее аргументов принимает значение 1 ровно один;
к)
принимает значение 0 тогда и только тогда, кога два ее последних
аргумента принимают различные значения;
л)
принимает значение 1 тогда и только тогда, когда либо первый ее
аргумент равен 1, либо все аргументы равны 0.
20. Родители сказали детям: «Если мы поедем в дом отдыха, то вы
поедете в лагерь». В школе детей спросили, куда они поедут летом.
«Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха», ‒ ответил Петя. Галя сказала: «Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то
мы
не поедем в лагерь». «Нет, не так, ‒ вмешался Коля. ‒ Если мы не
поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха». Чей ответ рав-
носилен тому, что сказали родители? Кто из детей сказал разными словами одно и то же?
21. Сформулировать предложения, обратные, противоположные
и обратно противоположные данным. Какие из полученных предложений истинны:
а)
если выполняешь все домашние задания, то учишься на «от-
лично»;
б)
если человек ведет здоровый образ жизни, то он не пьет и не ку-
рит;
если выучить английский и немецкий язык, то можно свободно
в)
общаться с любым иностранцем?
22. Проанализировать следующий текст:
«Разные вещества требуют для нагревания до одинаковой температуры разные количества теплоты; ... разные вещества от получения
одинаковых количеств теплоты нагреваются до разных температур».
Что уместно вставить вместо многоточия: «обратно» или «иначе говоря»?
23. Прочесть внимательно следующий текст. Какое слово пропу-
щено?
«Рано или поздно человек находит пути к искусственному повторению всего, что когда-нибудь и где-нибудь создала природа и, ……,
46
явления, которые не в силах воспроизвести человек, относятся к прин-
R
ципиально невыполнимым и в природе».
24. Для следующих формул выяснить, будет ли какая-либо из них
логическим следствием другой:
(),PQ RPQR
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
25. Выяснить, выполняются ли следующие логические следования:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
(),()PQRPQR
(),( & )
QPPQR
(&),(&)PQRPQR
(),()PR QPQ R
(),()PQ RQPQ R
()(),()PQ QRP QR
,( )PQPRQ
(&) ,( )PQ RP Q R
()(),()PQ PRPQ R
(&) ,( )PQ RPQ R
(&) , ( )PQ RP Q R
, , & & ;PQRSPRQS
, , ;PQRSP R Q S
, , & & ;PQRSQ S P Q
()(& ), & ;PQ RSPRS
()(& ), & ;PQ RS R P Q
()(& ), & ;PQ RS RP Q
( ) ( ), & & ;PQ R S P QR S
, , ;PQRSPSQR
, , & ;PQRSPRQS
()(& ), () . PQ RS S K LP L
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
26. Выясните, выполняются ли следующие логические следования:
а) если я пойду завтра на первую пару, то должен буду рано встать,
а если я пойду вечером на дискотеку, то лягу спать поздно. Если я лягу
47
спать поздно и встану рано, то буду вынужден довольствоваться пятью
часами сна. Следует ли отсюда, что я должен или пропустить завтра
первую пару, или не ходить вечером на дискотеку?
б) если будет холодно, то я надену теплое пальто, если рукав будет
починен. Завтра будет холодно, а рукав не будет починен. Следует
ли
отсюда, что я не надену теплого пальто?
в) Андрей или очень переутомился, или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следует ли отсюда, что
он не болен?
г) или Анна и Антон одного возраста, или Анна старше Антона.
Если Анна и Антон одного возраста, то
Наташа и Антон не одного возраста. Если Анна старше Антона, то Антон старше Николая. Следует ли
отсюда, что либо Наташа и Антон не одного возраста, либо Антон
старше Николая?
27. Найти все следствия из предоставленных посылок.
а)
Я пойду или в кино на новую кинокомедию, или на лекцию по
логике. Если я пойду в кино на новую кинокомедию, то я от всей души
посмеюсь. Если же я пойду на лекцию по логике, то испытаю большое
удовольствие от полученных знаний. Следовательно …
Полиция задержала четырех гангстеров, подозреваемых в краже
б)
автомобиля: Анри, Луи, Жоржа и Тома. При допросе они дали следующие показания. Анри: «Это был Луи». Луи: «Это сделал Том». Жорж:
«Это не я». Том: «Луи лжет, говоря, что это я». Дополнительное расследование показало, что правду сказал только одни из них.
Кто украл ма-
шину?
При составлении расписания на понедельник были высказаны по-
в)
желания, чтобы математика была первым или вторым уроком, физика ‒
первым или третьим, литература ‒ вторым или третьим. Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?
Обвиняемые А, В и Сдали следующие показания. А: «B виновен,
г)
а С не виновен»; В: «А не виновен или С виновен»; С: «Я не виновен, но
хотя бы один из А и В виновен». Совместимы ли эти показания, т. е.
могут ли они быть верны одновременно? Предполагая, что все показания правдивы, определите, кто виновен.
28. Упростите следующую, инструкцию: «Подчеркивайте числа, ко-
торые одновременно кратны трем, оканчиваются нулем и имеют сумму
48
цифр, большую 37. Подчеркивайте также те числа, которые не делятся
на 3, оканчиваются нулем и имеют сумму цифр, не превосходящую 37.
Кроме того, подчеркивайте числа, которые оканчиваются нулем, делятся на 3 и сумма цифр которых не более 37, а также числа, оканчивающиеся нулем, с суммой цифр, большей 37, и не кратные трем. И нако-
, подчеркивайте числа, кратные трем, не оканчивающиеся нулем и
нец
имеющие сумму цифр, превосходящую 37».
49
Глава 3. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
3.1. ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ
Средствами логики высказываний удается описать и анализировать
далеко не все рассуждения. Например, на языке логики высказываний
мы не можем объяснить тот факт, что из предложения «По меньшей
мере, один ученик решил все задачи» следует предложение «Каждую за-
дачу решил, по меньшей мере, один ученик». Эти рассуждения, как
и многое другое, могут
торая является расширением логики высказываний, т. е. вместе со всеми
понятиями логики высказываний содержит ряд других понятий.
Рассмотрим предложение «Город x является столицей». Это пред-
ложение не является высказыванием, так как оно не может быть ни истинным, ни ложным. Однако всякий раз
менной x некоторого конкретного города мы будем получать либо ложное, либо истинное высказывание.
Рассмотрим другой пример. В предложении «Расстояние между го-
родом x и городом y – 2 тыс. км» содержится две переменные: x и y. Это
предложение превратится в высказывание, если вместо обеих переменных мы
подставим названия некоторых конкретных городов.
быть описаны на языке логики предикатов, ко-
при подстановке вместо пере-
Определение 23. Повествовательное предложение, содержащее
конечное число переменных и принимающее значения «истина» или
«ложь» в зависимости от значений этих переменных, называется предикатом.
Предикаты будем обозначать заглавными латинскими буквами,
например
Px Qx y Rx x
1
, где в скобках указываются пере-
n
(), (, ), ( , , )
менные, которые встречаются в данных предикатах. По количеству
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]