Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
В первом и третьем случае из
x
x
x
A
x
x
A
A
A
A
а значит, 𝑥 не принадлежит и пересечению
ром случае получаем, что
BC
()()
AC BC
и
A
получим, что
C
()()
CBC
и, следовательно,
.
AC
. Во вто-
Таким образом, разобрав всевозможные случаи, мы доказали, что
()()().
CBCABC
Теперь, используя определение равенства множеств, мы можем
()()()
утверждать, что
CBCABC
.
Доказательство остальных свойств данного утверждения мы оставляем читателю для самостоятельной работы.
1.5. ПУСТОЕ И УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО.
ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством. Существует только одно пустое множество, которое обо-
значается символом
. Отметим, что множество
своего элемента пустое множество и поэтому не пусто, т. е.
{}
имеет в качестве
{}
.
Утверждение 5. Пустое множество является подмножеством лю-
бого множества A, т. е.
.
,
Доказательство этого утверждения следует из определения понятия подмножества, т. е. в пустом множестве нет элементов, которые не
принадлежат множеству 𝐴.
Утверждение 6. Для любого множества A справедливы следующие
равенства:
;
A
а)
б)
в)
\.AA
;A
Выполняя те или иные операции над множествами, мы обычно подразумеваем, что объекты, образующие все эти множества, обладают
11
хотя бы одним общим признаком. Например, в некоторой задаче мы мо-
A
A
A
жем объединять множество стульев для офиса и стульев из красного дерева, но трудно себе представить задачу, в которой нужно было бы объединять или пересекать множество стульев с множеством чисел. Выделение общего свойства (или нескольких свойств) для всех
емых нами объектов и задает универсальное множество, т. е. такое мно-
жество, что все рассматриваемые множества в задачах данного типа являются его подмножествами. При выборе универсального множества
нужно быть очень осторожным, так как наложение на него жестких
условий может привести к решению частных случаев той или иной задачи. Можно, конечно, поступить иначе, объявив универсальным множеством множество всех реально существующих объектов. Однако как
показывает практика, слишком много свободы – это тоже плохо.
Далее универсальное множество будем обозначать буквой U. Дадим
определение еще для одной теоретико-множественной операции.
Определение 11. Дополнением (до U) множества A (обозначается
ством A, т. е.
ется прямоугольником, внутри которого располагаются все остальные
множества. Тогда множество точек внутри этого прямоугольника, но
вне круга, обозначающего множество A, и будет обозначать множе-
ство
) называется разность универсального множества с множе-
\{ | }
UA xxA
На диаграммах Венна универсальное множество обычно обознача-
(рис. 5).
.
рассматрива-
Рис. 5. Дополнение множества
12
Использованием диаграмм Венна тривиально доказываются свой-
A
A
A
A
A
A
ства следующего утверждения.
Утверждение 7. Для любого множества A имеем:
;
а)
б)
в)
г)
UU
UA
;
;AAU
;AA
д)
Свойства, входящие в следующее утверждения, носят название законы де Моргана, доказательство которых мы также оставляем читателю.
Утверждение 8. Для любых множеств A и B справедливы следующие утверждения:
Ранее нами рассмотрено несколько различных методов доказательства тех или иных утверждений. Здесь мы разберем еще один метод –
метод доказательства от противного. Существенное отличие этого
метода в его универсальности, т. е. доказывать от противного можно не
только утверждения, касающиеся множеств, но и всевозможные утверждения как дискретной, так и непрерывной
Допустим, нам надо доказать, что при выполнении условия P будет выполняться условие
полагаем, что условие
и в ходе рассуждений приходим к некоторому противоречию, которое
и завершает доказательство.
Докажем при помощи этого метода следующее утверждение.
Утверждение 9. Для любых множеств A и B справедливо
.AA
BABABAB
Q
P выполняется, а условие
,
(обозначается
.
математики.
PQ
). Тогда мы пред-
Q
не выполняется,
BBA
Доказательство. Допустим,
то каждый элемент множества A является элементом множества B.
13
.
BA
B
и
. Тогда если
B
,
С другой стороны, если
x
x
x
x
x
x
x
BA
, то найдется такой элемент 𝑥, что
B
,
но
xB B
ство
деле, независимо, от того, в каком порядке
саны элементы, они будут образовывать одно и то же множество. Что
же тогда является упорядоченной парой?
доченными парами (обозначается
первой координатой пары
пары
деления упорядоченной пары.
жеств, достаточно найти хотя бы один элемент, который принадлежит
одному множеству и не принадлежит другому. В качестве такого элемента можно выбрать элемент a, так как из определения непосред-
ственно вытекает, что
A
. Из того, что
Итак, мы имеем два утверждения:
, а это противоречит определению пустого множества.
1.6. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пусть нам даны два объекта a и b
,ab
принято также называть неупорядоченной парой. В самом
Определение 12. Множества вида
.
, ab
Следующие утверждения показывают правомерность такого опре-
Утверждение 10.
Доказательство. Для того чтобы доказать неравенство двух мно-
A
, следует
элемент b – второй координатой
, ,ab
, , приab baab
и
, aab
A
()ab
, ).ab
, aba
, а значит,
B
. Двухэлементное множе-
,{ , }aab
Элемент a называется
.
.
.
B
и
B
. Следовательно,
,ab
или
,ba
будут запи-
называются упоря-
Утверждение 11.
Доказательство. Пусть
Мы имеем два варианта равенства элементов:
1)
2)
,{, } {, };acab cd
{, },{, } .acd abc
, , , ab cd a cb d
,, ab cd
14
, т. е.
.
,{ , } ,{ , }aab ccd
.
В первом случае из равенства a = c вытекает равенство
A
ром случае, если
(например, никакой трактор не может быть деталью собственного дви-
гателя). Таким образом, справедлив только первый случай.
Пусть теперь
упорядоченных пар. Из равенства элементов следует равенство мно-
жеств
,,ab cd
{, }acd
ac
и
. Тогда мы получим равенство множеств
{, ,}cd d c
, то
. Докажем равенство соответствующих
bd
, а этого быть не может
bd
. Во вто-
,{ , } ,{ , }aab ccd
Определение 13. Прямым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, первые координаты
которых принадлежат множеству A, а вторые – множеству B, т. е.
, | , AB aba AbB .
Например, пусть
1,1 , 1, 2 , 1, 3 , 3,1 , 3, 2 , 3, 3 , 4,1 , 4, 2 , 4, 3AB .
Если элементы множества A изобразить точками на оси OX, а элементы множества 𝐵 – на оси OY декартовой системы координат, то множество
(рис. 6). Поэтому прямое произведение часто также называют декартовым произведением множеств.
будет образовано соответствующими точками плоскости
B
1, 3 , 4A
и
1, 2 , 3B
.
. Тогда
Рис. 6. Прямое произведение множеств
15
Рассмотрим теперь множество
B
A
A
B
A
A
A
A
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1,1 ,1, 3, 1, 4, 2,1 , 2, 3 , 2, 4 , 3,1 , 3, 3 , 3, 4 .BA
A :
Легко заметить, что в данном случае
мент
принадлежит множеству
4,1
BBA
B
и не принадлежит множеству
.
Так, эле-
A . Таким образом, прямое произведение множеств не является ком-
мутативной операцией. Результатом прямого произведения двух мно-
жеств будет множество элементов, отличных от исходных, поэтому
свойство идемпотентности также выполняться не будет, т. е.
AA.
Однако операция прямого произведения дистрибутивна относительно
объединения, пересечения и разности множеств.
Утверждение 12. Для любых множеств A, B, C имеет место:
()()();
а)
б)
в)
BC AB AC
()()();
BC AB AC
(\)( )\( ).
BC A B AC
Доказательство. Докажем только первое свойство, оставляя дока-
зательство двух других читателю.
()
Пусть элемент 𝑥 принадлежит множеству
представляет собой упорядоченную пару
и
2
BC
сечения,
,xxx A B
12
. Из того, что
и
B
2
2
. Аналогично
BC
2
. Из того, что
C
()()
AB AC
следует, по определению пере-
,
, следовательно,
AC
,xx
12
1
.
BC
такую, что
и
A
2
, тогда 𝑥
1
следует
,xB
A
()()
Пусть теперь
имеем
что
12
лучим
,xxx AB
12
,xAx B
BC
2
AB AC
или
или
. Тогда по определению объединения, по-
C
2
и, следовательно,
,()
xx A B C
12
. По определению объединения
,xxx AC
12
. Из этого вытекает,
.
16
Определение 14. Пара
A
рядоченной n-й (или кортежем длины
,,, ,
aa a a
12 1
той картежа
nn
. Элемент
,,, ,
aa a a
12 1
nn
,,, ,
aa a a
12 1
ai n
i
.
nn
называется i-й координа-
)1,(,
называется упо-
n
) и обозначается
Определение 15. Прямым произведением множеств
называется множество всевозможных кортежей длины n, i-я коорди-
ната которых принадлежит множеству
AA A aa a a Ai n
12 12
1. Какие из следующих утверждений верны:
{, }bab
а)
б)
{} {, }bab
в)
г)
д)
е)
{} ,{}bab
2. Сколько элементов в каждом из множеств:
а)
1, 2, 3, {1, 2, 3} ;
б)
1, {1}, 2, 1, {2, 3} , ;
;
в)
{};
г)
,{ } .
д)
;
{, }bab
;
;
;
,{ }bab
,{ }bab
;
nnii
;
,,, | , 1, ,.
УПРАЖНЕНИЯ
1, , ,()
in
i
ж)
{} ,{}bab
з)
и)
к)
л)
{}
{};
;
?
;
т. е.
,,,
AA A
12
;
n
3. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли
одно из них подмножеством другого:
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {{1}, 2, 3}, {{1, 2}, 3}, {3, 2, 1}, {{2, 1}}.
17
A
B
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
4. Известно, что
и
aA
верны:
а)
б)
в)
г)
д)
5. Известно, что
aB
;
;aB
;АB
;aAB
;aAB
ACaA
утверждений верны:
а)
б) ;aC
в)
г) ;aAB
д)
е)
ж)
з)
и)
;
aC
;aAB
;aAB
;aBA
;aAB
{} ;aAC
{} ;aAС
6. Существуют ли такие множества
. Какие из следующих утверждений
е)
ж) ;aAB
з)
{} ;aA
и)
{} ?aB
к)
,
и
, , ,
.aB
{} ;aAC
к)
{} ;aAC
л)
м)
{} ( );aABC
н)
{} ( );aBCA
о)
;
{} ( );aABC
п)
{} ( )?aBAC
р)
BC
;aAB
;aA
Какие из следующих
()aABС
;
что
,,()AB AC AB C
?
7. Какие из утверждений верны для всех A, B и C:
а) если
б) если
в) если
г) если
д) если
и
B
B
и
ABC
B и
BC
, то
C
C , то AC ;
и
и
CB
C , то AC ;
BAC
C
, то
, то
;
АС
B
;
?
8.
а) Для множеств {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {{1}, 2, 3}, {{1, 2}, 3} выписать
все их подмножества.
б) Сколько подмножеств у множества из одного элемента? из двух
элементов? трех элементов?
в) Может ли у множества быть ровно: а) 1; б) 5; в) 16 подмножеств?
18
9. Указать множества, равные множеству
A
A
A
A
A
A
M
M
M
а)
б)
в)
г)
д)
е)
10. Дан универсум
{|2 6}Ax x, {| четно}Bxx
множества:
а)
б)
в)
г)
11. Дан универсум
{| четно},Axx
{1, 3, 5} .D
а)
б)
в)
г)
д)
| 2 , , 5Pxxnn n
1
| 2 , {0}, 5Pxxnn n
2
| 2 2, , 5Pxxnn n
3
| 2( 1), , 5Pxxn n n
4
| 2 2, {0}, 5Pxxnn n
5
| 2 2, , 4Pxxnn n
6
;AB
;CD
,BC
BD
;()
Найти множества:
;AB
;CD
;AB
();
BCD
;CD
{| кратно четырем};Bxx
;
;
.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8U
;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8U
;
;
;
{| 4}Cxx; {1, 2 , 4 }D
()( );
д)
е)
() ();AB
ж)
() ().DB
з)
()( );
е)
ж)
(),CA D
з)
() (),
и)
() ().DC
к)
{2, 4, 6, 8}A
и его подмножества
BCD
BC
и его подмножества
BCD
;AB
:
. Найти
;
{| простое};Cxx
B
12. Пусть
состоящие соответственно из всех чисел, кратных 2, 3, 5. С помощью
операций над множествами выразить через них множества всех чисел:
а) делящихся на 6;
б) делящихся на 30;
в) взаимно простых с 30;
г) делящихся на 10, но не делящихся на 3.
,
,
2
3
обозначают подмножества универсума ℕ,
5
19
Используя теоретико-множественную символику, записать утвер-
A
B
A
A
A
A
A
A
A
A
ждения:
а) 45 делится на 15;
б) 42 делится на 6, но не делится на 10;
в) каждое число из множества {8, 9, 10} делится хотя бы на одно из
чисел 2, 3, 5, но не делится на 6.
13. Для каждого
(, )| 1,2, ,
ij j n
i
Выразить через них с помощью операций
а)
(, ) | 1 ,1 , ij i k j kk n
б)
(, ) | 1, 2, , ;ii i n
в
(, ) | 1 .ij i j n
14. Выяснить, обладают ли операции
ности и ассоциативности.
15. Выяснить, какие из следующих дистрибутивных законов спра-
ведливы для любых множеств
()()();
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
BC AB AC
()()();ABC AB AC
()()();
BC AB AC
()()();ABC AB AC
()()();
BC AB AC
()()();
BC AB AC
()( )( );
BC A B A C
()( )( );
BC A B A C
()()();ABC AB AC
()()();
BC AB AC
()( )( ).ABC AB AC
1, 2, ,in
даны множества
и
,,ABC
(,)| 1,2, ,
ji j n
i
;
–, .
свойствами коммутатив-
:
,
множества:
.
16. Доказать следующие тождества:
а)
б)
();
AB A
();AABA
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]