Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
переменных, входящих в предикат, будем его называть одноместным,
x
x
x
x
двухместным, трехместным и т. д.
Одноместные предикаты иногда называют предикатами-свой-
ствами, а n-местные при
– предикатами-отношениями. Так, пре-
1n
дикат «Город x является столицей» выражает свойство городов, а предикат «Расстояние между городом x и городом y – 2 тыс. км» – отношение между городами. Высказывания принято считать нуль-местными
предикатами.
Чтобы превратить предикат в высказывание, достаточно вместо
каждой из переменных, входящих в него, подставить какое-нибудь
ее
значение. Существует и другой способ превращения предикатов в высказывания.
Пусть, например, дан предикат «Птица x не умеет летать». Предложение «Для всякой птицы x истинно, что x не умеет летать» утверждает, очевидно, то же самое, что предложение «Все птицы не умеют
летать», и, следовательно, является ложным высказыванием. Предло
жение «Существует такая птица x, что x не умеет летать» равно-
значно предложению «Некоторые птицы не умеют летать» и является
истинным высказыванием.
Выражение «для всякого x» называется квантором общности по переменной x и обозначается
.
Выражение «существует x такое, что» называется квантором су-
ществования по переменной x и обозначается
.
Вместо слова «всякий» можно употреблять слова «каждый», «любой» и т. п.; вместо «существует» – слова «есть», «найдется», «хотя бы
один» и т. п.
()Px
Переход от предиката
()
Px
ванию
называется операцией квантификации предиката
к высказыванию
или просто навешиванием квантора на предикат
()
Px
или высказы-
()Px
. В результате
()Px
квантификации переменная в предикате становится связанной, т. е. символом, на место которого нельзя уже подставлять объекты из некоторого множества.
-
51
3.2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
x
x
M
Z
х
x
ЕСТЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА
При решении задачи формализации сначала следует выбрать универсум, содержащий объекты (сущности), о которых говорится в предложении. Выбор универсума в большинстве случаев не является однозначным, нередко универсум является многосортным.
На следующем шаге определяются предикатные символы для обозначения свойств объектов (одноместные предикаты) и/или отношений
между объектами (многоместные предикаты
чтобы введенные предикаты имели смысл для всех элементов универсума. Кроме того, для каждого одноместного предиката множество значений этого предиката должно быть собственным непустым подмножеством универсума.
Далее проверяется наличие констант, т. е. говорится ли в предложении о конкретных объектах универсума (часто это имена собственные).
Необходимо
Для каждого простого предложения составляем отдельную формулу,
и все полученные формулы потом соединяем в одно утверждение
с помощью логических связок.
Не забываем также, что при формализации предложения естественного языка должна получиться замкнутая формула, иначе она не будет
иметь истинностного значения и мы не сможем
Рассмотрим утверждение: «Все бешеные собаки смертельно
опасны». В этом предложении утверждается, что если животное
бака, причем бешеная, то
тельно, если предикат
бака», то предикатом
бешеное», а предикатом
то формальная запись этого утверждения будет иметь вид
также проверить, простое предложение или сложное.
‒ смертельно опасное животное. Следова-
()Dx
означает предикат «животное x ‒ со-
()
x
формализуем выражение «животное x ‒
()
x
‒ «животное x ‒ смертельно опасное»,
) универсума. Важно,
проверить перевод.
‒ со-
()& () ().xDx M
Аналогично утверждение «Некоторые старательные студенты
получают стипендию» можно записать в виде
()& ()& (),
Px Sx Ox
52
Z х
()Px
x
x
x
где
старательный»;
ограничений, то все они перечисляются через конъюнкцию, а затем
надстраивается квантор существования.
цательного и положительного ‒ является отрицательным». Пусть
универсум составляет множество вещественных чисел, а предикаты используем в традиционной записи:
(0)x
представим в виде терма
сколько эквивалентных форм, все они допустимы. Выберем два вари-
анта:
означает «человек x ‒ студент»;
()Ox
‒ «человек x ‒ получает стипендию».
Итак, если на значения переменной накладывается сразу несколько
Теперь рассмотрим утверждение: «Произведение двух чисел ‒ отри-
(0)x
(«число 𝑥 положительно»). Произведение двух чисел x и y
y
. Тогда высказывание будет иметь не-
( 0) ( 0) ( 0)xx yy xy,
()Sx
означает «человек x ‒
(«число x отрицательно»),
( 0) & ( 0) ( 0) .xy x y xy
Хотя эти две формы и эквивалентны, но вторая, пожалуй, несколько
выразительнее и яснее подчеркивает равноправие двух чисел.
Перевод утверждения «Для всякого целого числа есть меньшее це-
лое» можно записать следующим образом:
() ()&()
xZ yyZ y x .
Заметим, что это утверждение удобнее писать, начиная с внутреннего квантора, т. е. сначала перевести, что означает «Для
шее его натуральное число», а затем расшифровать начало предложения: «для всякого
При переводе утверждений с вложенными кванторами необходимо
тщательнейшим образом следить за порядком кванторов и их областью
действия. Например, если последнее утверждение истинно, то утверждение
ложно. Оно выражает утверждение естественного языка: «Существует
наименьшее целое число». В самом деле, прочтем его. Внутреннее
𝑥».
()&()()yyZ xxZ y x
53
есть мень-
утверждение показывает, что «всякое целое число 𝑥 больше у». Какое у?
x
x
A
x
x
A
A
x
Пока еще не определено, но, переходя к началу формулы, мы видим,
что y должно быть предварительно выбрано. Однако какое бы целое
число y ни выбрали, внутреннее утверждение будет ложно. Следовательно, такого y не существует.
Наконец, рассмотрим утверждение: «Для любого целого числа есть
большее и меньшее
вить в виде формулы:
yz x Z y Z y x z Z z x
но лучше всего формализация:
() ()&()&()&(),xxZ yy Z y x zz Z z x
где каждый квантор относится лишь к тем утверждениям, которые он
связывает.
Исключительно важную роль в языке математики играет утверждение: «единственный
часто приходится доказывать, что решение задачи единственно).
На самом деле обычно подразумевается не только то, что решение
задачи единственно, но и то, что она имеет решение, т. е. доказывается
не только единственность, но и существование и единственность объекта, удовлетворяющего свойству
Единственность «в чистом виде» выражается следующим образом:
его целое число». Это утверждение можно предста-
( ) ( )&( )&( )&( ) ,
удовлетворяет данному условию А» (например,
.
()& () ( ).
yAx Ay x y
Заметим, что утверждение «
вообще говоря, не предполагает, что оно существует, что задача вообще
имеет решение.
Чисто формально предыдущая формула истинна и в том случае, когда х, удовлетворяющего А, вообще нет. Поэтому эту формулу точнее
читать «есть не более одного х, удовлетворяющего
Утверждение «существует единственное
ражается в форме
() & ()& () ( )
Ax x y Ax Ay x y .
, удовлетворяющее А, единственно»,
()
x
».
()
𝑥, такое, что
x
» вы-
54
Однако это не самая выразительная запись утверждения о един-
x
x
A
A
x
A
x
x
x
x
x
ственности. Гораздо выразительнее
() ( ).
yAy x y
Итак, то, что существует единственное
()
x
означает, что условие
у этому единственному x.
В задачах, где идет речь о количестве каких-то объектов, следует использовать предикат «равенство».
Общий способ получить утверждение «существует не более
()
ких
, что
x
»:
на самом деле сводится к равенству любого
, удовлетворяющее
n
()
x
та-
,
xxyAy xy xy
11
nn
Здесь мы не утверждаем, что этих различных x ровно
обозначены по-разному, то это отнюдь не показывает, что они прини-
мают различные значения: они могут принимать разные значения, но
могут принять и одинаковые.
Итак, мы приходим к необходимости уметь формулировать разли-
y
чие. Если
метов, то соответственно
различие. Итак, сказать, что есть не менее двух различных решений за-
дачи, очень просто:
Так же просто сказать и то, что их ровно два:
Вот как записывается, что решений не более двух:
yz x y x z y z Ax Ay Az .
Подобным образом можно написать формулы и для большего числа
решений.
означает равенство, неразличимость, совпадение пред-
()& ()()()
yx y zAz z x z y .
( )&( )&( ) ( )& ( )& ( )
() ( ) ( ) .
()&()&()
yx y Ax Ay
y
, обычно обозначаемое
.
n
: если x и y
, ‒ их
xy
55
3.3. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
j
x
Понятие формулы в логике предикатов задается рекурсивно, аналогично понятию формулы логики высказываний. Однако в отличие от логики высказываний в логике предикатов принято определение формулы
начинать с определения сигнатуры.
Определение 24. Сигнатурой будем называть множество, состо-
ящее из предикатных символов и символов констант
1
.
Предикатные символы условимся обозначать прописными буквами
латинского алфавита; например:
указывает
арность (т. е. размерность) предикатного символа. Сим-
-n
(1) ( 2)
, , ,
PQ R
(5)
где верхний индекс
i
волы констант условимся обозначать строчными буквами латинского
, , .cde
алфавита; например:
ческой буквой
буквами
(сигма). Формулы условимся обозначать греческими
(фи), (пси) и (кси).
Сигнатуру же всегда будем обозначать гре-
Сигнатуру можно понимать как «кирпичики», из которых будут
строиться различные формулы. Так, например, запись
(2) (3)
, , ,PScc
мы можем использовать один двухместный предикат
трехместный предикат
Определение 25. Формулой сигнатуры
Для любого предикатного символа
1.
(, , )
Pt t
1
является формулой, где каждый символ
n
константой сигнатуры
означает, что при построении различных формул
12
(, , )Sx x x
123
и две константы
называется:
P
и
c
c
1
2
()n
является либо
t
i
, либо некоторая предметная переменная
)(,Px x
, один
12
.
выражение
. Формулы такого вида будем называть атомарными. Все переменные
в атомарных формулах являются
свободными.
1
В рамках данного курса мы рассматриваем сигнатуры, не содержащие
функциональных символов. Это объясняется тем, что использование функциональных символов, с оной стороны, очень сильно усложняет формализацию предметной области в виде алгебраической системы, а с другой стороны, мы всегда можем рассматривать n-местную функцию как (n + 1)-местный предикат.
56
2. Если и – формулы сигнатуры , то выражения вида
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, ( ), ( & ), ( ), ( )
также являются формулами.
Если
3.
входящая в формулу
также являются формулами, в которых переменная
– формула сигнатуры и x – предметная переменная,
свободно, то выражения вида
( ), ( )
xxx
становится
связанной.
Других формул нет.
4.
Заметим, что формулы, построенные согласно определению 25, могут иметь переменную, которая одновременно является и свободной, и
связанной. Чтобы избежать этой коллизии, введем понятие «вхождение
переменной в формулу» и уточним понятие свободной и связанной переменной.
Определение 26. Вхождением переменной в формулу называется
вхождение этой переменной в какой-либо предикат этой формулы.
Вхождение называется
связанным, если переменная находится в обла-
сти действия квантора по этой переменной, иначе вхождение называ-
свободным. Переменная, имеющая хотя бы одно свободное вхож-
ется
дение в формулу, называется
ной
. Формула без свободных переменных называется предложением.
свободной, иначе она называется связан-
Так, например, формула
(, )& ( , , ) (, , )
Px x Sx c x x xSx x c
112 211 12122
имеет три вхождения переменной
(рис. 7). Все вхождения переменной
ременная
– связанная. Переменная 𝑥 имеет два свободных вхожде-
1
и три вхождения переменной
1
‒ связанные, следовательно, пе-
1
2
ния и одно связанное, следовательно, является свободной.
(, , , )
Запись
переменные
ство свободных переменных формулы
xx
12
,,,
xx
12
означает, что формула имеет свободные
n
. Через
n
FV
57
будем обозначать через множе-
т. е. в нашем примере
,
() { , , , }
F
x
x
x
x
x
x
x
Vxxx
12
. Если же
n
()FV
, то формула является
предложением.
Рис. 7. Формула логики предикатов
Заметим, что если в рассматриваемой формуле переменная имеет
связанное вхождение, то существует подформула, где эта переменная
является связанной. Так, например, для формулы, показанной на рис. 7,
в подформуле
xSx x c
12 122
)(, ,
переменные
и
являются связан-
1
2
ными.
Свободные переменные носят глобальный характер, т. е. их означивание происходит вне данной формулы.
Связанные же переменные носят локальный характер, поэтому их
можно заменить на любые другие переменные. Нередко замена связанных переменных производится для того, чтобы каждая переменная
в рассматриваемой формуле имела либо только свободные, либо
только
связанные вхождения. Так, например, для формулы, показанной на
рис. 7, можно выполнить следующие замены переменных:
(, )& ( , , ) (, , ).
Px x Sx c x x xSx x c
112 211 34342
Эта замена показывает, что переменные
,
и
1
3
не только свя-
4
занные, но их означивание (внутри формулы) ведется независимо друг
от друга.
58
3.4. МОДЕЛИ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
A
x
x
x
x
Формулы логики предикатов, так же как и формулы логики высказываний, можно классифицировать на тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые. Однако проверка на то,
является ли формула тождественно истинной (т. е. логически истинной), ‒ не такая простая, как в логике высказываний. В логике предикатов истинность формул зависит
от интерпретации предикатных и константных символов и от означивания переменных конкретными значениями. Поэтому вводятся понятия модели и истинности формулы на модели. Для обозначения моделей будем использовать прописные буквы
латинского алфавита, набранные в готическом шрифте:
A , B , M ,
N
.
Определение 27. Моделью сигнатуры
A
называется основным множеством модели A , а
где
тацией сигнатуры
на множестве A.
, A
В качестве примера рассмотрим сигнатуру
(, )
Pxc
. Построим модель
M
,
ством будет множество целых чисел
называется пара
A
,
A
– интерпре-
(2)
{,}Pc
M
, в которой основным множе-
. Интерпретацию сигнатуры
и формулу
зададим следующим образом:
MM
Тогда формула
(, )
Pxc
, ; ( 0).Pxyxyc
превратится в выражение
(0)xx
«Среди целых чисел найдется число, которое меньше нуля».
Очевидно, что это утверждение истинно. Поэтому мы будем гово-
,
рить, что формула
,
вать
PxcM
Pxc
.
Теперь рассмотрим модель
торой является множество натуральных чисел
сигнатуры
задается аналогичным образом:
истинна на модели M и будем записы-
N
, основным множеством ко-
N
,
. Пусть интерпретация
, т. е.
NN
, ; ( 0).Pxy xyc
59
Тогда полученное выражение
x
x
x
x
x
B
x
(0)xx
можно прочитать следую-
щим образом:
«Среди натуральных чисел найдется число, которое меньше нуля».
Нетрудно заметить, что в этом случае мы получим ложное высказы-
вание. Поэтому будем говорить, что формула
дели
N
и будем записывать
N
(, )
Pxc
.
Pxc
ложна на мо-
(, )
Мы можем, например, рассмотреть модель натуральных чисел
N
N
с интерпретацией сигнатурных символов:
,
NN
, ; ( 5).Pxy xyc
Тогда нетрудно проверить, что
N
(, ).
Pxc
Рассматриваемая модель не обязательно должна быть числовой.
A
Например, мы можем рассмотреть модель
A
, где A – это мно-
, A
жество студентов, а сигнатура интерпретируется следующим образом:
A
,() Pxy
«Студент х учится в одной группе
A
« c
Петров».
Тогда формула
со студентом у»;
(, )
Pxc
превращается в высказывание:
«Среди студентов найдется такой студент, который учится
в одной группе с Петровым».
Очевидно, что
PxcA
, даже если можно представить такую
(, )
ситуацию, что в группе остался только один Петров, то всегда можно
сказать, что он учится сам с собой в одной группе.
Теперь рассмотрим модель
B , где
B
, B
– также множество
студентов, а сигнатура интерпретируется следующим образом:
BB
, « »; « »()Pxy Студент x списал работу у студента ycИванов
(, )
Тогда формула
Pxc
превращается в высказывание:
.
«Среди студентов найдется такой студент, который
списал работу у Иванова».
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]