Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
6. Законы коммутативности:
X
X
X
X
X
X
X
& ~ & , ~
YY X X YY X
7. Законы ассоциативности:
( & ) & ~ & ( & ), ( ) ~ ( )
YZX YZ XYZXYZ
Законы коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции аналогичны знакам умножения и сложения чисел. Иногда дизъюнкцию так и называют логическим сложением, а конъюнкцию – логическим умножением.
8. Законы дистрибутивности. В отличие от сложения и умножения
чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к
дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна
дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции:
( & ) ~ ( ) & ( ),
YZXZ YZ ( ) & ~ ( & ) ( & ).
9. Законы де Моргана. (Август де Морган (1806–1871) – шотландский математик и логик):
& ~ , ~ &
YXY XYXY
10. Формулы сокращения:
YZXZYZ
.
.
относительно
.
&1 ~ , & 0 ~ 0,XXX 1 ~1 ,0 ~ .
11. Формулы выражения импликации и эквиваленции через дизъюнк-
цию и отрицание. Все рассмотренные выше законы касались эквивалентностей, не содержащих связок
кую формулу, содержащую
ей формулой, не содержащей этих связок:
или , можно заменить равносильной
и . Сейчас покажем, что вся-
~ ,XY XY
~ ( ) & ( ) ~ ( ) & ( ).
YXY YX XY YX
Используя законы де Моргана, можно было бы обойтись всего
двумя операциями: конъюнкцией и отрицанием или дизъюнкцией
31
XX
и отрицанием. Возникает вопрос: а нельзя ли выразить через какую-ни-
X
X
X
F
F
F
X
будь одну операцию все остальные? Можно доказать, что ни через одну
из введенных здесь пяти логических операций этого сделать нельзя.
Нужны, по меньшей мере, две операции; при этом одной из них обязательно должно быть отрицание. Более того, через эквиваленцию
и отри-
цание остальные операции выразить нельзя.
Если в эквивалентные формулы везде вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы
также окажутся эквивалентными. Таким способом из каждой эквивалентности можно получить сколько угодно новых эквивалентностей.
(&) ~
Например, если в эквивалентности
X
вместо X и
(&)
Y
вместо Y, то получим новую эквивалент-
YXY
подставить
ность:
&( & ) ~ ( & ).
XY X XY
Если какую-нибудь формулу
заменить формулой
, эквивалентной
2
, являющуюся частью формулы F,
1
, то полученная формула ока-
1
жется эквивалентной F. Заменяя, таким образом, формулы на эквивалентные им, мы можем упрощать эти формулы.
Рассмотрим еще один закон логики – закон контрапозиции. Он
редко применяется для упрощения формул, однако очень часто используется при доказательстве теорем. В главе 1 был рассмотрен метод доказательства от противного.
С точки зрения математической логики
этот метод является ничем другим, как следующей равносильностью:
~ .
YY X
Для каждого предложения, формализованного импликацией
можно составить три различных предложения, которые полу-
,XY
чаются перестановкой членов импликации или отрицанием каждого из
них:
1)
2)
3)
YX
– предложение, обратное данному;
XY – предложение, противоположное данному;
YX
– предложение, обратно противоположное данному.
Составив таблицу истинности для всех четырех предложений,
можно убедиться, что только обратно противоположное предложение
32
эквивалентно данному. Более того, из таблицы видно, что одновременно
X
P
P
P
P
P
P
с истинностью предложения
обратное и противоположное ему
Y
предложение могут быть как истинными, так и ложными.
Приведем отрывок из всемирно известной сказки «Алиса в стране
чудес» Льюиса Кэрролла, иллюстрирующий этот факт.
– Нужно всегда говорить то, что думаешь, – заметил Мартовский
заяц.
– Я так и делаю, – поспешила объяснить Алиса. – По крайней мере...
По крайней мере
, я думаю то, что говорю... а это одно и то же...
– Совсем не одно и то же, – возразил Болванщик. –Так ты еще, чего
доброго, скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу»
– одно и то же!
– Так ты еще скажешь, будто «Что имею,
то люблю» и «Что
люблю, то имею» – одно и то же! – подхватил Мартовский заяц.
– Так ты еще скажешь, – проговорила, не открывая глаз, Соня, ‒
будто «Я дышу, пока сплю» и «Я сплю, пока дышу» – одно и то же!
2.4. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
Когда мы говорим, что предложение естественного языка
дует из предложения
истинно предложение
зываний это означает, что для формул
ложениям
ром
F
1
и
1
2
истинна, а
, то имеем в виду следующее: всякий раз, когда
1
, истинно и предложение
1
и
F
1
, соответствующих пред-
F
2
. В логике выска-
2
, нет такого набора значений переменных, при кото-
ложна. Например, из предложения «Если сту-
F
2
сле-
2
дент много занимается, то он успешно сдает экзамен» логически следует предложение «Студент, провалившийся на экзамене, занимался
мало», так как для соответствующих им формул
XY
и
YX
невозможен набор значений X и Y, при котором первая формула истинна, а вторая ложна.
Логическое следование, как и эквивалентность, есть отношение
между формулами. Отношение логического следования обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но не обладает свойством
симметричности.
33
Для того чтобы доказать, что из формулы
F
F
A
F
F
не следует формула
1
2
достаточно найти такой набор значений переменных, входящих в эти
формулы, при котором первая формула принимает значение «истинно»,
а вторая – «ложно».
Перейдем теперь к вопросу о том, как по структуре предложений,
последовательность которых выражает некоторое рассуждение, определить, правильно это рассуждение или нет.
Определение 21. Секвенцией называется совокупность предложений, про одно
из которых, называемое заключением, говорится, что оно
логически следует из остальных, называемых посылками.
Запись
мулы
,,
FF
1
,,
FFG
1
являются посылками, а формула G – заключением.
n
будет обозначать секвенцию, у которой фор-
n
Пример 1. «Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас.
Если вы будите лгать, то вас проклянут боги. Но вы можете только
говорить правду или лгать. Значит, вас проклянут боги или люди»:
,,
BACACBC
.
Пример 2. «Если N ‒ хороший адвокат, то он выиграет это дело.
N выиграл это дело. Значит, он хороший адвокат»:
,
,ABB A
.
Выводя заключение из некоторой совокупности посылок, мы считаем, что если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение должно быть истинным. Исходя из этого примем следующее
определение:
Определение 22. Секвенция называется истинной, если из конъюнкции ее посылок логически следует заключение.
Из этого определения вытекает правило проверки истинности се
квенции. Секвенция
,,
1
FG
будет истинной тогда и только тогда,
n
-
когда формула
(& && )
FFG
12
n
является тавтологией.
34
Заметим, что секвенция из примера 1 является истинной, а секвен-
A
X
ция из примера 2 является ложной.
Рассмотрим следующий пример.
Пример 3. «У вас может быть либо социализм, либо коммунизм.
Но вы не достигли социализма. Значит, у вас коммунизм»:
,ABAB
.
Из этого примера видно, что правильность рассуждения сама по себе
еще не обеспечивает истинности его заключения. Так, в примере 3 секвенция является истинной, а ее заключение – ложным. Для того чтобы,
рассуждая правильно, заведомо получить истинное заключение, нужно
позаботиться об истинности всех посылок. Если хотя бы одна посылка
истинной секвенции ложна,
то заключение может оказаться как истин-
ным, так и ложным.
Истинность всех посылок истинной секвенции является достаточным условием истинности ее заключения.
Пример 4. «Если 1 – простое число, то это наименьшее простое
число. Если 1 – наименьшее простое число, то 0 не является простым
числом. 0 не является простым числом. Следовательно, 1 – простое
число»:
,,
BB C C A
.
Надо также понимать, что если заключение истинно, то это еще не
значит, что секвенция истинна. В примере 4 истинны и посылки, и заключение, однако истинность заключения не вытекает из истинности
посылок.
2.5. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Известно, что для каждой формулы логики высказываний можно со-
ставить таблицу истинности. Можно
ли по заданной таблице истинности найти формулу, ей соответствующую? Оказывается, что эта задача
всегда разрешима.
Пусть, например, дана таблица истинности некоторой, пока еще не-
,
известной формулы F, содержащей переменные
35
Y
и Z (табл. 10).
Таблица 10
X
X
X
X
X Y Z
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(,,)FXYZ
Выделим строки, соответствующие значениям истинно искомой
формулы (1-я, 4-я и 8-я строки). Составим для каждой из выделенных
строк конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам
значений переменных, представленным в этих строках, соответствовали
истинные конъюнкции. Для этого достаточно переменные, под которыми в соответствующей строке стоит цифра «0», взять со знаком отри
цания, а переменные над цифрой «1» – без отрицания. В результате получим конъюнкции:
&&
&&XYZ
&&
– для 1-й строки;
YZ
– для 4-й строки;
YZ
– для 8-й строки.
В дальнейшем конъюнкцию переменных или их отрицаний будем
называть элементарной конъюнкцией.
Дизъюнкция полученных элементарных конъюнкций и есть искомая
формула:
-
(&&)(& & )( & & )
YZ X Y Z X Y Z
.
Убедимся, что это действительно так: если формула F истинна, то и
дизъюнкция
(&&)(& & )( & & )
YZ X Y Z X Y Z
истинна, поскольку истинна одна из составляющих ее элементарных
конъюнкций; если формула F ложна, то данная дизъюнкция ложна, так
как каждая из составляющих ее элементарных конъюнкций ложна.
36
Подобным образом можно составить формулу для всякой таблицы
X
истинности, в последнем столбце которой имеется хотя бы одна цифра
«1». Очевидно, что одна и та же таблица истинности соответствует мно-
жеству равносильных формул. Формула, которая получается в результате применения описанного способа, называется совершенной дизъ-
юнктивной нормальной формой (СДНФ) всех формул с
теми же пере-
менными, ей равносильных.
Так как для любой формулы можно составить таблицу истинности,
и притом единственную, то всякая формула, не являющаяся тождественно ложной, имеет СДНФ, и притом единственную.
Формулу, соответствующую данной таблице, можно составить и
другим способом, а именно:
1) выделить те строки таблицы, в которых искомая формула
прини-
мает значение «0»;
2) для каждой из выделенных строк составить дизъюнкцию переменных или их отрицаний (или элементарную дизъюнкцию) так, чтобы каждая переменная (со знаком отрицания либо без него) вошла в дизъюнкцию один и только один раз и чтобы наборам значений переменных, записанных в этих строках, соответствовали ложные
дизъюнкции;
3) составить из полученных дизъюнкций конъюнкцию.
В нашем примере мы получим формулу
( ) & ( ) &( ) &XYZ XYZXYZ
& ( ) & ( ).
YZ X Y Z
Формула, полученная таким образом, называется совершенной конъ-
юнктивной нормальной формой (СКНФ) всех формул, соответствую-
щих этой таблице. Каждая формула, не являющаяся тавтологией, имеет
СКНФ, и притом единственную.
Каждая СДНФ (СКНФ) характеризуется следующими свойствами.
1. Различны все элементарные конъюнкции (элементарные дизъ-
юнкции).
2. Различны все члены каждой элементарной конъюнкции (элемен-
тарной
дизъюнкции).
3. Ни одна элементарная конъюнкция (элементарная дизъюнкция)
не содержит одновременно переменную и отрицание этой переменной.
37
4. Каждая элементарная конъюнкция (элементарная дизъюнкция)
F
F
X
X
X
X
X
X
содержит все переменные, входящие в формулу F.
Пользуясь известными законами логики, всякую формулу F можно
преобразовать в равносильную ей формулу
дизъюнкцию элементарных конъюнкций. Если формула
, представляющую собой
не обладает
хотя бы одним из перечисленных свойств СДНФ, то она называется
дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы F.
Каждая формула имеет не одну, а бесконечное множество дизъюнк-
тивных нормальных форм. Например, для формулы
() &( )
YZX
ДНФ является не только формула
(& &)(& ),
YZ X Y
но и равносильные ей формулы:
(& &)(& )(& ),
(& &)( & )( & ),
YZ X Y X Y
(& &)(& & ),
YZ XX Y
YZ X Y Z Z( & ).
Y
Однако каждую ДНФ (не являющуюся тождественно ложной)
можно привести к виду СДНФ. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
1) удалить элементарные конъюнкции, содержащие переменную
с ее отрицанием (если такие окажутся);
2) если есть одинаковые элементарные конъюнкции, удалить все,
кроме одной;
3) если есть одинаковые переменные в каждой элементарной конъ-
юнкции, удалить все, кроме одной;
4) если в какой-нибудь элементарной конъюнкции не содержится
переменной
добавить к этой элементарной конъюнкции член
из числа переменных, входящих в исходную формулу,
X
i
XX
ii
и применить
закон дистрибутивности;
5) если в полученной формуле окажутся одинаковые элементарные
конъюнкции, то удалить все, кроме одной.
38
Всякую формулу можно преобразовать в эквивалентную ей фор-
F
F
A
A
A
A
A
A
A
мулу, представляющую собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Формулу такого вида называют конъюнктивной нормальной формой
(КНФ) данной формулы.
Очевидно, что каждая формула имеет бесконечное множество конъюнктивных нормальных форм. Правило приведения формулы к СКНФ
без помощи таблицы истинности аналогично правилу приведения к
СДНФ.
Используя
СКНФ, мы сможем решить задачу о нахождении всех логических следствий из данных посылок. Дадим сначала решение задачи,
а потом ее обоснование.
Чтобы получить всевозможные неравносильные следствия из данных посылок (не являющихся тавтологиями), можно применить такое
правило:
1) составить конъюнкцию формальных посылок;
2) привести конъюнкцию формальных посылок к СКНФ;
3)
выписать все элементарные дизъюнкции этой СКНФ, а также всевозможные конъюнкции этих элементарных дизъюнкций. Полученное
множество формул и является искомым.
Пример. Найдем все заключения из посылок:
или переутомлен»,
– «Если у ребенка повышена температура, то он
2
– «Ребенок болен
1
болен».
1. Конъюнкция посылок:
()&( )
BCA
.
2. СКНФ посылок:
( ) & ( ) & ( ).
BC AB C A B C
3. Всевозможные заключения:
( )
а)
б)
в)
г)
д)
BC
( )
( )
( )& ( )
BC AB C
( )&( )
;
BC
BC
;
;
BC A B C
;
;
39
( ) & ( )
A
A
A
F
F
F
F
F
е)
ж)
BC ABC
( )&( ) &( ) .
BC AB C A B C
;
Рассмотрим, например, заключение (е). Данная формула равно-
сильна формуле
, которая соответствует предложению «Либо
C
ребенок болен, либо у него нет температуры».
Докажем теперь, что: 1) каждая формула, полученная с помощью
указанного правила, действительно следует из данных посылок; 2) любая формула, не являющаяся тождественно истинной и не равносильная
ни одной из полученных, не следует из данных посылок.
Доказательство. 1. Конъюнкция истинна тогда и
только тогда, ко-
гда все ее члены истинны; следовательно, невозможен случай, когда
СКНФ конъюнкции посылок истинна, а какие-нибудь элементарные
дизъюнкции этой СКНФ или их конъюнкции ложны, что и доказывает
их следование из данных посылок.
(),,,
2. Пусть
элементарную дизъюнкцию
юнкций, составляющих СКНФ
лок. Утверждение, что
XX X
11 2
F
– формула, СКНФ которой содержит
n
, отличную от всех элементарных дизъ-
F
2
(, ,, )
XX X
12
не следует из F, истинно, если существует та-
1
конъюнкции посы-
n
кой набор значений переменных, при котором формула F истинна,
а формула
Элементарную дизъюнкцию
ложна.
F
1
, входящую в формулу
F
2
и отлич-
F
1
ную от всех элементарных дизъюнкций, входящих в формулу F, всегда
можно сделать ложной, приписав переменным, входящим в эту дизъюнкцию без знака отрицания, значение «0», а переменным под знаком
отрицания – значение «1». Формула
при этом также примет значе-
F
1
ние «0». Формула же F при этих значениях переменных примет значение «1», так как каждая из составляющих ее элементарных дизъюнкций
содержит хотя бы один член, являющийся отрицанием члена дизъюнкции
.
2
Таким образом, всякая формула
(),,,
XX X
11 2
, СКНФ которой
n
содержит элементарную дизъюнкцию, не входящую в СКНФ формулы
(, ,, )
XX X
12
, являющейся конъюнкцией посылок, не следует из
n
этих посылок.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]