Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
() ;
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
AB AB
() ;
AB AB
() ;
AB A B
() ;AABAB
();ABA
() ;
BA AB
()();
BABA
()();
BAB AB
();AABB
();AB A A B
()();
BAB AB
о)
п)
р)
с)
т)
у)
ф)
17. Доказать, что
18. Доказать, что A = B равносильно
19. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахма-
тист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно)
разные?
20. Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой
шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов?
21. Староста класса, в котором 40 человек, подводил итоги по успе-
ваемости группы за первое
BABABU
()();
BAB AB
() () ();
AB A AB B AB
()()();
BC AB AC
() ()() ( );
BC AC BC ABC
()()( )()().
BC AB A C AB AC
AB
;
;()()ABAB AB AB
равносильно
AB
полугодие. Получилась следующая картина:
.AB
.
21
из 40 учащихся не имеют троек по русскому языку 25 человек, по математике ‒ 28 человек, по русскому языку и математике ‒ 16 человек, по
физике ‒ 31 человек, по физике и математике ‒ 22 человека, по физике
и русскому языку 16 человек. Кроме того, 12 человек учатся без троек
по всем трем предметам. Классный руководитель, просмотрев резуль
таты, сказал: «В твоих расчетах есть ошибка». Составить диаграмму Эйлера–Венна и объяснит, почему это так.
22. В лаборатории института работают несколько человек. Каждый
из них знает хотя бы один иностранный язык. 7 человек знают английский, 7 ‒ немецкий, 8 ‒ французский, 5 ‒ знают английский и немецкий,
4 ‒ немецкий и французский
, 3 ‒ французский и английский, 2 человека
знают все три языка. Сколько человек работает в лаборатории? Сколько
из них знает только французский язык? Сколько человек знает ровно
один язык?
-
22
ГЛАВА 2. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
2.1. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Высказывание – это повествовательное предложение, о котором
можно сказать, что оно истинно или ложно. Например: «За окном идет
дождь», «Рим – столица Италии», «Все металлы твердые».
Мы говорим, что высказывания могут быть истинными (будем обозначать цифрой 1) или ложными (будем обозначать цифрой 0). Из трех
приведенных выше высказываний второе истинно
(ртуть – жидкость), а первое зависит от текущих условий и может быть
либо истинным, либо ложным.
Приведем еще примеры:
Земля – планета Солнечной системы (истинно).
Всякий квадрат есть параллелограмм (истинно).
Каждый параллелограмм есть квадрат (ложно).
2 + 2 = 5 (ложно).
Существуют высказывания, о которых нельзя говорить с уверенностью, истинны они или ложны.
истинности или ложности исходных высказываний и следит лишь за
правильностью рассуждений. Иными словами, не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или
ложно.
В дальнейшем все высказывания будем обозначать (также как и множества) прописными латинскими буквами A, B, C, ... В логике высказываний их
ными, которые могут принимать только два значения: 1 и 0.
мощью союзов «и», «a», «или», «либо» и др. С помощью частицы «не»
называют пропозициональными переменными, т. е. перемен-
Из двух предложений можно образовать новое предложение с по-
Математическая логика отвлекается от
, третье ложно
23
или словосочетания «неверно, что» из одного предложения можно по-
A
A
A
лучить новое.
Союзные слова «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда,
когда» и частицу «не» будем называть логическими связками. Каждый
из остальных союзов либо близок по смыслу к какому-нибудь из указанных, либо может быть заменен их комбинацией с частицей
не.
Конъюнкция. Пусть A и B – произвольные высказывания. Введем
символ «
» для обозначения логической связки «и» и назовем его
&
конъюнкцией. Если, например, буквой A обозначено предложение «Завтра будет теплая погода», а буквой B – «Завтра не будет осадков», то
выражение «
&AB» соответствует предложению «Завтра будет теп-
лая погода и (завтра) не будет осадков». Если завтра окажется, что погода холодная либо идет дождь, либо одновременно идет дождь и холодно, то всякий признает такой прогноз ложным; истинным этот прогноз будет считаться только в том случае, если окажутся истинными
и A,
и B.
Таким образом, предложение вида «
&AB» считается истинным
в том и только том случае, когда истинны оба предложения A и B. Соот-
ветствующее определение запишем в удобной и широко применяемой
в математической логике форме таблицы истинности (табл. 1). В первых двух столбцах таблицы помещены всевозможные наборы значений
истинности высказываний A и B, а в третьем столбце –
им значения истинности составного предложения
соответствующие
&AB.
Дизъюнкция. Логическую связку «или» будем обозначать символом
«
» и называть дизъюнкцией. Предложение вида «
B
» условимся
считать ложным в том и только том случае, когда оба предложения A
и B ложны (табл. 2).
Импликация. Логическая операция, соответствующая союзу «если...,
то...», называется импликацией. Будем обозначать эту операцию симво-
лом «
». Запись «
» читается так: «если A, то B», либо «из A
B
следует B».
Обещание приятеля: «Если будет хорошая погода, то я приду к тебе
в гости» вы расцените как ложь в том и только в том случае, когда по-
года будет хорошая, а приятель к вам не придет. Поэтому высказывание «
» ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно
B
(табл. 3).
24
Таблица 1
A
A
Конъюнкция
&AB
A B
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
Дизъюнкция
A B
Таблица 2
AB
Таблица 3
Импликация
A B
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
B
Эквиваленция
A B
Таблица 4
B
Эквиваленция. Логическая операция, соответствующая союзному
слову «тогда и только тогда, когда», называется эквиваленцией. Будем
обозначать эту операцию символом «
». Когда мы говорим «A тогда
и только тогда, когда B», то имеем в виду, что оба предложения A и B
одновременно истинны либо одновременно ложны (табл. 4). Например:
«Я поеду в Москву тогда и только тогда, когда ты поедешь в Питер».
Таблица 5
Отрицание
A
1
0
A
0
1
Отрицание. Логическая операция, соответствующая логической
связке «не» («неверно, что»), называется отрицанием и обозначается
символом «
». В отличие от остальных операций операция отрицания
выполняется над одним высказыванием и определяется таблицей из
двух строк (табл. 5).
25
2.2. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ТАВТОЛОГИИ
X
X
F
F
F
F
F
F
X
X
X
Пусть X, Y и Z – пропозициональные переменные. С помощью пропозициональных переменных и символов логических связок любое высказывание можно формализовать, т. е. заменить его формулой, отражающей его логическую структуру. Например, высказывание «Если зав-
тра будет солнечная погода, а у меня хорошее настроение, то я
(&)
к тебе в гости» формализуется в виде «
YZ
»; а предложение
приду
«Завтра будет солнечная погода, и если у меня будет хорошее настроение, то я приду к тебе в гости» формализуется в виде «
YZ
».
&( )
Дадим теперь строгое определение формулы логики высказываний.
Определение 16
1. Всякая пропозициональная переменная является формулой.
2. Символы «1» и «0», обозначающие логические константы «ис-
тина» и «ложь», являются формулами.
3. Если F – формула, то выражение
и
4. Если
()
F
12
1
,
()
12
– формулы, то выражения
2
также являются формулами.
F
F
– формула.
(& )
12
,
F
()
F
12
5. Никаких других формул в логике высказываний нет.
Пусть F – некоторая формула логики высказываний. Если каждой
переменной, входящей в эту формулу, приписать одно из значений истинности («1» либо «0»), то, пользуясь определениями логических операций, можно найти значение формулы F при данных значениях ее переменных.
(&)
Например, формула
YZ
при значениях 1 для переменных
X и Y и 0 для переменной Z принимает значение «0», а при любых других
наборах значений переменных – значение «1» (проверьте!).
Удобной формой записи при нахождении значений формулы, соответствующих всевозможным наборам значений ее переменных, является таблица истинности этой формулы.
Составим такую таблицу для формулы
()
YY
, которая со-
держит две переменные X и Y. В первых двух столбцах таблицы выпишем всевозможные пары значений этих переменных; таких пар – че-
, ,
тыре. В последующие столбцы запишем значения формул
, ( ) YXY Y
согласно определению операций. В результате по-
XY
лучим табл. 6.
,
26
Таблица 6
X
X
X
X
Таблица истинности
X Y
1 1 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
X XY Y
()
YY
0
1
0
1
Первые два столбца и последний столбец этой таблицы выражают
соответствие между всевозможными наборами значений переменных и
значениями формулы.
Составим теперь таблицу истинности для формулы
()&()().
YYZ XZ
Эта формула содержит три переменные, для которых имеется ровно
8 различных наборов значений истинности.
Покажем на примере этой формулы, как можно сократить процесс
составления таблицы истинности. Во второй строке таблицы укажем порядок действий данной формулы и будем заполнять столбцы согласно
этому порядку (табл. 7).
Таблица 7
Сокращенная таблица истинности
Х Y Z
Y
&
()YZ
()
→
Z
()
1 3 2 5 4
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
27
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Из таблицы истинности видно, что данная формула принимает зна-
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
чение «истина» при всех наборах входящих в нее переменных, такую
формулу называют тождественно истинной.
Определение 17. Формула, принимающая значение «истина» при
любых наборах входящих в нее пропозициональных переменных, называется тождественно истинной (или тавтологией).
Определение 18. Формула, принимающая значение «ложь» при лю-
бых
наборах входящих в нее пропозициональных переменных, называ-
ется тождественно ложной (или противоречием).
Очевидно, что если некоторая формула
(тождественно ложна), то ее отрицание
F
тождественно истинна
будет тождественно ложно
(тождественно истинно).
Определение 19. Формула, не являющаяся тождественно ложной,
называется выполнимой. Формула, не являющаяся тождественно истинной, называется опровержимой.
Тождественно истинные формулы играют в логике особо важную
роль как формулы, отражающие логическую структуру предложений,
истинных в силу одной только этой структуры.
Утверждение 13. Если формулы
тинны, то формула
тоже является тождественно истинной.
2
и
1
тождественно ис-
F
12
Доказательство. Будем доказывать от противного. Допустим, что
формула
не является тождественно истинной. Тогда существует та-
2
кой набор значений входящих в нее пропозициональных переменных,
что формула
мула
на этом наборе значений переменных принимает значение «ис-
1
при этом наборе принимает значение «ложь». Но фор-
2
тинно», так как является тождественно истинной. Следовательно, формула
12
Утверждение 14. Пусть
на данном наборе ‒ ложна, что противоречит условию.
F
,,
123
– формулы логики высказываний,
FF
тогда следующие формулы являются тождественно истинными:
а)
11
б)
121
;FF
();
FF
28
в)
F
F
F
F
F
F
X
X
F
F
F
F
F
() ()();FF F F F FF
12 1 23 12
( & ) ;
г)
д)
е)
ж)
FF
12 1
( & ) ;
FF
12 2
( );
FF
212
( ).
FF
112
Доказательство утверждения проводится при помощи таблиц истинности.
2.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ.
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
и
Определение 20. Формулы
(что будем записывать как
1
~FF
12
называются эквивалентными
2
), если они принимают одни и те же
значения истинности при одинаковых наборах значений пропозициональных переменных.
()
В качестве примера рассмотрим формулы
(&)
и
XY
. Составим таблицы истинности для этих формул
XY
(табл. 8 и 9).
X Y
1 1
1 0
0 1
0 0
X
0
0
1
1
Таблица 8
(X
)Y
Х
Y
X
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1
Таблица 9
(X & )Y
0 0
0
0 0
0
1 1
1
1 0
1
Мы видим, что при условии совпадения значений в первых двух
столбцах этих таблиц значения в последних столбцах также совпадают.
Поэтому формулы
Утверждение 15. Формулы
гда и только тогда, когда формула
и
1
являются эквивалентными.
2
и
1
являются эквивалентными то-
2
тождественно истинна.
F
12
Доказательство. Напомним, что эквиваленция истинна тогда и
только тогда, когда составляющие ее подформулы обе истинны либо
29
обе ложны; следовательно,
F
F
F
X
случае, если формулы
1
12
и
есть тавтология в том и только том
F
«одновременно», т. е. при одинаковых
2
наборах значений переменных, входящих в эти формулы, принимают
одинаковые значения.
Некоторые эквивалентности формул логики высказываний часто
называют законами логики. Перечислим наиболее важные из них.
1. Закон тождества. Он сформулирован древнегреческим филосо-
фом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной
на протяжении
всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует:
~ .XX
2. Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не
может быть истинно одновременно со своим отрицанием. Утверждать,
что какое-либо высказывание истинно вместе со своим отрицанием, значит утверждать заведомую ложь:
& ~ 0XX
.
Например, предложения «Это яблоко спелое» и «Это яблоко неспе-
лое» не могут быть истинны одновременно.
3. Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно. Третьего не дано. «Сегодня я получу 5 либо не по-
лучу». Истинно
либо суждение, либо его отрицание:
.
~1 XX
4. Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь
высказывания – то же, что утверждать это высказывание. «Неверно, что
22
не равно 4»:
.
~ XX
5. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей сте-
пеней и коэффициентов. Конъюнкция или дизъюнкция одинаковых
«сомножителей» эквивалентна одному из них:
& ~ , ~
XX XXX
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]