Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы логики для бизнес-информатиков. Языки представления знаний. Учебное пособие
.pdf
В этом случае мы не можем однозначно определить, истинна ли дан-
x
x
ная формула на модели
или нет, т. е. мы можем увидеть ситуацию,
B
когда действительно найдется студент, который списал у Иванова, но
также можем видеть и ситуацию, когда (по тем или иным причинам)
у Иванова никто не списывает. Следовательно, с заданным основным
множеством и с заданной интерпретацией сигнатурных символов
(, )
мы можем составить две модели
(, )
и
B
Pxc
2
.
B
и
1
, такие, что
B
2
PxcB
1
Таким образом, при задании модели считается, что истинность всех
атомарных предложений тоже задается. Исходя из этой информации высчитывается значение истинности на модели для любого предложения
заданной сигнатуры.
Дадим формальное определение (алгоритм) подсчета истинности
(выполнимости) формулы на модели.
Определение 28. Пусть дана сигнатура
Пусть также для любого предикатного символа
элементов
формулы
формулы
1) если
2) если
3) если
4) если
5) если
6) если
, .() ()xx найдется такой aAчто выполняется a AA
,,
aaA
1
(, , )
Pa a
1
(, , )
aa
1
12
&
12
1
12
; () ()xx Для любого aAвыполняется a AA
11
1
11
известно значение истинности атомарной
n
на модели A. Тогда индукцией по построению
n
получим:
n
( ) или ; AAA
12 1 2
( & ) и ; AAA
12 1 2
; AA
() или ; AAA
12 1 2
, то
() xx
1
() xx
, то
, то
, то
, то
, то
и модель , A
()n
P
A .
и для любых
Теперь мы готовы сформулировать определение классификации
формул логики предикатов.
61
A
Определение 29. Формулу
x
x
x
x
мой
на модели
,,
aaA
1
, что формула
n
Определение 30. Формулу
на модели
(, , )
aa
1
n
, AA
, если для любых элементов
выполнима на модели A.
Определение 31. Формула
(, , )
, ,AA
если найдутся такие элементы
(, , )
aa
1
(, , )
(, , )
x
1
1
1
будем называть выполни-
n
выполнима на модели A.
n
x
будем называть истинной
n
,,
aaA
1
x
называется выполнимой,
n
n
формула
если существует хотя бы одна модель данной сигнатуры, на которой
она выполнима.
Определение 32. Формула
ственно
истинной (или общезначимой), если она истинна на любой
(, , )
x
1
называется тожде-
n
модели данной сигнатуры.
Заметим, что формула
гда, когда
тождественно ложна. Каждая тождественно истинная
тождественно истинна тогда и только то-
формула является выполнимой, а каждая тождественно ложная формула – опровержимой.
Утверждение 16. Если в тождественно истинной формуле логики
высказываний все пропозициональные переменные заменить на формулы логики предикатов, то мы получим формулу, тождественно истинную в логике предикатов.
3.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМУЛ
Определение 33
(будем обозначать
. Формулы и называются эквивалентными
~), если на любой модели, при любом значении
свободных переменных эти формулы принимают одно и то же значение истинности.
Известно, что часто для построения отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу «не». Например, отрицанием предложения «Река x
впадает в Черное море» является предложение «Река x
не впадает
в Черное море». Годится ли этот прием для построения отрицаний пред-
ложений с кванторами? Рассмотрим примеры.
62
Предложения «Все птицы летают» и «Все птицы не летают» не
x
x
x
у
у y
x
являются отрицаниями друг друга, так как они оба ложны.
Предложения «Некоторые птицы летают» и «Некоторые птицы
не летают» не являются отрицаниями друг друга, так как оба истинны.
Таким образом, предложения, полученные добавлением частицы
«не» к сказуемому предложений с кванторами, не
являются отрицани-
ями этих предложений.
Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания «неверно, что» в начале
предложения. Отрицанием предложения «Все птицы летают» является
предложение «Неверно, что все птицы летают»; но это предложение
имеет тот же смысл, что и предложение «Некоторые птицы не ле-
тают». Отрицанием предложения «Некоторые птицы
летают» явля-
ется предложение «Неверно, что некоторые птицы летают, которое
имеет тот же смысл, что и предложение «Все птицы не летают».
Утверждение 17 (законы де Моргана для кванторов). Для любой
()
формулы
со свободной переменной 𝑥 имеют место следующие эк-
вивалентности:
()~ (),
xx x
()~ ().
xxx
Из этих соотношений вытекает правило: для того чтобы построить
отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования
(общности) и взять отрицание предложения, стоящего за квантором.
Если
, то в результате квантификации по одной переменной
1n
n-местный предикат становится (n ‒ 1)-местным предикатом: одна из пе-
( x ст
ременных связывается квантором. Например,
)
книг
– одноместный предикат со свободной переменной y. Можно
дент x прочитал
связать любым из кванторов и переменную y. Тогда получим либо высказывание
( )yxстудент x прочитал книгу y
торую прочитали все студенты», либо высказывание
)прочиталкнигу y
«Все студенты прочитали все книги».
«Существует книга, ко-
( xyстудент x
Вообще для двухместного предиката возможны следующие восемь
комбинаций:
(, )
1)
1
yP x y
;
63
x
yP x y
x
x
yP x y
yP x y
(, )yxPxy
(, )
(, )yxPxy
(, )
(, )
(, )yxPxy
(, ).yxPxy
~
12
;
;
;
;
;
;
и
. Однако формулы
~
34
, ,
567
и
8
2)
2
3)
3
4)
4
5)
5
6)
6
7)
7
8)
8
Очевидно, что
несут совершенно разный смысл. Например, рассмотрим модель
A
, AP
A , где А – множество всех студентов вуза и
(, )Px y
A
= «в со-
циальной сети вуза студент x добавил студента y в друзья». Тогда мы
получим следующую интерпретацию предложений:
«В социальной сети вуза каждый студент добавил хотя бы
5
одного студента в друзья»;
«В социальной сети вуза есть такой студент, который доба-
6
вил всех студентов себе в друзья»;
«В социальной сети вуза каждый студент был добавлен хотя
7
бы одним студентом в свои друзья»;
«В социальной сети вуза найдется такой студент, которого
8
добавили в друзья все студенты».
Все эти предложения несут разный смысл, а значит, не могут быть
эквивалентными. Таким образом, получаем следующее правило: одно-
именные кванторы можно менять местами; разноименные кванторы
нельзя менять местами.
Далее можно заметить, что если предложение
модели, то на этой же модели будет истинно и предложение
будем говорить, что предложение
ния
и записывать
8
85
.
Аналогично можно заметить, что
логически следует из предложе-
5
.
67
истинно на данной
8
. Мы
5
64
3.6. ПРЕДВАРЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
x
x
x
yy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Так же как и в логике высказываний, используя понятие эквивалентности, мы можем выполнять над формулами различные преобразования
для того, чтобы приводить формулы к некоторому стандартному виду.
Для этого нам нужно иметь множество различных эквивалентностей.
Перечислим их в следующем Предложении.
Утверждение 18. Пусть переменная
мулу
дель
вуза. Пусть
с отличием» и
мом
либо с дипломом с отличием
вузе с дипломом с отличием, либо все студенты заканчивают обучение
в вузе с дипломом без отличия
эквивалентными.
тогда:
,
() ~ ();
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Замечание. Для любых формул
а)
б)
Покажем на примере, что данное замечание верно. Рассмотрим мо-
без отличия». Тогда:
Очевидно, что эти предложения несут разный смысл и не могут быть
xyy
() ~ ();
x
() & () ~ () & ();
xxxxx x
() () ~ () ();
xxx xx x
() ~ ( () );xx x x
() & ~ () & .xx x x
() () () ();
xxx xx x
() & () () & ().
xxxxx x
, основное множество которой – это множество всех студентов
A
A
xx x «Каждый студент заканчивает обучение в вузе
() ()
xxx
= «Студент 𝑥 закончил обучение в вузе с дипломом
A
= «Студент 𝑥 закончил обучение в вузе с дипло-
, либо с дипломом без отличия».
«Либо все студенты заканчивают обучение в
».
не входит свободно в фор-
()
и
()
имеет место:
65
Для иллюстрации неэквивалентности второй пары формул опреде-
x
x
x
лим следующую интерпретацию:
A
()
курсе вуза» и
вом
= «Студент 𝑥 учится на последнем курсе
()x
«Студент 𝑥 учится на пер-
A
вуза». Тогда:
() & ()
xxx
«Существуют студенты, которые учатся на
первом курсе данного вуза, и существуют студенты, которые учатся
на последнем курсе вуза».
временно
() &()xx x
и на первом и на последнем курсе».
«В вузе есть студенты, которые учатся одно-
Очевидно, что эти предложения также не эквивалентны.
Определение 34. Формула логики предикатов находится в предваренной
саны
нормальной форме, если все кванторы в этой формуле запи-
в начале формулы, т. е. формула имеет вид
(, , , ),
nn n
не содержит кванторов.
n
Q
где
QxQx Q x x x x
11 2 2 1 2
,
и формула
i
(, , , )
xx
12
Утверждение 19. Для любой формулы логики предикатов суще-
ствует
мальной
эквивалентная ей формула, находящаяся в предваренной нор-
форме.
Алгоритм приведения формулы
к предваренной нормальной форме
Шаг 1. На этом шаге нужно «избавиться» от всех импликаций. Для
этого используется эквивалентность из логики высказываний:
~
.
Шаг 2. На этом шаге необходимо внести все отрицания под знаки
кванторов. Для этого используются законы де Моргана для кванторов
(см. утверждение 17).
Шаг 3. Выносим кванторы, используя эквивалентности из утвержде-
ния 18.
66
Если формула, находящаяся в предваренной нормальной форме,
x
x
x
x
x
y
x
x
x
имеет вид
xxxxx
11 2 2 1 2
то ее называют
формула содержит только кванторы существования, т. е. имеет вид
xxxxx
11 2 2 1 2
формулой (или
личеством кванторов, а количеством перемен кванторов в формуле,
находящейся в предваренной нормальной формуле.
Связать переменную квантором так, чтобы получилось истинное:
1.
а) « 45
«Студент 𝑥 посещает все лекции»;
б)
«Студент 𝑥 имеет студенческий билет»;
в)
«В четырехугольнике z все углы острые».
г)
2. Перечислить свободные и связанные вхождения переменных в
следующие формулы. Какие из этих формул являются предложениями:
Px
а)
Px P
б)
() ();Px xQx
в)
г)
универсальной формулой (или
(, , , ),
nn n
-
формулой). Сложность формулы определяется не ко-
УПРАЖНЕНИЯ
– простое число»;
();
() ();
() ();
Px Qx
(, , , ),
nn n
то ее называют экзистенциальной
-
формулой). Если же
д)
е)
ж)
3. Определить, какие из следующих предложений истинны, а какие
ложны на множестве действительных чисел. Какие из них истинны на
множестве натуральных чисел:
а)
б)
yA x y zB x z
(7);xyx y
(7);xyx y
(, ) (, )
(, , ) () (, )?yxQxyz Py zRyz
67
()& () (, );
yPx Qy yRxy
в)
x
y
г)
д)
(7);yxx y
(7);xyx y
(7);xyx y
е)
ж)
4. Запишите на формальном языке:
а) все хулиганы будут наказаны;
некоторые студенты получают стипендию;
б)
не все красные яблоки являются спелыми;
в)
все моряки боятся пиратов;
г)
маленькие девочки боятся зубных врачей;
д)
е)
некоторые зубные врачи боятся маленьких девочек;
зайцы не всегда глупее лис;
ж)
некоторые индейцы были храбрее белых;
з)
некоторые школьники – отличники или спортсмены;
и)
все первокурсники и второкурсники пришли на лекцию;
к)
некоторые прямые параллейны;
л)
м)
волки и люди боятся друг друга;
некоторые парни и девушки влюблены друг в друга;
н)
чтобы установить рекорд, достаточно иметь способности, прилежно
о)
тренироваться и найти хорошего тренира;
чтобы победить, нам необходимы и хорошие нападающие, и
п)
хорошие защитники, и хорошие вратари;
либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех; либо
р)
некто любит всех и кто-то не любит никого;
ты можешь обманывать кое-кого все время, ты можешь
с)
обманывать всех некоторое время, но ты не можешь обманывать всех
все время.
(3)(34);xy x y
(3)(34).xyx y
5. Перевести с формального языка на естественный язык:
( ) & ( ) & ( , ) .
yCtx Py Uyx
a)
()Ct x
‒ «х студент»,
(, )Ux
– «х уважает у»;
()Px
– «х преподаватель»,
68
б)
x
x
X
B
y
x
Bxy
A
Bxy
y
Z
Bxy
X
B
в)
г)
()Sx
() () () .xCtx Ox Cpx
()Ct x
‒ «х студент»,
()Cp x
– «х спортсмен»;
()& ()& ()& ()& ()& ().
Ct x S x O x x Ct x S x O x
()Ct x
= «х ‒ студент»,
()Ox
= «х ‒ отличник»;
() () ().
Px K x Cx
()Px
= «х ‒ пионер»,
= «х ‒ работает на субботнике»;
()Ox
– «х отличник»,
()Sx
= «x старательный»,
()Kx
= «х ‒ комсомолец»,
д)
()Tx
е)
ж)
з)
и)
к)
()
()& () (, ) .xHx yTy Xyx
= «х ‒ тигр»,
(, )
xy
= «х ‒ храбрее у»;
() () (, ) .xOx yTy Bxy
()Tx
= «х ‒ тигр»,
(, )
xy
= «х ‒ боится
()& () (, )& (, ) .
yTx Hx Bxy Byx
()Tx
= «х ‒ тигр»,
(, )
= «х ‒ боится
( ) & ( ) & ( , ) ( , ) ( , ) .x y Ax Ay Bx y Px y Py x
()
x
= «х ‒ акула»,
(, )Px
= «х ‒ пожирает
()& ()& (, ) (, )& (,) .xy Zx Zy Bxy Cxy Cyx
()
x
= «х ‒ змея»,
(, )Sx y
= «х ‒ съедает »;y
() ()& (, )& (, ) .xXx yXy Bxy Byx
x
= «х ‒ хан»,
()Hx
= «х ‒ человек»,
()Ox
= «х ‒ обезьяна»,
»;
()Hx
= «х ‒ человек»,
»;y
(, )
= «х ‒ встречает »y,
»;y
(, )
= «х ‒ встречает »y,
(, )
xy
= «х ‒ враждует с »y.
69
6. Сформулировать отрицания следующих высказываний в утверди-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
тельной
начиналось со слов «неверно» или «не»):
шести этажей;
тот же цвет глаз;
где ни один
найдется хотя бы одна буква «а».
сильны
форме (т. е. так, чтобы отрицание данного высказывания не
а) из всякого положения есть выход;
б) во всяком городе есть район, во всех домах которого не менее
в) в каждой стране найдется город, у всех жителей которого один и
г) в каждом городе есть район, в каждой школе которого есть класс,
ученик не занимается спортом;
д) существует книга, в которой есть страница, а в каждой строке
7. Показать, что следующие предложения выполнимы:
()& ()
yPx Py
а)
б)
в)
8. Придумать модель такую, чтобы предложения
а)
б)
в)
г)
9. Доказать, что в каждой из следующих пар формулы не равно-
а)
x(,)&(,)yQxx Qxy
(, ) (, , )
yQxy zRxyz
(, ):yxQxy
были оба истинны на этой модели;
были оба ложны на этой модели;
первое было истинно, а второе ложно на этой модели;
первое было ложно, а второе истинно на этой модели.
между собой:
&
Px Qx и
;
;
.
& ;
Px xQx
yQ x y
(, )
и
б)
Px Qx и
в)
Px Qx и
г)
Px Qx и
Px xQx
Px xQx
Px xQx
70
;
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]