Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы дискретной математики. Теория графов. Практикум
.pdf
№ 3049
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Кафедра автоматизированного проектирования и дизайна
Д.В. Калитин
О.С. Калитина
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
УПРАВЛЕНИЯ
Основы дискретной
математики
Теория графов
Практикум
Рекомендовано редакционно-издательским
советом университета
Москва 2017
УДК 51:004
К17
Рецензент
канд. техн. наук, доц. И.В. Баранникова
Калитин Д.В.
К17 Основы дискретной математики : теория графов : практи-
кум / Д.В. Калитин, О.С. Калитина. – М. : Изд. Дом НИТУ
«МИСиС», 2017. – 67 с.
ISBN 978-5-906846-68-6
Рассмотрено решение основных задач, возникающих при использовании теории графов. Для каждой задачи приведены подробные решения.
Описаны условия однотипных заданий.
Предназначен для обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 09.03.04 «Информационные системы и технологии», 27.04.03 «Управление в технических системах».
ISBN 978-5-906846-68-6
УДК 51:004
Д.В. Калитин,
©
О.С. Калитина, 2017
НИТУ «МИСиС», 2017
©
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ................................................................................................................. 4
Основы теории множеств ..................................................................................... 5
Операции над множествами ................................................................................. 8
Понятие «алгебра». Алгебра множеств ............................................................. 10
Бинарные отношения .......................................................................................... 12
Основы теории графов ........................................................................................ 12
Связность и сильная связность графа ................................................................ 16
Цикломатика и коцикломатика .......................................................................... 18
Устойчивость, покрытия, паросочетания.......................................................... 20
Вложение графов в плоскость ............................................................................ 23
Раскраска вершин графа ..................................................................................... 25
Примеры решения задач ..................................................................................... 27
Операции над графами ........................................................................................ 27
Связность графов ................................................................................................. 33
Цикломатика ........................................................................................................ 44
Поиск пустых подграфов .................................................................................... 49
Внешняя устойчивость графов ........................................................................... 56
Раскраска вершин графа ..................................................................................... 60
Литература ............................................................................................................ 66
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория графов, как раздел дискретной математики, является важным математическим аппаратом, который используется во многих
прикладных задачах.
Начало теории графов как математической дисциплине было положено Эйлером в его знаменитом рассуждении о Кенигсбергских
мостах. Однако эта статья Эйлера 1736 г. была единственной в течение почти 100 лет. Интерес к проблемам теории графов возродился
около середины XX в. и был сосредоточен главным образом в Англии. Имелось много причин для такого оживления изучения графов.
Естественные науки оказали свое влияние на это благодаря исследованиям электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных головоломок
поддавалось формулировкам непосредственно в терминах графов и
это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за
рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая среди этих задач –
проблема четырех красок, впервые поставленная перед математиками Де Морганом около 1850 г. Никакая другая проблема не вызывала
столь многочисленных и остроумных работ в области теории графов.
Благодаря своей простой формулировке и раздражающей неуловимости она до сих пор остается мощным стимулом исследований различных свойств графов.
Прошлое столетие было свидетелем неуклонного развития теории
графов, которая за последние 30–40 лет вступила в новый период
интенсивных разработок. В этом процессе явно заметно влияние запросов новых областей приложений: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, электрических сетей и контактных
цепей, а также проблем биологии и психологии.
4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия «множество». Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью. Таково интуитивное определение понятия
«множество», данное основателем теории множеств Георгом Кантором. Это понятие является в математике первичным и, следовательно, не имеет строгого определения. Объекты, которые образуют
множество, будем называть элементами множества и обозначать, как
правило, строчными буквами латинского алфавита. Если элемент
принадлежит множеству , то будем использовать запись ∈ ,
в противном случае используем запись ∉ ; знак принадлежности
элемента множеству ∈ является стилизацией первой буквы греческо-
го слова εστι (есть, быть).
Множество, содержащее конечное число элементов, называется
конечным. Если же множество не содержит ни одного элемента, то
оно называется пустым и обозначается ∅.
Множество может быть задано различными способами: перечислением элементов (конечные множества) или указанием их свойств
(при этом для задания множеств используют фигурные скобки). На-
пример, множество цифр десятичного алфавита можно задать в
виде ={0,1,…,9} или ={/ целое, 0 ≤≤ 9}, где справа от
наклонной черты указано свойство элементов этого множества.
Множество четных чисел можно записать в виде = {m/m – чет-
ное число}.
Множество ′ называется подмножеством множества (M'
включено в M тогда и только тогда, когда любой элемент множества
′ принадлежит множеству :
⊂ ↔(∈→ ∈)
или
⊂ ↔={/ ∈},
где ⊂ – знак включения подмножества;
→ означает: если , то ; ↔ означает: , если и только ес-
ли . В частном случае множества ′ и могут совпадать.
Невключение подмножества ′ во множество обозначается
⊄.
5
Очевидно, что если множество – подмножество множества
и множество
– подмножество множества
, то оба этих множе-
ства состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называ-
ются равными:
= . Если же множество ′ – подмножество
множества , а множество не является подмножеством множества
′, то множество ′ называется собственным подмножеством
множества ; запись: ′⊂⊂ .
Для каждого множества существует множество, элементами
которого являются подмножества множества и только они. Такое
множество будем называть семейством множества , или булеаном
этого множества, и обозначать (), а множество будем называть
универсальным, универсумом, или пространством, и обозначать 1.
При рассмотрении различных подмножеств и их свойств часто приходится обращаться к комбинаторике – разделу дискретной математики, посвященному решению задач выбора и расположения элементов
некоторого, как правило, конечного множества в соответствии с заданными свойствами. Каждое такое свойство определяет способ построения некоторой конструкции из элементов множества, называемой ком-
бинаторной конфигурацией. Простейшими комбинаторными конфигурациями являются размещения, перестановки и сочетания.
Размещение (,) мощности из элементов ( ≤) – это
любая последовательность (т. е. множество с зафиксированным в нем
порядком элементов) попарно различных элементов, взятых из
элементов; для записи размещений используются круглые скобки.
Первый
элемент последовательности можно зафиксировать спо-
собами, второй элемент – −1 способами и т. д., i-й элемент –
−+1 способами. Следовательно, количество таких последова-
тельностей (размещений) равно произведению чисел , −1,…,
−+1:
|
(,)|=∙(−1)∙… ∙(−+1)=(−
)
.
В этой конфигурации важен как состав элементов, так и их порядок.
Размещение при = называется перестановкой (). Число
перестановок
|
()| из элементов есть
(−)=
∙(−1)∙…∙2∙1=!.
6
Сочетанием (,) мощности из элементов называется лю-
бое подмножество, содержащее элементов, набранных из эле-
ментов. В сочетании важен только состав элементов, порядок не иг-
рает роли. Очевидно, что число размещений из по , содержащих
одни и те же элементы, равно !, так как эти размещения отлича-
ются друг от друга только порядком. Такие размещения соответст-
вуют одному сочетанию. Следовательно, число сочетаний из по
элементов есть
|
(,)|=
(,
()
)
=
(
−)!∙!
!
.
Это число, кстати, равно коэффициенту в разложении бинома
Ньютона ( + )
.
Рассмотрим образование булеана (1) от универсума 1={,, }.
|1| – количество элементов конечного множества, в дальнейшем
называемое мощностью множества.
Очевидно, что мощность
|
(1)| булеана от универсума 1 равна 2
|
(1)|= 2
||
.
||
:
В рассматриваемом случае:
(1)=∅,{},{},{},{,},{,},{,},{,, }.
Множество также часто задают графически с помощью диаграмм
Эйлера. Например, задание множества {,,},{,,} в пространстве 1= {,,,,
}
приведено на рис. 1, где замкнутые линии, называемые в дальнейшем кругами Эйлера, ограничивают элементы
множества, при этом рамка, в верхнем правом углу которой стоит 1,
ограничивает элементы пространства.
1
Рис. 1. Диаграмма Эйлера.
7
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Декартовым произведением двух множеств × множеств
называется множество вида
и
={
/ ∈,∈ }.
,
Декартовым произведением
× ×…×=
произвольного числа множеств
={(
,
,…,
)
,
∈,∈ ,…, ∈ }.
/
Элементами декартова произведения
,…,
называется множество
× ×…×
являются
всевозможные последовательности, каждая из которых состоит из
элементов, причем первый элемент принадлежит множеству
рой – множеству
Объединением
ство , состоящее из элементов множества
жества
:
=
и т. д., n-й элемент принадлежит множеству
∪ двух множеств и
∪ ={/ ∈ и/или ∈}.
является множе-
и из элементов мно-
, вто-
.
Пересечением
∩ двух множеств и
является множе-
ство , состоящее из элементов, которые принадлежат как множест-
, так и множеству
ву
=
:
∩ ={/ ∈ и ∈};
часто союз «и» заменяют знаком &:
=
Разностью
состоящее из элементов, принадлежащих множеству
надлежащих множеству
=
8
∩ ={/ ∈ & ∈}.
\ множеств и является множество ,
и не при-
:
\ ={/ ∈ & ∉}.
Введенные операции являются двуместными.
Рассмотрим операцию дополнения, являющуюся одноместной.
Дополнением множества является множество
= {
/ ∉ }.
Операции объединения, пересечения, разности и дополнения проиллюстрированы на рис. 2; результирующее множество каждой операции выделено штриховкой. Используя эти операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется
одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем
операции объединения и разности. Для изменения этого порядка в
выражении используют скобки.
Рис. 2. Диаграммы Эйлера для различных операций
Таким образом, множество можно задать выражением, в которое
входят идентификаторы (указатели) множеств, операции и, быть может, скобки. Такой способ задания называется аналитическим.
9
Пример
Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пере-
сечением множеств
дополнений этих множеств: =
к
. Ее результат совпадает с объединением
∪
= ∩
; в этом
можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера (рис. 3).
Рис. 3. Диаграмма Эйлера для операции ∪
ПОНЯТИЕ «АЛГЕБРА». АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
Алгеброй называется совокупность множества с заданными в
нем операциями
=
,
,…,
,,,…,
,…,,,…,
;
обозначается = <М,>; здесь множество – носитель, – сиг-
натура алгебры.
Рассмотрим алгебру множеств (алгебру Кантора, алгебру классов)
= <(1),∪,∩,>,
носителем которой является булеан универсального множества 1,
сигнатурой – операции объединения ∪ пересечения ∩ и дополнения
. Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]