Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы дискретной математики. Теория графов. Практикум
.pdf
закон коммутативности объединения и пересечения
∪ = ∪ , ∩ = ∩ ;
закон ассоциативности объединения и пересечения
∪( ∪
∩( ∩
)
)
= (
= (
∪ ) ∪,
∩ ) ∩;
закон дистрибутивности пересечения относительно объединения
и объединения относительно пересечения
∩( ∪
∪ ∪ = ( ∪ ) ∩ ( ∪ );
)
∩ ∪ ∩ ,
=
законы поглощения
∪ ∩ = , ∩ ( ∪ )= ;
законы склеивания
∩ ∪ ∩
∪ ) ∩ ( ∪
(
= ,
)=;
законы Порецкого
∪
∩ = ∪ , ∩(
∪
)
=
∩ ;
закон идемпотентности объединения и пересечения
∪ = ∪ , ∩ = ∩ ;
закон действия с универсальным (1) и пустым (0) множествами
∪∅=,∩∅=∅,∪1=1,
∩1=,∪=1,∩=∅;
законы де Моргана
∩
=
∪
, ∪
=
∩
;
закон двойного дополнения
=.
11
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Фундаментальным понятием дискретной математики является понятие отношения, которое используют для обозначения связи между
объектами или понятиями.
Квадратом множества называется декартово произведение
двух равных между собой множеств: ×=
. Бинарным отно-
шением во множестве называется подмножество его квадрата:
⊂
если
бинарным отношением ⊂
. Говорят, что элементы и находятся в отношении ,
∈ ). Совокупность множества с заданным в нем
,
называется графом G:
= <,>,
где – носитель графа (множество вершин),
– сигнатура графа (множество дуг).
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Понятие графа можно определить через совокупность множества
вершин и дуг
⊂
.
Дуга , соединенная с вершиной , называется инцидентной вер-
шине , а вершина коинцидентной дуге . В дуге (
и называются граничными, причем – начало,
и
Две дуги
называются смежными, если они инцидентны
) вершины
,
– конец дуги.
одной и той же вершине.
Две вершины
и
называются смежными, если они соедине-
ны дугой.
Множество вершин, смежных с вершиной
стностью и обозначается (
). Используя понятие окрестности,
, называется ее окре-
граф определяют как совокупность множества вершин и множества
их окрестностей: = <,>.
Определим понятие взвешенного графа. Сопоставим каждой вер-
шине
из множества весов ={
множество взвешенных вершин {(
∈ (={/ = 1, 2,… ,}) графа = <,,> вес
/ = 1, 2, …}. В результате получим
)/ = 1, 2, …, }; при этом
,
необязательно, чтобы все веса были различными.
Сопоставим каждому элементу множества
вес
из множества весов ={/ = 1,2,…}. В результате полу-
12
={/ = 1, … ,}
чим множество взвешенных дуг {(,)/ = 1, 2, …, }; при этом
необязательно, чтобы все веса были различными.
Множества взвешенных вершин и дуг определяют в совокупности
взвешенный граф = <,,(,)>, который, строго говоря,
является уже не графом, а функцией, определенной на вершинах и
дугах графа.
Для задания графов существует несколько классов матриц, основные из которых – класс матриц инциденций и класс матриц смежности. Рассмотрим эти классы матриц.
Класс матриц инциденций. Если граф содержит вершин и
дуг, то матрица инциденций ()=[
]×
определяется как
1, если вершина
=
−1, если вершина
0, если вершина
Иногда граф содержит петли, т. е. дуги вида
– начало дуги ,
– конец дуги ,
не коинцидентна дуге .
(и
). В этом слу-
чае некоторые элементы матрицы одновременно равны и 1, и –1,
что приводит к неоднозначности элементов матрицы .
Для задания графа с петлями «расщепим» матрицу на две мат-
рицы
где
где
и ( – начальная,
1, если вершина
=
1, если вершина
=
0 в противном случае;
0 в противном случае.
Если граф без петель, то =
– конечная матрица инциденций):
=[
]
,
×
является началом дуги ,
=[
]
,
×
является началом дуги ,
=. Матрицы и
описы-
вают граф без учета весов вершин и дуг. Зададим веса вершин графа
в виде столбцовой матрицы
()=
,
⋮
13
а веса дуг – в виде диагональной матрицы порядка
⋯
⋯
0
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋯
.
⋯
0
Матрицы
()=
0
⋯
0
,
,, полностью описывают взвешенный граф.
Класс матриц смежности. Матрица смежности =[
]×
не-
взвешенного графа определяется следующим образом:
1, если
=
0, если
,
,
∈,
∉.
Для взвешенного графа
, если дуга , ∈ имеет вес ,
0, если
=
Два графа, =<,>и
∉.
,
= < ,> называются изоморф-
ными, если существует такое взаимно однозначное соответствие ме-
жду вершинами множеств ={
,
соединены дугой (
) в одном из графов в том и только в том
случае, когда соответствующие им вершины ′
, ′
гой (′
Обозначим через (
. Матрица смежности, начальная и конечная
) в другом графе.
)т
транспонированную матрицу инциденций
} и ={′}, что вершины ,
, ′
соединены ду-
матрицы инциденций и диагональная матрица весов дуг связаны следующим равенством:
)т
= (
∙ ∙ .
Степенью () вершины называется число дуг (ребер), инци-
дентных этой вершине.
Для представления графов в виде композиции более простых графов введем следующие три операции: объединение, сумму и произведение.
Объединением графов
= < ,> и = < ,> называет-
ся граф = <,>, носитель и сигнатура которого являются соот-
ветственно теоретико-множественным объединением носителей
и сигнатур , графов ,
14
(рис. 4, а).
,
Суммой графов = < ,> и = < ,> называется
граф = <,>, представляющий собой объединение графов
и двудольного полного графа
лях
\∩
мы графов
∈ , не вошедшая в пересечение ∩
вершинами
и \∩
и
определяется их объединение и каждая вершина
\∩
. Другими словами, при построении сум-
и наоборот. Будем говорить, что вершина
|
, построенного на носите-
|,|
|
, соединяется со всеми
конусирует граф , если она смежна со всеми вершинами графа .
Вершины, не вошедшие в пересечение слагаемых
суммировании графов
и \∩ (рис. 4, б).
∩
Декартовым произведением графов
=<
> называется граф
,Г
= <,Г>,=
и , конусируют соответственно \∩
= < ,Г> и =
)
/
∈,∈
×Г
.
Г(
×
,
={(,
)
= Г
∉ ∩
}
,
при
Пример декартова произведения приведен на рис. 4, в.
,
а
б
15
в
Рис. 4. Операции над графами.
СВЯЗНОСТЬ И СИЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
Распределение цепей, циклов в неориентированном графе и путей
и контуров в ориентированном графе определяет многие свойства
графа, в том числе его связность и сильную связность.
Цепью называется последовательность ребер (
=(,
равную 1. Вершина
), =1,2,…,. Вершины цепи могут иметь степень,
со степенью, равной 1, называется концевой.
Число ребер цепи, соединяющей вершины
длиной (
,
).
и
,…,) вида
,
, называется ее
Циклом называется цепь, концевые вершины которой совпадают.
Все вершины цикла имеют степень (
) ≥2.
Цепь называется: составной, если в ней повторяется хотя бы одно
ребро; сложной, если повторяется хотя бы одна вершина; простой,
если не повторяется ни одна вершина.
Граф = <,> называется связным, если любая пара его вер-
шин соединена цепью.
Максимальный по включению вершин связный подграф графа называется его компонентой связности. Граф называется несвязным,
если число его компонент больше одной. Например, граф, состоящий
из двух несмежных вершин, является несвязным и имеет две компоненты связности.
Элемент матрицы
, где =[] – матрица смежности,
есть множество последовательных идентификаторов ребер, обра-
зующих цепь между
длины , соединяющих вершины
и
, представляет собой множество цепей
, .
16
При возведении в n-ю степень матрицы смежности =[] ум-
ножение рассматриваем как конкатенацию (приписывание справа к
идентификатору, соответствующему i-й строке, идентификатора, соответствующего -му столбцу), а суммирование – как объединение
полученных в результате умножения слов.
Понятие цепи является основным при изучении метрических
свойств графа.
Минимальная длина цепи, соединяющей вершины
ется расстоянием (
) между вершинами ,
,
(
)=min(,).
,
и
, называ-
:
Максимальное расстояние между вершинами графа называется
диаметром графа ():
()=max
min(,).
Матрица называется клеточной, если в результате перестановки
строк и столбцов она приводится к виду
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋱
⋯
,
⋮
где матрица
0
0
0
⋮
0
,=1,…,, не содержит ни одного нулевого элемента
0
0
0
⋮
⋮
0
0
(кроме, быть может, диагональных).
Граф состоит из компонент связности тогда и только то-
гда, когда его матрица достижимости
()
]
()= [()
,
где () – матрица смежности;
() – диаметр графа ,
является клеточной. Рассмотрим ориентированный граф и его свойство быть сильно связным.
Путем называется последовательность дуг (
=((,
)
,=1,2,…,.
Вершины пути имеют степень, равную 1 или 2. Вершина
степенью, равной 1, называется концевой; при этом вершина
,…,) вида
,
, ко-
со
17
инцидентная дуге , называется начальной, вершина
дентная дуге
– конечной.
, коинци-
Число дуг, образующих путь, называется длиной пути.
Контуром называется путь, концевые вершины которого совпа-
дают. Все вершины контура имеют степень (
)≥2.
Путь называется составным, если в нем повторяется хотя бы одна
дуга. Граф называется сложным, если в нем повторяется хотя бы одна вершина, и простым – в противном случае.
Граф = <,> называется сильно связным, если любая пара
вершин соединена путем.
Максимальный по включению вершин сильно связный подграф
графа называется его компонентой сильной связности.
Граф называется несильно связным, если число его компонент
сильной связности больше 1.
ЦИКЛОМАТИКА И КОЦИКЛОМАТИКА
Для исследования циклов в графе используют цикломатическую
матрицу () = <
>: каждому циклу графа взаимно однозначно
сопоставляется вектор-строка матрицы (), каждый элемент этой
строки определяется как
1,если ˗ е ребро входит в ˗й цикл,
=
0, в противном случае.
Множество () всех векторов, каждый из которых соответствует
одному циклу графа , образует векторное пространство, называемое
пространством циклов графа . При этом выполняются следующие
условия:
1) для любых двух циклов
некоторый третий цикл (
⊕ ) ∈(), где ⊕ означает пораз-
∈(),∩≠∅ существует
,
рядное сложение по модулю 2;
2) сложение по модулю 2 обладает свойством коммутативности,
т. е. для любых двух
,
)
∈(
⊕ = ⊕ ;
3) сложение по модулю 2 ассоциативно, т. е. для любых
,,
18
∈(
)
(
⊕ )⊕ = ⊕ (⊕ ).
Базисом векторного пространства называется всякая система
линейно независимых векторов, порождающая данное пространство.
Множество векторов тогда и только тогда является базисом векторного пространства, когда всякий элемент этого пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов
множества. Если пространство имеет базис из векторов, то оно на-
зывается n-мерным пространством.
Базис циклов графа – это базис пространства циклов графа ,
состоящий из простых циклов.
Вектор зависит от простых циклов
,
,…,
, если он пред-
ставим в виде линейной комбинации векторов
.
Любой вектор цикла графа может быть представлен в виде ли-
нейной комбинации векторов базиса циклов. Рассмотрим, например,
граф, изображенный на рис. 5. Цикломатическая матрица () этого
графа имеет вид:
a b c d e f m g h
1
0
1
0
1
1
0
()=
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
Рис. 5. Исходный граф
19
В качестве базисной системы циклов можно взять циклы
,,
. Можно проверить, что все остальные циклы выражаются
как их линейная комбинация по модулю 2:
⊕⊕=,⊕=,⊕=,⊕=.
Деревом называется связный граф, не содержащий ни одного цикла. Остовный подграф графа – это подграф, содержащий все верши-
ны графа. Остовом называется остовный подграф, являющийся де-
ревом. Хордой остова в связном графе называется всякое ребро
графа, не принадлежащее . Любой подграф, который состоит из
хорды и остова, имеет точно один цикл. Цикломатическое число
() графа равно числу хорд любого остова в .
Если связный граф имеет вершин и ребер, то
()=−+1.
Если граф содержит компонент связности, то его цикломати-
ческое число есть
()=−+.
УСТОЙЧИВОСТЬ, ПОКРЫТИЯ, ПАРОСОЧЕТАНИЯ
В любом графе можно выделить совокупность некоторых множеств, объединяемых по какому-то признаку, например, подмножеств вершин таких, что никакие две вершины одного и того же
подмножества не смежные. Аналогично, граф можно разбить на
подмножества ребер таким образом, чтобы ребра одного подмножества были попарно не смежные. В общем случае число элементов в
различных подмножествах различно и существует подмножество, где
число элементов принимает максимальное значение. Поэтому можно
ввести два инварианта графа для попарно несмежных вершин и попарно несмежных ребер.
Множество вершин называется внутренне устойчивым, если эти
вершины попарно не смежные.
Внутренне устойчивое множество вершин называется пустым
подграфом, если при добавлении хотя бы одной вершины, не принадлежащей этому множеству, образуется хотя бы одно ребро (дуга).
Максимальная мощность пустого подграфа графа называется
числом внутренней устойчивости или вершинным числом независи-
мости графа ε
().
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]